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2.1.3 代数式的值
第2章 整式及其加减
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.1.3 代数式的值
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汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上节课我们学习了整式的相关知识，知道单项式和多项式统称为整式，也掌握了单项式的系数、次数以及多项式的项、次数等概念。例如，\(3x^2\)是单项式，系数是 3，次数是 2；\(x^2 + 2x + 1\)是二次三项式，项分别是\(x^2\)、\(2x\)、1。今天我们来学习与代数式相关的另一个重要内容 —— 代数式的值。
学习目标
理解代数式的值的概念，知道代数式的值是由代数式中字母的取值确定的。
掌握求代数式值的方法和步骤，能准确求出代数式的值。
能运用代数式的值解决实际问题，体会代数式的实际意义。
培养运算能力和分析问题、解决问题的能力。
课堂导入
我们知道，代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。例如，代数式\(2x + 3\)中，字母 x 可以取不同的值，当 x 取不同的值时，代数式\(2x + 3\)的结果也会不同。比如，当 x = 1 时，\(2x + 3 = 2 1 + 3 = 5\)；当 x = 2 时，\(2x + 3 = 2 2 + 3 = 7\)。这里的 5 和 7 就是代数式\(2x + 3\)在 x = 1 和 x = 2 时的值。那么，什么是代数式的值呢？如何求代数式的值呢？这就是我们本节课要学习的内容。
知识点：代数式的值的概念
定义
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
例如：
对于代数式\(x^2 - 2y\)，当 x = 3，y = 1 时，代入可得\(3^2 - 2 1 = 9 - 2 = 7\)，7 就是代数式\(x^2 - 2y\)在 x = 3，y = 1 时的值。
对于代数式\(\frac{a + b}{2}\)，当 a = 4，b = 6 时，代入可得\(\frac{4 + 6}{2} = 5\)，5 就是代数式\(\frac{a + b}{2}\)在 a = 4，b = 6 时的值。
注意事项
代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，字母的取值不同，代数式的值可能不同；但字母的取值确定后，代数式的值也就唯一确定了（在有意义的前提下）。
字母的取值要使代数式有意义，同时还要符合实际情况。例如，在代数式\(\frac{1}{x}\)中，x 不能取 0；用 a 表示人数时，a 只能取正整数。
知识点：求代数式的值的步骤
求代数式的值的一般步骤如下：
代入：把代数式中字母所取的数值代入代数式中，注意原来省略的乘号要添上，并且要正确使用括号。
例如，当 x = -2 时，代入代数式\(x^2 + 3x\)中，应写成\((-2)^2 + 3 (-2)\)，而不能写成\(-2^2 + 3 -2\)。
计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算，即先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
例如，计算\((-2)^2 + 3 (-2)\)时，先算乘方\((-2)^2 = 4\)，再算乘法\(3 (-2) = -6\)，最后算加法\(4 + (-6) = -2\)。
例题解析
例 1：当 a = 2，b = -1 时，求下列代数式的值：
（1）\(3a + 2b\)；
（2）\(a^2 + b^2 + 2ab\)。
解：（1）把 a = 2，b = -1 代入\(3a + 2b\)得：\(
\begin{align*}
&3 2 + 2 (-1)\\
=&6 - 2\\
=&4
\end{align*}
\)
（2）把 a = 2，b = -1 代入\(a^2 + b^2 + 2ab\)得：\(
\begin{align*}
&2^2 + (-1)^2 + 2 2 (-1)\\
=&4 + 1 - 4\\
=&1
\end{align*}
\)
例 2：当 x = -3 时，求代数式\(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\)的值。
解：把 x = -3 代入代数式\(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\)得：\(
\begin{align*}
&2 (-3)^3 - 5 (-3)^2 + 3 (-3) - 1\\
=&2 (-27) - 5 9 + (-9) - 1\\
=&-54 - 45 - 9 - 1\\
=&-109
\end{align*}
\)
例 3：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求代数式\(a^2b + ab^2\)的值。
