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2.2.3 整式加减
第2章 整式及其加减
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.2.3 整式加减
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
前面我们学习了同类项、合并同类项以及去括号和添括号的知识。合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项；去括号和添括号是代数式变形的重要方法，它们都遵循一定的法则。今天我们要学习的整式加减，就是以这些知识为基础进行的运算。
学习目标
理解整式加减的意义，知道整式加减的实质是去括号和合并同类项。
能熟练进行整式的加减运算，包括整式的加法和减法。
能运用整式加减解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
感受整式加减在数学中的应用，体会数学的逻辑性和严谨性。
课堂导入
我们来看一个问题：一个长方形的长为\((3x + 2y)\)厘米，宽为\((x - y)\)厘米，那么这个长方形的周长是多少厘米呢？
长方形的周长公式是\(2 (é + )\)，所以这个长方形的周长可以表示为\(2[(3x + 2y)+(x - y)]\)厘米。要算出这个结果，我们需要先去掉括号，再合并同类项，这就是整式的加减运算。通过今天的学习，我们就能轻松解决这类问题。
知识点：整式加减的意义
整式的加减就是求几个整式的和或差的运算。它的实质是运用去括号法则和合并同类项法则，将整式化简为一个最简整式（即不含同类项的整式）。
例如：
求整式\(3x + 2y\)与\(x - y\)的和，就是进行整式的加法运算，可表示为\((3x + 2y)+(x - y)\)。
求整式\(5a^2 - 3b^2\)与\(2a^2 + b^2\)的差，就是进行整式的减法运算，可表示为\((5a^2 - 3b^2)-(2a^2 + b^2)\)。
知识点：整式加减的步骤
整式加减的一般步骤如下：
去括号：如果整式加减运算中有括号，要先根据去括号法则去掉括号。如果括号前面是 “+” 号，去掉括号后，括号内的各项符号不变；如果括号前面是 “-” 号，去掉括号后，括号内的各项符号都要改变。
合并同类项：去掉括号后，按照合并同类项的法则，把多项式中的同类项合并成一项，使结果化为最简整式。
例如，计算\((3x + 2y)+(x - y)\)：
去括号：\(3x + 2y + x - y\)；
合并同类项：\((3x + x)+(2y - y)=4x + y\)。
再如，计算\((5a^2 - 3b^2)-(2a^2 + b^2)\)：
去括号：\(5a^2 - 3b^2 - 2a^2 - b^2\)；
合并同类项：\((5a^2 - 2a^2)+(-3b^2 - b^2)=3a^2 - 4b^2\)。
例题解析
例 1：计算：
（1）\((2x^2 + 3x - 1)+(x^2 - 2x + 5)\)；
（2）\((4a^2b - 3ab^2)-(2a^2b - 5ab^2)\)；
（3）\(3(x^2 - 2xy + y^2)-2(x^2 - xy + y^2)\)。
解：（1）\(
\begin{align*}
&(2x^2 + 3x - 1)+(x^2 - 2x + 5)\\
=&2x^2 + 3x - 1 + x^2 - 2x + 5\\
=&(2x^2 + x^2)+(3x - 2x)+(-1 + 5)\\
=&3x^2 + x + 4
\end{align*}
\)
（2）\(
\begin{align*}
&(4a^2b - 3ab^2)-(2a^2b - 5ab^2)\\
=&4a^2b - 3ab^2 - 2a^2b + 5ab^2\\
=&(4a^2b - 2a^2b)+(-3ab^2 + 5ab^2)\\
=&2a^2b + 2ab^2
\end{align*}
\)
（3）\(
\begin{align*}
&3(x^2 - 2xy + y^2)-2(x^2 - xy + y^2)\\
=&3x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x^2 + 2xy - 2y^2\\
=&(3x^2 - 2x^2)+(-6xy + 2xy)+(3y^2 - 2y^2)\\
=&x^2 - 4xy + y^2
\end{align*}
\)
例 2：先化简，再求值：
（1）\((5x^2 - 3y^2)-(5x^2 + 3y^2)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -1\)；
（2）\(2(2a + b)^2 - 3(2a + b)+8(2a + b)^2 - 6(2a + b)\)，其中\(a = -\frac{3}{4}\)，\(b = \frac{1}{2}\)。
解：（1）先化简：\(
\begin{align*}
&(5x^2 - 3y^2)-(5x^2 + 3y^2)\\
