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2.1.2.2整式
第2章 整式及其加减
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.1.2.2 整式
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汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上节课我们学习了代数式，知道代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。例如，\(5\)、\(a\)、\(3x + 2y\)、\(\frac{m}{n}\)（\(n 0\)）等都是代数式。今天我们要学习代数式中的一类重要式子 —— 整式。
学习目标
理解整式、单项式、多项式的概念，能准确区分整式与非整式。
掌握单项式的系数和次数、多项式的项和次数的概念，能正确指出单项式的系数和次数、多项式的项和次数。
培养观察、分析和归纳能力，体会数学概念的严谨性。
课堂导入
观察下列代数式：
\(3x\)、\(-5\)、\(a^2b\)、\(0.7m^3n^2\)
\(2x + 3y\)、\(a^2 - 2a + 1\)、\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)
\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{a + b}{c}\)（\(c 0\)）、\(x + \frac{1}{y}\)
这些代数式中，前两组与第三组有什么不同呢？前两组代数式中分母不含有字母，而第三组代数式中分母含有字母。我们把前两组这样的代数式叫做整式，这就是我们今天要学习的内容。
知识点：整式的概念
定义
单项式和多项式统称为整式。
也就是说，整式包括单项式和多项式，它是代数式的一部分。判断一个代数式是否为整式，关键看代数式的分母中是否含有字母，分母中不含有字母的代数式是整式，分母中含有字母的代数式不是整式。
例如：
整式：\(5\)、\(a\)、\(3x^2\)、\(2x + y\)、\(m^2 - 3m + 1\)等。
非整式：\(\frac{2}{x}\)（\(x 0\)）、\(\frac{a - b}{c}\)（\(c 0\)）、\(x + \frac{1}{y}\)（\(y 0\)）等（因为分母中含有字母）。
知识点：单项式
定义
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
例如：
数与字母的积：\(3x\)、\(-5a^2b\)、\(\frac{2}{3}m^3n\)等都是单项式。
单独的一个数：\(7\)、\(-0.5\)、\(0\)等都是单项式。
单独的一个字母：\(a\)、\(b\)、\(x\)等都是单项式。
单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：
单项式\(3x\)的系数是\(3\)。
单项式\(-5a^2b\)的系数是\(-5\)。
单项式\(\frac{2}{3}m^3n\)的系数是\(\frac{2}{3}\)。
单项式\(a\)可以看作\(1 a\)，所以系数是\(1\)。
单项式\(-b\)可以看作\(-1 b\)，所以系数是\(-1\)。
单项式\(5\)可以看作\(5 a^0\)（\(a 0\)，\(a^0 = 1\)），所以系数是\(5\)。
注意：单项式的系数包括前面的符号。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：
单项式\(3x\)中，字母\(x\)的指数是\(1\)，所以次数是\(1\)（称为一次单项式）。
单项式\(-5a^2b\)中，字母\(a\)的指数是\(2\)，字母\(b\)的指数是\(1\)，所有字母指数的和是\(2 + 1 = 3\)，所以次数是\(3\)（称为三次单项式）。
单项式\(\frac{2}{3}m^3n\)中，字母\(m\)的指数是\(3\)，字母\(n\)的指数是\(1\)，所有字母指数的和是\(3 + 1 = 4\)，所以次数是\(4\)（称为四次单项式）。
单项式\(a\)中，字母\(a\)的指数是\(1\)，所以次数是\(1\)。
单独的一个非零数的次数是\(0\)，如\(5\)、\(-0.7\)等都是零次单项式；\(0\)的次数是不确定的，一般不讨论。
知识点：多项式
定义
几个单项式的和叫做多项式。
例如：
\(2x + 3y\)是单项式\(2x\)与\(3y\)的和，是多项式。
\(a^2 - 2a + 1\)是单项式\(a^2\)、\(-2a\)与\(1\)的和，是多项式。
\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)是单项式\(-x^3\)、\(2x^2y\)与\(-y^3\)的和，是多项式。
多项式的项
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
例如：
多项式\(2x + 3y\)的项是\(2x\)、\(3y\)，没有常数项。