解：先对代数式\(a^2b + ab^2\)进行因式分解（后续会学习），可得\(a^2b + ab^2 = ab(a + b)\)。
把\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)代入得：\(3 5 = 15\)
例 4：某商店进了一批商品，每件商品的进价为 a 元，若要获利 20%，则每件商品的售价应定为多少元？当 a = 50 时，售价为多少元？
解：每件商品获利 20%，即获利\(20\%a\)元，所以售价应定为\(a + 20\%a = 1.2a\)元。
当 a = 50 时，售价为\(1.2 50 = 60\)元。
答：每件商品的售价应定为\(1.2a\)元，当 a = 50 时，售价为 60 元。
小练习
当 x = 4，y = -2 时，求下列代数式的值：
（1）\(x - 2y\)；
（2）\(x^2 + y^2\)；
（3）\(\frac{x + y}{x - y}\)。
当 a = -1，b = 3 时，求代数式\(3(a - b)^2 + 2(a + b)\)的值。
已知\(x - y = 3\)，求代数式\(2(x - y) - 5 + 3(x - y)\)的值。
一个长方形的长为\((2m + 3)\)厘米，宽为\((m - 1)\)厘米，求这个长方形的面积。当 m = 3 时，这个长方形的面积是多少平方厘米？
填空：
（1）当 x = 0 时，代数式\(2x + 5\)的值是（ ）。
（2）若代数式\(3x - 1\)的值为 5，则 x =（ ）。
（3）当 a = 2，b =（ ）时，代数式\(a + 2b = 0\)。
思考讨论
求代数式的值时，代入数值后为什么要添加括号？
在求代数式的值时，当字母所取的值是负数、分数或含运算符号的式子时，代入后添加括号可以避免运算符号和数值的符号混淆，保证运算的正确性。例如，当 x = -2 时，代入\(x^2\)中，写成\((-2)^2 = 4\)，如果不添加括号，写成\(-2^2 = -4\)，就会导致结果错误。
除了直接代入计算，还有哪些求代数式值的方法？
除了直接代入计算，还可以先对代数式进行化简或变形，再代入数值计算，这样可以使计算更简便。例如，例 3 中先将代数式\(a^2b + ab^2\)变形为\(ab(a + b)\)，再代入已知条件计算，比直接代入 a、b 的值计算更简单。
课堂小结
代数式的值的概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。
求代数式的值的步骤：先代入（注意添加括号），再计算（遵循运算顺序）。
注意事项：字母的取值要使代数式有意义且符合实际情况；代入时要正确添加括号；计算时要严格按照运算顺序进行。
代数式的值在实际生活中有着广泛的应用，能帮助我们解决很多实际问题。
课后作业
教材 P65 练习 1、2、3 题。
当 x = -2，y = 5 时，求下列代数式的值：
（1）\(3x + 4y\)；
（2）\((x + y)(x - y)\)；
（3）\(x^2 - 2xy + y^2\)。
已知\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -1\)，求代数式\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)的值。
某工厂每天生产 x 个零件，改进技术后每天多生产 5 个零件，那么改进技术后生产 100 个零件需要多少天？当 x = 15 时，需要多少天？
若代数式\(2x + 3\)的值为 7，求代数式\(4x + 6\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.了解代数式的值的概念，并会求代数式的值.
2.认识各个数量关系之间的对应关系，在实际问题中列出代数式，解决简单的实际问题.
3. 会利用代数式求值推算代数式所反映的规律.
学习目标
复习回顾
1.代数式：用加、减、乘、除及乘方等__________把_____或______________连接而成的式子.
2.用语言叙述代数式2n+10的意义.
思考：求代数式2n+10的值，必须给出什么条件？代数式的值是由什么的值确定的？
运算符号
数
表示数的字母
n的2倍与10的和.
求2n＋10的值，必须给出n的值；
代数式的值由所含字母的取值确定．
进行新课
知识点
代数式的值
松手释放一个小球，让它从高处自由落下，
测得它下落的高度 h 与时间 t 的有关数据如下表：
t/s 1 2 3 4 5 …
h/m …
t/s 1 2 3 4 5 …
h/m …
（1）观察表中的数据，你发现有什么规律？
（2）用含 t 的式子表示 h，并求出 t=10 s 时的 h 值.
解：（1）下落高度h与时间t符合规律：
（2）当t=10s时，下落高度为
当t=10时，
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值.
运算关系：先乘方，后乘除，再加减；如有括号，先进行括号内运算.
注意：代数式中的字母在取值时必须保证取值后代数式有意义.
思考：代数式与代数式的值有什么区别和联系？
代数式
当t=10时，
代数式的值
区别：代数式代表一般性，代数式的值代表特殊性.
联系：代数式的值是代数式解决问题中的一个特例.
