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章末复习
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
5.3.3 行程问题
一、教学目标
知识与技能目标
学生能熟练掌握行程问题中速度、路程、时间三者之间的基本关系，理解相遇问题、追及问题等常见行程问题类型的特点。
学会运用方程或算术方法，准确分析行程问题中的数量关系，建立数学模型并求解，能熟练解决不同情境下的行程问题。
过程与方法目标
通过分析行程问题中的实际情境，经历将实际问题转化为数学模型的过程，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
在解决行程问题的过程中，学会运用线段图等工具辅助分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强知识的综合运用能力。
情感态度与价值观目标
让学生感受行程问题在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识。
通过解决具有挑战性的行程问题，培养学生勇于探索、克服困难的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
教学重点
深入理解行程问题中速度、路程、时间的关系，熟练掌握相遇问题、追及问题的基本解题思路和方法。
能够根据行程问题的具体情境，准确找出等量关系，列出方程或算式进行求解。
教学难点
对于复杂的行程问题，如多次相遇、环形跑道、流水行船等问题，能够清晰分析数量关系，建立正确的数学模型。
灵活运用行程问题的相关知识，解决实际生活中具有多种变化的行程问题，提高学生的综合应用能力。
三、教学方法
复习导入法：通过复习速度、路程、时间的基本公式及简单应用，激活学生已有知识，为学习复杂行程问题做好铺垫。
讲授法：详细讲解行程问题的各种类型、解题思路和方法，结合实例进行分析，帮助学生理解掌握。
直观演示法：运用线段图、动画等直观手段，展示行程问题中物体的运动过程，帮助学生更好地理解题意，分析数量关系。
小组合作法：组织学生进行小组讨论，共同探讨复杂行程问题的解法，交流解题思路，培养学生的合作能力和思维能力。
练习巩固法：设计不同层次的练习题，让学生在练习中巩固知识，提高解题能力，及时反馈学习效果。
四、教学过程
（一）复习回顾
回顾行程问题的基本公式
提问学生速度、路程、时间三者之间的关系，引导学生说出路程 = 速度 × 时间（\(s = vt\)）、速度 = 路程 ÷ 时间（\(v = s ·t\)）、时间 = 路程 ÷ 速度（\(t = s ·v\)） 。
通过简单的填空练习，如 “一辆汽车每小时行驶 60 千米，3 小时行驶（ ）千米”“小明骑自行车行驶 120 米用了 20 秒，他的速度是（ ）米 / 秒”，帮助学生巩固对公式的运用。
简单行程问题回顾
展示一道简单的行程问题：“小华从家到学校，步行速度是 4 千米 / 小时，走了 1.5 小时，小华家到学校的距离是多少千米？” 让学生独立完成，然后请学生讲解解题思路，回顾运用基本公式解决问题的方法。
（二）情境导入
展示问题情境
播放一段动画：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，经过一段时间后两人相遇。
提出问题：已知甲的速度是 5 千米 / 小时，乙的速度是 4 千米 / 小时，A、B 两地相距 18 千米，两人经过几小时相遇？
引导思考
引导学生思考这个问题与之前复习的简单行程问题的不同之处，激发学生的学习兴趣，引出本节课要学习的相遇问题等行程问题类型。
（三）新知探究
相遇问题
分析特点：讲解相遇问题的特点，即两个运动物体同时从两地相向而行，直到相遇，它们所行驶的路程之和等于两地之间的距离。
解题思路：以导入中的问题为例，引导学生分析数量关系。设两人经过\(x\)小时相遇，根据路程 = 速度 × 时间，甲行驶的路程为\(5x\)千米，乙行驶的路程为\(4x\)千米，由于两人行驶路程之和等于 A、B 两地的距离 18 千米，可得到等量关系\(5x + 4x = 18\) 。
总结方法：总结相遇问题的一般解题方法，通常设相遇时间为未知数，根据 “甲的路程 + 乙的路程 = 总路程” 列出方程求解；也可以先求出两人的速度和，再根据 “相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和” 用算术方法求解。
追及问题