多项式\(a^2 - 2a + 1\)的项是\(a^2\)、\(-2a\)、\(1\)，其中\(1\)是常数项。
多项式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)的项是\(-x^3\)、\(2x^2y\)、\(-y^3\)，没有常数项。
注意：多项式的项包括它前面的符号。
多项式的次数
多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：
多项式\(2x + 3y\)中，\(2x\)的次数是\(1\)，\(3y\)的次数是\(1\)，次数最高的项的次数是\(1\)，所以这个多项式的次数是\(1\)（称为一次多项式）。
多项式\(a^2 - 2a + 1\)中，\(a^2\)的次数是\(2\)，\(-2a\)的次数是\(1\)，\(1\)的次数是\(0\)，次数最高的项的次数是\(2\)，所以这个多项式的次数是\(2\)（称为二次多项式）。
多项式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)中，\(-x^3\)的次数是\(3\)，\(2x^2y\)的次数是\(2 + 1 = 3\)，\(-y^3\)的次数是\(3\)，次数最高的项的次数是\(3\)，所以这个多项式的次数是\(3\)（称为三次多项式）。
多项式的命名
一个多项式含有几项，就叫做几项式。多项式的次数是几，就叫做几次多项式。通常把多项式的次数和项数结合起来命名，如 “二次三项式” 表示次数是\(2\)、含有\(3\)项的多项式。
例如：
多项式\(2x + 3y\)是一次二项式。
多项式\(a^2 - 2a + 1\)是二次三项式。
多项式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)是三次三项式。
多项式\(5x^4 - 3x^2 + 7\)是四次三项式。
例题解析
例 1：判断下列代数式是不是整式，若是整式，指出是单项式还是多项式：
（1）\(3x^2\) （2）\(\frac{1}{x + 1}\)（\(x -1\)） （3）\(-5\) （4）\(a + b - c\) （5）\(\frac{2}{3}m^2n - 1\)
解：（1）\(3x^2\)是整式，是单项式；
（2）\(\frac{1}{x + 1}\)的分母中含有字母，不是整式；
（3）\(-5\)是整式，是单项式；
（4）\(a + b - c\)是整式，是多项式；
（5）\(\frac{2}{3}m^2n - 1\)是整式，是多项式。
例 2：指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(-4x^2y\) （2）\(\frac{3}{5}a^3b^2\) （3）\(m\) （4）\(-7\)
解：（1）单项式\(-4x^2y\)的系数是\(-4\)，所有字母指数的和是\(2 + 1 = 3\)，所以次数是\(3\)；
（2）单项式\(\frac{3}{5}a^3b^2\)的系数是\(\frac{3}{5}\)，所有字母指数的和是\(3 + 2 = 5\)，所以次数是\(5\)；
（3）单项式\(m\)的系数是\(1\)，字母\(m\)的指数是\(1\)，所以次数是\(1\)；
（4）单项式\(-7\)的系数是\(-7\)，次数是\(0\)。
例 3：指出下列多项式的项、常数项和次数，并说明是几次几项式：
（1）\(3x^2 - 2x + 5\) （2）\(-x^3 + 2x^2y - xy^2 + y^3\) （3）\(a - 1\)
解：（1）多项式\(3x^2 - 2x + 5\)的项是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)，常数项是\(5\)；次数最高的项是\(3x^2\)，次数是\(2\)；所以这个多项式是二次三项式。
（2）多项式\(-x^3 + 2x^2y - xy^2 + y^3\)的项是\(-x^3\)、\(2x^2y\)、\(-xy^2\)、\(y^3\)，没有常数项；各项的次数都是\(3\)，次数最高的项的次数是\(3\)；所以这个多项式是三次四项式。
（3）多项式\(a - 1\)的项是\(a\)、\(-1\)，常数项是\(-1\)；次数最高的项是\(a\)，次数是\(1\)；所以这个多项式是一次二项式。
小练习
判断下列代数式是不是整式，若是整式，指出是单项式还是多项式：
（1）\(\frac{1}{2}a\) （2）\(\frac{x}{y}\)（\(y 0\)） （3）\(x^2 + y^2\) （4）\(-\frac{3}{4}\) （5）\(\frac{m + n}{3}\)
指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(5ab^2\) （2）\(-\frac{2}{3}x^3y\) （3）\(0.6m\) （4）\(-p^2q^3\) （5）\(2\)
指出下列多项式的项、常数项和次数，并说明是几次几项式：
（1）\(x^3 - 2x^2 + 3x - 1\) （2）\(2a^2b - 3ab + 5\) （3）\(m^2n + mn^2\)
填空：