当x = -3，y =2时，求下列代数式的值：
例
6
（1）x2- y2； （2）(x- y)2.
解 当x = -3，y =2时，
（1） x2- y2=(-3)2-22=9-4=5.
（2） (x- y)2=(-3-2)2=(-5)2=25.
求代数式的值的步骤：
①写出条件：当……时
②抄写代数式
④计算
③带入数值
①
②
③
④
代入时，要“对号入座”，避免代错字母.
如果代数式中省略乘号，代入后需加上乘号.
若字母的值是负数或分数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变.
在带入数值时应注意：
1
2
3
练一练：已知x-2y=3，则代数式6-2x+4y的值为_____.
把已知条件作为一个整体，对给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入，实现快速求值.
【分析】题中x，y的值没有单独给出，可先将6-2x+4y变形为6-2(x-2y)，再将x-2y当成一个整体，代入到所求代数式中.
0
整体代入法：
某堤坝的横截面是梯形. 测得该梯形的上底a=18m，下底b=36m，高h=20m. 求这个堤坝的横截面面积.
例
7
解 梯形的面积公式是
将a=18m，b=36m，h=20m代入上面的公式，得
答：这个堤坝的横截面面积是540m2.
随堂演练
1.已知x= -2，y=202，则代数式 的值为 _______.
2.若x2 +3x=7，则x2 +3x-2的值为______.
202
5
3.已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，则 a-cd+b=______.
-1
【选自教材P70练习 第1题】
4.填图：
【选自教材P71练习 第2题】
5.如图，一枚玉璧的形状可看作一个圆环，外圆与内圆的半径分别是 R 和 r .
（1）用代数式表示圆环的面积；
（2）当R=5cm，r=2cm时，圆环的面积是多少（π取3.14）？
解：（1）πR2-πr2；
（2）当R=5cm，r=2cm时，
πR2-πr2=π×52-π×22
≈3.14×25-3.15×4
=65.94（cm2）.
【选自教材P71练习 第3题】
6.设甲数是x，乙数是y.
（1）用代数式表示甲、乙两数和的平方；
（2）用代数式表示甲、乙两数的平方和；
（3）当x= -2，y= -1时，计算上面（1）和（2）两题所列代数式的值.
解：（1）(x+y)2；
（2）x2+y2；
（3）当x= -2，y= -1时，(x+y)2=(-2-1)2=9；
x2+y2=(-2)2+(-1)2=5.
1星题 基础练
知识点1 求代数式的值
1.当时，代数式 的值是( )
D
A.7 B. C.5 D.
2.填表：
0 1 2
___ ___ ___ ___
【微总结】相反数的偶数次方______.
0
2
0
6
相等
3.整 体 思 想 [2025年1月安庆期末] 若、 互为相反数，
、互为倒数，则 ____.
4.(8分)当, 时，求下列代数式的值.
(1) ;
解：当，时，原式 .
(2) .
当，时，原式 .
知识点2 求代数式的值的应用
5.真 实 情 境 [2024· 北京期中] 是身体质量指数，健
康的身体质量指数应该保持在 之间，它的计算公
式为表示体重单位：，表示身高
单位：］，航航的身高是，体重是 ，那么他的身体质量指数____(填“在”或“不在”)健康范围内.
在
2星题 中档练
6.整 体 思 想 [2024· 广安中考改编] 若 ，则
___.
7
7.整 体 思 想 [2024· 安庆期中] 当 时，代数式
的值为，则当时，
的值为________.
8.(8分)［2025年1月六安第九中学
期末］学校办公楼前有一长为 ，
宽为 的长方形空地(如图)，在中
心位置留出一个直径为 的圆形
区域建一个喷泉，两边是长为 ，
宽为 的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地.
(1)用代数式表示阴影部分的面
积；结果保留
解：根据题意得，圆的半径为 ，
所以 .
(2)当，，， 时，
阴影部分的面积是多少？ 取3
当，，，，
取3时，
，
所以阴影部分的面积约是41.
3星题 提升练
9.数学文化 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九
章算术》.如图，这是一种数值转换机的运算程序.
(1)若第1次输入的数为1，则第1次输出的数为4，那么第2次
输出的数为 ___；
(2)若输入的数为5，则第2 025次输出的数是___.
2
2
课堂小结
代数式的值
概念
应用
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值.
直接代入求值
列代数式求值
整体代入求值
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