=&5x^2 - 3y^2 - 5x^2 - 3y^2\\
=&-6y^2
\end{align*}
\)
当\(x = 1\)，\(y = -1\)时，代入得：\(-6 (-1)^2=-6 1 = -6\)
（2）先化简，把\((2a + b)\)看作一个整体合并同类项：\(
\begin{align*}
&2(2a + b)^2 - 3(2a + b)+8(2a + b)^2 - 6(2a + b)\\
=&(2 + 8)(2a + b)^2+(-3 - 6)(2a + b)\\
=&10(2a + b)^2 - 9(2a + b)
\end{align*}
\)
当\(a = -\frac{3}{4}\)，\(b = \frac{1}{2}\)时，计算\(2a + b\)：\(2 (-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1\)
把\(2a + b=-1\)代入化简后的式子得：\(
\begin{align*}
&10 (-1)^2 - 9 (-1)\\
=&10 1 + 9\\
=&19
\end{align*}
\)
例 3：已知一个多项式与\(3x^2 - 2x + 5\)的和是\(x^2 + x - 1\)，求这个多项式。
解：设这个多项式为\(A\)，根据题意可得：\(A+(3x^2 - 2x + 5)=x^2 + x - 1\)
所以\(A=(x^2 + x - 1)-(3x^2 - 2x + 5)\)\(
\begin{align*}
&=x^2 + x - 1 - 3x^2 + 2x - 5\\
&=(x^2 - 3x^2)+(x + 2x)+(-1 - 5)\\
&=-2x^2 + 3x - 6
\end{align*}
\)
答：这个多项式是\(-2x^2 + 3x - 6\)。
例 4：如图，在一个长方形空地中，有一块正方形草坪和一块长方形花坛，正方形草坪的边长为\(a\)米，长方形花坛的长为\(b\)米，宽为\(c\)米，长方形空地的长为\((3a + b)\)米，宽为\((2a + c)\)米。求空地中除了草坪和花坛之外的面积。
解：首先计算长方形空地的面积：\((3a + b)(2a + c)\)（此处暂不展开计算，仅进行整式加减相关的面积差计算）
正方形草坪的面积为\(a^2\)平方米，长方形花坛的面积为\(bc\)平方米。
则空地中除了草坪和花坛之外的面积 = 长方形空地的面积 - 正方形草坪的面积 - 长方形花坛的面积，即：
\((3a + b)(2a + c)-a^2 - bc\)（展开并化简）\(
\begin{align*}
&=6a^2 + 3ac + 2ab + bc - a^2 - bc\\
&=(6a^2 - a^2)+2ab + 3ac+(bc - bc)\\
&=5a^2 + 2ab + 3ac
\end{align*}
\)
答：空地中除了草坪和花坛之外的面积是\((5a^2 + 2ab + 3ac)\)平方米。
小练习
计算：
（1）\((2x - 3y)+(5x + 4y)\)；
（2）\((8a - 7b)-(4a - 5b)\)；
（3）\(3(x^2 - 2x + 1)-2(2x^2 - 3x - 3)\)。
先化简，再求值：
（1）\(3x^2 - [7x - (4x - 3)-2x^2]\)，其中\(x = -1\)；
（2）\(5(3a^2b - ab^2)-(ab^2 + 3a^2b)\)，其中\(a = \frac{1}{2}\)，\(b = -1\)。
已知一个多项式减去\(x^2 - 2y^2\)等于\(3x^2 + y^2\)，求这个多项式。
一个三角形的第一条边长为\((2a + b)\)厘米，第二条边比第一条边短\((a - b)\)厘米，第三条边是第一条边与第二条边的和的一半。求这个三角形的周长。
填空：
（1）若\(A = x^2 - 2x + 1\)，\(B = 3x - 2\)，则\(A + B = \)。
（2）计算\((a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)= \)。
（3）若多项式\(2x^2 + ax - y + 6\)与多项式\(2bx^2 - 3x + 5y - 1\)的差不含\(x^2\)项和\(x\)项，则\(a = \)，\(b = \)。
思考讨论
整式加减运算的关键是什么？
整式加减运算的关键是正确地去括号和熟练地合并同类项。去括号时，要严格按照去括号法则进行，注意括号前面的符号对括号内各项符号的影响；合并同类项时，要准确找到同类项，再按照合并同类项的法则将系数相加，字母和字母的指数不变。
在进行整式加减时，如何处理多层括号？
在进行整式加减时，如果遇到多层括号，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号。每去掉一层括号后，要及时合并同类项，这样可以简化运算。例如，计算\(a - [b - (c - d)]\)，可以先去小括号得\(a - [b - c + d]\)，再去中括号得\(a - b + c - d\)。
课堂小结
整式加减的实质：去括号和合并同类项。
整式加减的步骤：