（1）单项式\(-\frac{1}{3}x^2y\)的系数是（ ），次数是（ ）。
（2）多项式\(3x^4 - 2x^2 + x - 7\)是（ ）次（ ）项式，常数项是（ ）。
（3）若\(5x^2y^m\)是五次单项式，则\(m = \)。
思考讨论
单项式和多项式有什么联系和区别？
联系：单项式和多项式统称为整式；多项式是由单项式组成的，是几个单项式的和。
区别：单项式是数与字母的积（或单独的一个数、一个字母），而多项式是几个单项式的和，含有 “+” 号（或可转化为含有 “+” 号的形式）。
如何确定一个多项式的次数？
确定一个多项式的次数，需要先找出多项式中每一项的次数，然后找出次数最高的项，这个项的次数就是多项式的次数。注意是 “次数最高的项的次数”，而不是所有项的次数之和。
课堂小结
整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的代数式不是整式。
单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。包括系数（数字因数，包括符号）和次数（所有字母指数的和）。
多项式：几个单项式的和。包括项（每个单项式，包括符号）、常数项（不含字母的项）和次数（次数最高的项的次数），可按次数和项数命名（如几次几项式）。
课后作业
教材 P63 练习 1、2、3 题。
下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？\(3x\)、\(\frac{1}{x}\)（\(x 0\)）、\(-5\)、\(a^2 + b^2\)、\(\frac{2}{3}m - n\)、\(\frac{x + y}{z}\)（\(z 0\)）
指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(-3a^2b^3\) （2）\(\frac{1}{4}xy\) （3）\(-m\) （4）\(7^2x^2y\)
已知多项式\(-x^2y^{m + 1} + xy^2 - 3x^3 + 6\)是六次四项式，求\(m\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.能叙述并理解单项式及单项式的系数、次数的意义，能确定一个单项式的系数和次数.
2.理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念.
3.会用整式解决简单的实际问题.
学习目标
复习回顾
用代数式表示：
（1）正方形边长为a，则周长为_____，面积为_____；
（2）长为a，宽为 a的长方形的面积为______；
（3）半径为r的圆的面积为______；
（4）若m表示一个有理数，则它的相反数是______.
4a
a2
πr2
-m
观察上述代数式，它们有什么特点？
进行新课
4 a
π r2
- m
知识点一
单项式的概念
数
字母
×
数
字母
×
数
字母
×
数
字母
×
π是圆周率，是数字，不是字母
-1
a×a
这些式子都是数与字母的积，像这样的代数式叫作单项式.
练一练：下列各式哪些是单项式？哪些不是单项式？
点拨：①单项式中只有乘除法，没有加减法;
②单项式的分母中只含数，不含字母；
③单个的字母或数也是单项式.
知识点二
单项式的系数与次数
- m
系数
1次
1+2=3次
次数
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
-1
单项式的系数包括它前面的符号；
当系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略.
没有写指数的字母，实际其指数是“1”；
不要把系数的指数当做字母的指数.
写出下列单项式的系数与次数：
单项式
系数
次数
-1
2
3
1
1
-15
4
2
例
4
用代数式表示：
（1）长方形的长为x，宽为y，则周长为________；
（2）一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数字是______________；
（3）如图的三角尺的面积
为____________.
知识点三
多项式的概念
2x＋2y
100a＋10b＋c
a
b
r
观察这些代数式，它们有什么特点？
2x＋2y
单项式
单项式
＋
单项式
单项式
＋
＋
多项式：几个单项式的和叫作多项式.
注意：多项式中含有运算符号，且分母中不含字母.
4a2 -a+ 7
在多项式里，每个单项式（连同符号）叫作多项式的项.
不含字母的项叫作常数项.
项：4a2，-a，7
常数项
注意：多项式的每一项都是单项式，每一项都包括它前面的符号.
练一练：指出下列各式中的多项式，并指出多项式的项.
知识点四
多项式的项数与次数
4a2 -a +7
一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式.
一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数.
次数是2
多项式的次数是2
次数最高项的次数
次数是1
常数项
三项式
二次
下列多项式分别是几次几项式？
例
5
知识点五
整式
整式：单项式与多项式统称为整式.