分析特点：介绍追及问题，是指两个运动物体同向而行，速度快的物体追速度慢的物体，当追上时，速度快的物体比速度慢的物体多行驶的路程等于开始时两者之间的距离。
解题思路：举例：甲、乙两人同向而行，甲的速度是 6 米 / 秒，乙的速度是 4 米 / 秒，开始时乙在甲前方 10 米处，问甲经过多长时间追上乙？设甲经过\(x\)秒追上乙，甲行驶的路程为\(6x\)米，乙行驶的路程为\(4x\)米，根据 “甲的路程 - 乙的路程 = 开始时的距离”，可列出方程\(6x - 4x = 10\) 。
总结方法：追及问题一般设追及时间为未知数，依据 “快者的路程 - 慢者的路程 = 追及路程” 列方程；也可利用 “追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差” 用算术法求解。
其他类型行程问题
简单介绍环形跑道问题、流水行船问题等。如环形跑道问题中，同向而行时，快的比慢的多跑一圈才再次相遇；相向而行时，两人路程和为一圈 。流水行船问题中，顺水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 - 水速 。说明这些问题虽然情境不同，但本质上都是依据速度、路程、时间的关系来解决，后续会深入学习。
（四）例题讲解
相遇问题例题
例 1：A、B 两城相距 480 千米，甲、乙两车同时从两城相对开出，甲车每小时行 55 千米，乙车每小时行 65 千米，两车经过几小时相遇？
分析：设两车经过\(x\)小时相遇，根据 “甲的路程 + 乙的路程 = 总路程”，甲的路程为\(55x\)千米，乙的路程为\(65x\)千米，可列方程\(55x + 65x = 480\) 。
解答：解方程\(120x = 480\)，得\(x = 4\) 。
检验：把\(x = 4\)代入原方程，左边\(= 55 4 + 65 4 = 220 + 260 = 480\)，右边\(= 480\)，左边等于右边，答案正确 。
答：两车经过 4 小时相遇 。
追及问题例题
例 2：小明和小红在同一条路上跑步，小明的速度是 8 米 / 秒，小红的速度是 6 米 / 秒，小红先跑了 10 秒后小明才开始跑，小明起跑后经过多少秒可以追上小红？
分析：设小明起跑后经过\(x\)秒可以追上小红。小红先跑 10 秒的路程为\(6 10 = 60\)米，在小明跑的\(x\)秒内，小红又跑了\(6x\)米，小明跑了\(8x\)米，根据 “小明的路程 - 小红的路程 = 小红先跑的路程”，可列方程\(8x - 6x = 6 10\) 。
解答：解方程\(2x = 60\)，得\(x = 30\) 。
检验：把\(x = 30\)代入原方程，左边\(= 8 30 - 6 30 = 240 - 180 = 60\)，右边\(= 6 10 = 60\)，左边等于右边，答案正确 。
答：小明起跑后经过 30 秒可以追上小红 。
综合行程问题例题
例 3：一艘轮船在静水中的速度是 20 千米 / 小时，水流速度是 4 千米 / 小时，轮船从 A 港顺水航行到 B 港用了 6 小时，那么从 B 港逆水航行返回 A 港需要多少小时？
分析：先根据顺水速度 = 船速 + 水速，求出顺水速度为\(20 + 4 = 24\)千米 / 小时，再根据路程 = 速度 × 时间，求出 A、B 两港的距离为\(24 6 = 144\)千米 。然后根据逆水速度 = 船速 - 水速，求出逆水速度为\(20 - 4 = 16\)千米 / 小时 。最后设从 B 港逆水航行返回 A 港需要\(x\)小时，根据路程不变，可列方程\(16x = 144\) 。
解答：解方程得\(x = 9\) 。
检验：把\(x = 9\)代入原方程，左边\(= 16 9 = 144\)，右边\(= 144\)，左边等于右边，答案正确 。
答：从 B 港逆水航行返回 A 港需要 9 小时 。
（五）课堂练习
基础练习
甲、乙两人分别从相距 30 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，两人几小时后相遇？
答案：设两人\(x\)小时后相遇，\(6x + 4x = 30\)，\(10x = 30\)，解得\(x = 3\) 。答：两人 3 小时后相遇 。
甲、乙两车同向而行，甲车速度是 70 千米 / 小时，乙车速度是 50 千米 / 小时，乙车先出发 2 小时，甲车出发后几小时能追上乙车？
答案：设甲车出发后\(x\)小时能追上乙车，\(70x - 50x = 50 2\)，\(20x = 100\)，解得\(x = 5\) 。答：甲车出发后 5 小时能追上乙车 。
提高练习
甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道长 400 米，甲的速度是 8 米 / 秒，乙的速度是 6 米 / 秒，两人同时同地同向出发，经过多少秒甲第一次追上乙？
答案：设经过\(x\)秒甲第一次追上乙，\(8x - 6x = 400\)，\(2x = 400\)，解得\(x = 200\) 。答：经过 200 秒甲第一次追上乙 。
一艘船在河中航行，顺水速度是 25 千米 / 小时，逆水速度是 15 千米 / 小时，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：设船在静水中的速度是\(x\)千米 / 小时，水流速度是\(y\)千米 / 小时，可列方程组\(\begin{cases}x + y = 25\\x - y = 15\end{cases}\)，两式相加得\(2x = 40\)，解得\(x = 20\)，把\(x = 20\)代入\(x + y = 25\)，得\(y = 5\) 。答：船在静水中的速度是 20 千米 / 小时，水流速度是 5 千米 / 小时 。
拓展练习
A、B 两地相距 540 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度是 60 千米 / 小时，乙车速度是 40 千米 / 小时，途中甲车因故障停留了 1 小时，两车相遇时乙车行驶了多少千米？
答案：设两车相遇时行驶了\(x\)小时，\(60(x - 1) + 40x = 540\)，\(60x - 60 + 40x = 540\)，\(100x = 600\)，解得\(x = 6\) 。乙车行驶的路程为\(40 6 = 240\)千米 。答：两车相遇时乙车行驶了 240 千米 。
甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲骑自行车，速度是 18 千米 / 小时，乙步行，速度是 6 千米 / 小时，乙先走 2 小时后甲才出发，甲出发后多久两人相距 6 千米？
答案：分两种情况。第一种情况，甲还没追上乙且相距 6 千米，设甲出发后\(x\)小时两人相距 6 千米，\(6(x + 2) - 18x = 6\)，\(6x + 12 - 18x = 6\)，\(-12x = -6\)，解得\(x = 0.5\) 。第二种情况，甲超过乙 6 千米，设甲出发后\(y\)小时两人相距 6 千米，\(18y - 6(y + 2) = 6\)，\(18y - 6y - 12 = 6\)，\(12y = 18\)，解得\(y = 1.5\) 。答：甲出发后 0.5 小时或 1.5 小时两人相距 6 千米 。
（六）课堂小结
回顾行程问题的基本公式，以及相遇问题、追及问题等常见类型的特点和解题方法。
强调在解决行程问题时，要善于运用线段图等工具分析数量关系，找出等量关系，合理选择方程或算术方法求解。
鼓励学生在生活中发现行程问题，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
（七）布置作业
必做题
课本课后相关练习题，巩固行程问题的基本解法 。
甲、乙两车从相距 420 千米的两地同时出发，相向而行，甲车速度是 60 千米 / 小时，乙车速度是 80 千米 / 小时，两车几小时后相遇？相遇时甲车行驶了多少千米？
选做题
甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步，甲的速度是 3 米 / 秒，乙的速度是 2 米 / 秒，如果两人同时同地反向出发，多长时间后两人第一次相遇？如果两人同时同地同向出发，多长时间后甲第一次追上乙？
一艘轮船从甲地顺水航行到乙地用了 5 小时，从乙地逆水航行返回甲地用了 7 小时，已知水流速度是 3 千米 / 小时，求甲、乙两地的距离 。
这份课件围绕行程问题展开教学，涵盖多种类型和解题思路。你若对课件的内容编排、例题难度、练习设置等方面有想法，欢迎随时和我沟通，一起优化完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
本章知识回顾
一元一次方程
概念
方程的解
解方程
认识方程
等式基本性质
同类相、移项
去括号
去分母
一元一次方程的解法
几何图形问题
古代数学问题
行程问题
一元一次方程应用
知识点回顾
在一个方程中，只含有____个未知数，且方程中的代数式都是______，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程.