去括号：根据去括号法则去掉整式中的括号；
合并同类项：将去括号后的多项式中的同类项合并成一项。
整式加减的应用：可以求几个整式的和或差，也可以解决与面积、周长等相关的实际问题。
在进行整式加减时，要注意符号的变化和同类项的准确识别，以保证运算的正确性。
课后作业
教材 P78 练习 1、2、3、4 题。
计算：
（1）\((5m + 4n)-(7m - 2n)\)；
（2）\(2(x^2 - xy)-3(2x^2 - 3xy)\)；
（3）\(3a^2 - [5a - (\frac{1}{2}a - 3)+2a^2]\)。
先化简，再求值：
（1）\((2x^2 - y^2)-2(3y^2 - 2x^2)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)；
（2）已知\(x + y = 3\)，\(xy = -2\)，求\(3(x + y)-2(xy + x + y)\)的值。
已知多项式\(A = 3x^2 - 2x + 1\)，\(B = 2x^2 + 3x - 4\)，求\(2A - 3B\)。
一个长方形的长为\((2x + 3)\)厘米，宽为\((x - 1)\)厘米，另一个正方形的边长为\((x + 2)\)厘米。求长方形的面积与正方形的面积的差。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握整式加减的运算法则，并能熟练地进行整式的加减计算.
2.能将多项式按照某一个字母的升幂（降幂）排列.
3.经历整式加减的法则概括过程，提高思考及语言表达能力，培养符号感.
学习目标
复习回顾
回顾添括号法则，在下列各题的括号内，填写适当的项：
（1）-9a2+16b2= -（ ）；
（2）b2-4a2+4a-1=b2-（ ）；
（3）2x-x2+y2=2x+（ ）；
（4）2a-b-x+3y=2a-b-（ ）；
（5）am-bn-an-bm=am+（ ）-bm.
9a2-16b2
4a2-4a+1
-x2+y
x-3y
-bn-an
进行新课
知识点一
整式加减
利用学过的知识计算下列式子：
（1）(5x+4y)+(2x-3y)
（2）(5x+4y)-(2x-3y)
解： (5x+4y)+(2x-3y）
=5x+4y+2x-3y
=7x+y
解： (5x+4y)-(2x-3y)
=5x+4y-2x+3y
=3x+7y
整式的加减运算可归结为去括号、合并同类项
去括号
合并同类项
思考：观察计算过程，你发现了什么规律？
求多项式4-5x2+3x与-2x+7x2-3的差.
例
3
解：(4-5x2+3x)-(-2x+7x2-3)
=4-5x2+3x+2x-7x2+3
=(-5x2-7x2)+(3x+2x)+(4+3)
= -12x2+5x+7
有括号要先去括号
有同类项再合并同类项
结果中不能再有同类项
整式加减的运算结果，通常将多项式按照某个字母（如x）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫作关于这个字母（如x）的降（升）幂排列.
按照x的降幂排序
注意：
整式加减的结果要最简：
不能有同类项；
含字母的项的系数不能出现带分数，如果有带分数，必须将其化成假分数；
一般不含括号.
练一练：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列结果并按x的降幂排列：
（1）A-2B；（2）2A+B.
解：（1） A-2B
=(3x2-2xy+y2)- 2(2x2+3xy-4y2 )
=3x2-2xy+y2-4x2-6xy+8y2
= -x2-8xy+9y2
去括号时要注意括号前面系数
按照y的降幂排序
9y2-8xy-x2
练一练：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列结果并按x的降幂排列：
（1）A-2B；（2）2A+B.
解：（2） 2A+B
=2(3x2-2xy+y2)+( 2x2+3xy-4y2 )
=6x2-4xy+2y2+2x2+3xy-4y2
=8x2-xy-2y2
归纳：
1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行计算.
2.整式加减实际上就是：去括号、合并同类项.
3.整式加减的结果要最简，不能含有同类项.
4.运算结果，常将多项式按某个字母的降（升）幂排列.
知识点二
整式的化简求值
先化简，再求值.
例
4
5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.
解：原式= 5a2-(a2-2a+5a2-2a2+6a)
= 5a2-(4a2+4a)
= 5a2-4a2-4a
= a2-4a
当a=4时，原式=a2-4a=42-4×4=0.
思考：还可以怎样化简？
由内向外，
先去小括号
由外向内，
先去大括号
解：原式= 5a2-a2+(2a-5a2)+2(a2-3a)
= 5a2-a2+ 2a-5a2+2a2-6a
= a2-4a
5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.