注意：所有的单项式与多项式都是整式；
既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
随堂演练
1.判断正误:
（1）x是一次单项式. （ ）
（2）-1不是单项式. （ ）
（3）单项式xy没有系数. （ ）
（4）23x2是五次单项式. （ ）
（5）3x+y是二次二项式. （ ）
【选自教材P68练习 第1题】
√
×
×
×
×
2.填表：
【选自教材P68练习第2题】
单项式
系数
次数
-7
1
5
1
1
0.3
2
2
2
-1
3
【选自教材P68练习第3题】
3.下列多项式是几次几项式？指出它们的最高次项和常数项.
（1）-2x+1；
（2）3x-4x2-1；
（3）x2-xy+y2；
（4）-mn-m+2.
一次二项式；最高次项为-2x，常数项为1
二次三项式；最高次项为-4x2，常数项为-1
二次三项式；最高次项为x2，-xy，y2，无常数项
二次三项式；最高次项为-mn，常数项为2
4.已知2x4-my是关于x，y的三次单项式，则m的值为_______.
5.当m=______时，代数式 是关于x的一次单项式.
2
-3
1星题 基础练
知识点1 单项式及其相关概念
1.下列代数式：，，，，4，， ，其
中单项式有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.单项式 的系数和次数分别为( )
C
A.，3 B.，4 C. ，3 D. ，4
3.填表：
单项式
系数 ____ ____ __ ___ _ ___ ___
次数 ___ ___ __ ___ ___ ___
30
1
1
8
1
3
1
6
4
3
4.创新题·开放题 [2025年1月北京期末] 请写出一个系数为负
数且只含有字母 的二次单项式：_________________.
(答案不唯一)
5.若与的次数相等，则 的值为___.
2
【变式题】 若是关于、 的四次单项式，且系数为7，
则 ____.
知识点2 多项式及其相关概念
6.下列式子中，多项式是( )
C
A. B. C. D.
7.［2025年1月芜湖期末］多项式 的各项分别是
( )
A
A.，，5 B.， ，5
C.， ，5 D.3，2，5
8.关于多项式 的说法正确的是
( )
D
A.它是五次三项式 B.它的最高次项的系数为
C.它的常数项为10 D.它的二次项系数为6
9.多项式 是____次____项式，其
中常数项是____.
六
四
【变式题1】 如果多项式 是三次四项式，
常数项为，那么___, ____.
2
【变式题2】 若多项式是关于 的四次
多项式，则 的值为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点3 整式
10.下列各式中，不是整式的是( )
B
A. B. C. D.
11.［2025·六安月考］对下列式子进行分类.
,,,,,,0,,,,, .
单项式：______________；
多项式：___________________；
整式：__________________________________.
，0，，
，，
，0，，，，，
2星题 中档练
12.［2025年1月扬州期末］如图，某同学笔记本上的多项式
未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上不能填写的
是( )
C
A. B. C. D.
13.若是关于、的五次单项式，则 ___.
4
14.创新题·新考法 [2024· 山西期中] 定义：若一个多项式
有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫作“齐次二
项式”.若关于，的多项式 是“齐次二项
式”，在数轴上表示的点在表示 的点的右侧距离5个单位
长度处，则 ___.
8
15.(8分)
(1)多项式是关于 的四次三项式，
并且一次项系数为，求 的值；
解：由题意知,, ,
所以.所以 .
(2)已知关于 的多项式
不含项和 项，求
的值.
解：由题意知, ，
解得,,所以 .
16.(12分)分类讨论思想 已知关于 的整式
.
(1)若此整式是单项式，求 的值；
解：因为关于的整式是单项式，所以易得 且
，所以，所以 的值是3.
(2)若此整式是二次多项式，求 的值；
因为关于 的整式是二次多项式，
所以，，，所以 ，
所以的值是 .
(3)若此整式是二项式，求 的值.
因为关于 的整式是二项式，所以有如下三种情况：
①，，，所以 ；
②，, ，此情况无解；
③，,，所以 .
所以的值是 或0.
3星题 提升练
17.(16分)推理能力 观察一组单项式：,,,, ,
,, .回答下列问题：
(1)这组单项式的系数的符号、系数的绝对值的规律分别是什么？
解：这组单项式的系数的符号的规律是,，,， ，系
数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数.
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
(3)请你猜想第是正整数 个单项式;
第个单项式是 .
(4)请分别写出第， 个单项式.
第2 025个单项式是 ；第2 026个单项式是
.
课堂小结
次数: 所有字母的指数的和.
系数：单项式中的数字因数.
项：式中的每个单项式叫多项式的项.
（其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
整 式
单项式
多项式
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