一
整式
1
使方程左、右两边的值_____的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程称为解方程.
相等
方程的有关概念
下列式子中是一元一次方程的有（ ）.
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
① x + 3 = ； ② 7x = 3； ③ 4x – 3 = 3x + 2； ④ x = 2； ⑤ x + y = 5； ⑥ x2 + 3x = 1.
等式的基本性质：
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式.
等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
用字母可以表示
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
下列等式变形正确的是（ ）.
B
等式的基本性质
A. 如果x=6，那么 x = 3
B. 如果 x – 3 = y – 3，那么 x – y = 0
C. 如果 mx = my，那么 x = y
D. 如果S =ab，那么 b=
解一元一次方程的步骤 步骤 根据 注意事项
去分母 等式的基本性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号、去括号
去括号 乘法对加法的分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“－”号，要变号
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
未知数的系数化为1 等式的基本性质2 乘分数系数的倒数时不要出错
解一元一次方程
解一元一次方程的步骤
解方程：
解： 去分母，得 5(3x – 2)+ 20 = 2(x + 1)
去括号，得 15x – 10 + 20 = 2x + 2
移项，合并同类项，得 13x = – 8
系数化为1，得 x = –
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
读题分析题中已知什么，求什么？有哪些事物在什么方面产生关系？
设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称.
把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程.
解方程，求出未知数的值（x = a）
写出答案
审
列
设
答
解
验
检验所求解是否符合题意
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
数学问题的解
（一元一次方程的解）
实际问题的解
抽象
解方程
验证
解释
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
寻找等量关系
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
商场将某种品牌的冰箱先按进价提高50%作为标价，然后打出“八折酬宾，外送100元运装费”的广告，结果每台冰箱仍获利300元，求每台冰箱的进价是多少元.
解：设每台冰箱的进价为 x 元，则标价为x(1+50%)元，
实际售价为x(1+50%)×80%元
由题意得：x(1+50%)×80% – 100 – x = 300
解得，x = 2000
答：每台冰箱的进价是 2000 元.