当a=4时，原式=a2-4a=42-4×4=0.
先化简，再求值.
例
4
练一练：先化简，再求值：
（1）(2x2-5x+4)-3(x2-x+1)，其中x= -2；
（2）3a2b+(-2ab2+a2b)-2(a2b+2ab2)，其中a= -2，b= -1.
解：（1）原式= 2x2-5x+4-3x2+3x-3
= -x2-2x+1
当x= -2时，
原式= -x2-2x+1= -(-2)2-2×(-2)+1= -4+4+1=1
练一练：先化简，再求值：
（1）(2x2-5x+4)-3(x2-x+1)，其中x= -2；
（2）3a2b+(-2ab2+a2b)-2(a2b+2ab2)，其中a= -2，b= -1.
（2）原式=3a2b-2ab2+a2b-2a2b-4ab2
=2a2b-6ab2
当a= -2，b= -1时，
原式=2a2b-6ab2= 2×(-2)2×(-1)-6×(-2)×(-1)2
= -8+12=4
整式化简求值的一般步骤：
化：利用整式加减的运算法则将整式化简.
代：把已知字母的值代入化简后的式子.
算：依据有理数的运算法则进行计算.
1
2
3
对于某些特殊式子，可采用“整体代入”进行计算.
核心必知
1.将多项式按某个字母(如 )的指数__________(或__________)
依次排列，这种排列叫作关于这个字母(如 )的降(升)幂排列.
2.一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后
再合并同类项.整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要
合并到不能再合并为止.
从大到小
从小到大
1星题 基础练
知识点1 多项式的降(升)幂排列
1.关于多项式 的说法正确的是( )
D
A.按的降幂排列 B.按 的升幂排列
C.按的降幂排列 D.按 的升幂排列
2.创新题·新题型 多项式是按字母 降
幂排列的，则 代表的项不可能是( )
B
A. B. C. D.
3.把多项式按 的降幂排列是
___________________________，按 的升幂排列的第三项是
_______.
4.(8分)把多项式 按下列要
求重新排列：
(1)按 的升幂排列；
解：按的升幂排列为 .
(2)按 的降幂排列.
按的降幂排列为 .
知识点2 整式加减
5.化简： ________.
6.［2025年1月厦门期末］已知, ,则
的结果为( )
D
A. B. C. D.
7.［2024·亳州期中］一个多项式与的和是 ，
则这个多项式为( )
C
A. B.
C. D.
【变式题】 若，则
___________________.
8.(8分)［2024·阜阳第十八中期中］化简下列各式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式 .
9.(8分)先化简，再求值：
，其中， .
解：原式 ，
当，时，原式 .
2星题 中档练
10.［2024·北京期中］若关于， 的多项式
不含二次项，则 的值为____.
11.小程做一道题“已知两个多项式、，计算 ”时，误
将看 作，求得结果是 .若
，则 ______________.
12.(12分)已知：, .
(1)化简： ；
解：由题意知 .
(2)若,，求 的值；
将， 代入，得
，所以
的值为54.
(3)若代数式的值与无关，求此时 的值.
由(1)知， ，
因为代数式的值与无关，所以 ，所以
.
3星题 提升练
13.(8分) 创新题·新问法 [2025·深圳模拟] 每一个新生命的
诞生都会给亲人带来欢乐和希望．我们可以把人出生的年份
减去组成这个年份的数字之和所得的差称为关联年份．例如，
提出“华氏定理”、被美国数学家贝特曼称为“中国的爱因斯
坦，足以成为全世界所有著名科学院的院士”的数学家华罗
庚出生于1910年，他的关联年份是
.
(1)某人出生于1981年，他的关联年份是_______；
(2)观察猜想：能整除这些关联年份的最大值为___.请你用所
学的数学知识说明理由.
9
解：理由：设出生年份为 ，
则关联年份为
，
所以能整除这些关联年份的最大值为9.
【思路点拨】在整式的化简求值中，当单个字母的值不易求
出或化简后的结果与已知式子相关联时，需要将已知式子的
值整体代入计算.
1.若,则整式 的值为___.
6
2.若，则整式 的值是_____.
3.已知， ，则整式
的值是____.
25
4.已知， ，则代数式
的值为____.
59
课堂小结
整式加减
整式加减的步骤
①列代数式
②去括号
③合并同类项
整式的化简求值
①化简
②值代入化简后的式子
③计算
谢谢观看！

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