1.解方程
解：去分母，得 5x – 3x = 4
合并同类项，得 2x = 4
方程两边都除以2，得
x = 2
（1） ；
（2） ；
解：去分母，得 4 – 48x = 18 – 3x
移项，合并同类项，得 – 45x = 14
方程两边都除以45 x =
复习题
知识技能
（3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；
解：移项，合并同类项，得
1.8x = 7.2
方程两边都除以1.8，得
x = 4
（4）
解：去分母，得
5(3x – 6) = 6×2x – 3×30
去括号，得
15x – 30 = 12x – 90
移项，合并同类项，得 3x = – 60
方程两边都除以3，得
x = – 20
(5)3(x-7)+5(x-4)=15
(6)4x-3(20-x)=-4
解：去括号，得
3x – 21+5x-20 =15
移项，合并同类项，得 8x = 56
方程两边都除以8，得
x = 7
解：去括号，得
4x – 60+3x =-4
移项，合并同类项，得 7x = 56
方程两边都除以7，得
x = 8
(7)
(8)
解：去分母，得
5(y-1)= 20 – 2(y+2)
去括号，得
5y-5= 20-2y-4
移项，合并同类项，得 7y =21
方程两边都除以7，得
y= 3
解：去分母，得
7(1-2x)= 6(3x+1)
去括号，得
7-14x= 18x+6
移项，合并同类项，得 -32x=-1
方程两边都除以-32，得
x =
2.在公式s=s0+vt中，已知s=100，s0=25，v=10，求t的值
解： s=100，s0=25，v=10代入方程得
100=25+10t
移项，合并同类项，得 75= 10t
方程两边都除以10，得
t= 7.5
考点1 三个概念
概念1 方程
1.下列各式中，是方程的有( )
；；； ；
； 。
C
A.2个 B.3个 C.5个 D.4个
概念2 一元一次方程
2.若关于的方程是一元一次方程，则 ____。
概念3 方程的解
3.［教材复习题变式］已知是一元一次方程 的
解，则 ___。
5
考点2 一个性质——等式的基本性质
4.［2025武汉期末］下列变形不一定正确的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
考点3 一个解法——一元一次方程的解法
5.（12分）解方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 。
（2） ；
解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 。
（3） 。
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 。
考点4 一个应用——一元一次方程的应用
6.［2024无锡中考］《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题
（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海
飞到南海需要9天。如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过
多少天相遇？设经过 天相遇，则下列方程正确的是( )
A
A. B. C. D.
7.（4分）［2024北京中考］为防治污染，保护和改善生态环境，自
2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称
“标准”）。对某型号汽车，“标准”要求 类物质排放量不超过
，，两类物质排放量之和不超过 。已知该型号
某汽车的，两类物质排放量之和原为 。经过一次技术改
进，该汽车的类物质排放量降低了， 类物质排放量降低了
，，两类物质排放量之和为 ，判断这次技术改进后
该汽车的 类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由。
解：符合“标准”，理由：设技术改进后该汽车的 类物质排放量为
，则类物质排放量为 。
由题意得 ，
解得 。
因为，所以这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”。
8.（4分） ［2024连云港中考］我市将5月21日设立为连
云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”。活
动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动
的纪念品。折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把？
解：若每次邮购都是100把，则 （元），
。
所以一次邮购少于100把，另一次邮购多于100把。
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇 把。
由题意得 ，
解得 。
所以 。
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把。
考点5 两种思想
思想1 整体思想
9.（4分）解方程： 。
解：原方程可化为 ，
即 ，
所以 ，
解得 。
思想2 数形结合思想
10.（12分） 如图，数轴上两个动点， 开始时所表示
的数分别为，4，， 两点各自以一定的速度在数轴上匀速运动，且
点 的运动速度为每秒2个单位长度。
（1）若，两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点 的运动速度。
解：设点的运动速度为每秒 个单位长度，由题意得，相遇时间为
（秒），则可列方程 ，
解得 。
故点 的运动速度为每秒1个单位长度。
（2）若， 两点按（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几
秒时两点相距6个单位长度？
解：设 秒时两点相距6个单位长度，
①当点在点左侧时，，解得 ；
②当点在点右侧时，，解得 。
综上，6秒或18秒时两点相距6个单位长度。
（3）若， 两点按（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与
此同时，点 从原点出发向同方向运动，且在运动过程中，始终有
。若干秒后，点在所对应的点处，求此时点 的位置。
解：设点运动的速度为每秒个单位长度，运动时间为 秒。
由运动过程中始终有 ，
可列方程。解得 。
当点运动到所对应的点处时，所用的时间为 （秒），此时
点所表示的数为 。
故此时点的位置是 所对应的点处。
通过本节课的学习，完整地回顾本章所学的有关知识以及与本章相关的数学思想方法. 解决自己对本章内容的疑惑.
课堂小结
谢谢观看！

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