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3.1.1方程及方程的解
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.1.1 方程及方程的解
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
在前面的学习中，我们已经接触过很多用字母表示数的例子，也学习了整式及其加减运算。比如，用\(x\)表示一个未知数，我们可以写出像\(2x + 3\)这样的整式。今天，我们要学习一种新的数学式子 —— 方程，它与我们之前学的整式有着密切的联系，又有其独特的特点。
学习目标
理解方程的概念，能准确判断一个式子是不是方程。
掌握方程的解的定义，能判断一个数是不是某个方程的解。
经历从实际问题到方程的抽象过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
培养观察、分析和归纳能力，激发学习数学的兴趣。
课堂导入
我们来看一个生活中的问题：小明去商店买文具，他买了 3 支铅笔，每支铅笔\(x\)元，还买了一个笔记本花了 5 元，一共花了 11 元。那么，每支铅笔多少钱呢？
我们可以用文字来描述这个问题中的数量关系：3 支铅笔的价钱 + 一个笔记本的价钱 = 总价钱。如果用含有\(x\)的式子来表示，就是\(3x + 5 = 11\)。像这样的式子就是我们今天要学习的方程。
再看几个例子：
\(2x = 8\)
\(x + 3 = 7\)
\(4x - 1 = 15\)
这些式子都有什么共同的特点呢？它们都含有未知数，并且都是等式。这就是方程的基本特征。
知识点：方程的概念
定义
含有未知数的等式叫做方程。
从定义中可以看出，方程必须满足两个条件：
是等式，即式子中含有等号 “=”；
含有未知数，未知数通常用字母\(x\)、\(y\)、\(z\)等表示。
例如：
是方程的式子：\(3x + 5 = 11\)、\(2x - 3 = 7\)、\(y + 2y = 9\)（既含有未知数，又是等式）。
不是方程的式子：
\(3x + 5\)（不是等式，是整式）；
\(5 + 6 = 11\)（是等式，但不含有未知数）；
\(\frac{1}{x} + 2 = 3\)（虽然含有未知数且是等式，但分母中含有未知数，后续会学习这类方程不是我们现在所学的整式方程）。
知识点：方程的解
定义
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如：
对于方程\(3x + 5 = 11\)，当\(x = 2\)时，左边\(=3 2 + 5 = 6 + 5 = 11\)，右边\(=11\)，左边 = 右边，所以\(x = 2\)是方程\(3x + 5 = 11\)的解。
对于方程\(x + 3 = 7\)，当\(x = 4\)时，左边\(=4 + 3 = 7\)，右边\(=7\)，左边 = 右边，所以\(x = 4\)是方程\(x + 3 = 7\)的解。
检验一个数是否为方程的解的步骤
要判断一个数是不是某个方程的解，只需将这个数代入方程的左右两边，分别计算出左右两边的值，如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解；否则，就不是方程的解。
例如，检验\(x = 5\)是不是方程\(4x - 1 = 15\)的解：
把\(x = 5\)代入方程左边：\(4 5 - 1 = 20 - 1 = 19\)；
方程右边\(=15\)；
因为左边\( \)右边，所以\(x = 5\)不是方程\(4x - 1 = 15\)的解。
再检验\(x = 4\)是不是方程\(4x - 1 = 15\)的解：
把\(x = 4\)代入方程左边：\(4 4 - 1 = 16 - 1 = 15\)；
方程右边\(=15\)；
因为左边\(=\)右边，所以\(x = 4\)是方程\(4x - 1 = 15\)的解。
例题解析
例 1：判断下列式子是不是方程：
（1）\(3x + 8\)；
（2）\(5x - 2 = 9\)；
（3）\(7 + 8 = 15\)；
（4）\(y - 3 > 2\)；
（5）\(2x + 3y = 10\)。
解：（1）\(3x + 8\)不是等式，所以不是方程；
（2）\(5x - 2 = 9\)是含有未知数的等式，所以是方程；
（3）\(7 + 8 = 15\)是等式，但不含有未知数，所以不是方程；
（4）\(y - 3 > 2\)不是等式（是不等式），所以不是方程；
（5）\(2x + 3y = 10\)是含有未知数的等式，所以是方程。
例 2：检验下列各数是不是方程\(2x - 1 = 5\)的解：
（1）\(x = 3\)；
（2）\(x = 2\)。
解：（1）把\(x = 3\)代入方程左边：\(2 3 - 1 = 6 - 1 = 5\)，方程右边\(=5\)。
因为左边\(=\)右边，所以\(x = 3\)是方程\(2x - 1 = 5\)的解。
（2）把\(x = 2\)代入方程左边：\(2 2 - 1 = 4 - 1 = 3\)，方程右边\(=5\)。
因为左边\( \)右边，所以\(x = 2\)不是方程\(2x - 1 = 5\)的解。
例 3：根据下列问题，列出方程：
（1）一个数的 2 倍加上 3 等于 11，求这个数。设这个数为\(x\)；
（2）小明今年\(x\)岁，他爸爸今年 35 岁，比小明大 26 岁；
（3）一个长方形的周长是 20 厘米，长是 6 厘米，宽是\(x\)厘米。
解：（1）根据数量关系 “一个数的 2 倍 + 3 = 11”，可列出方程：\(2x + 3 = 11\)；
（2）根据数量关系 “爸爸的年龄 - 小明的年龄 = 26”，可列出方程：\(35 - x = 26\)；
（3）长方形的周长公式是\(2 (é + )\)，根据数量关系 “长方形的周长 = 20”，可列出方程：\(2 (6 + x)=20\)。
小练习
判断下列式子是不是方程：
（1）\(x + 5\)；
（2）\(3x - 2 = 7\)；
（3）\(6 + 8 = 14\)；
（4）\(4y + 1 = 9\)；
（5）\(x - y = 3\)。
检验下列各数是不是方程\(3x + 2 = 8\)的解：
（1）\(x = 2\)；
（2）\(x = 3\)。
根据下列问题，列出方程：
（1）一个数的 5 倍减去 4 等于 16，求这个数。设这个数为\(x\)；
（2）小红买了 4 本练习本，每本\(x\)元，付给售货员 10 元，找回 2 元；
（3）一个三角形的面积是 12 平方厘米，底是 6 厘米，高是\(h\)厘米（三角形面积公式：\(é § =\frac{1}{2} é \)）。
填空：
（1）方程\(x - 5 = 3\)的解是\(x = \)。
（2）若\(x = 2\)是方程\(2x + a = 7\)的解，则\(a = \)。
（3）写出一个解为\(x = 4\)的方程：（ ）。
思考讨论
方程与等式有什么区别和联系？
联系：方程一定是等式，等式包含方程，方程是等式的一部分。
区别：等式不一定是方程，等式可以不含未知数，而方程必须含有未知数。例如，\(5 + 3 = 8\)是等式，但不是方程；\(2x = 6\)既是等式，又是方程。
是不是所有的方程都有解？
不是所有的方程都有解。例如，方程\(x + 1 = x + 2\)，无论\(x\)取什么值，左边都比右边小 1，左右两边永远不相等，所以这个方程没有解。随着我们学习的深入，会遇到更多不同类型的方程，对这个问题会有更深刻的认识。
课堂小结
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程，它必须满足是等式和含有未知数两个条件。
方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
检验一个数是不是方程的解的步骤：将这个数代入方程的左右两边，计算出两边的值，若相等，则是方程的解；若不相等，则不是。
列方程的关键是找出实际问题中的数量关系，用含有未知数的等式表示出来。
课后作业
教材 P [具体页码] 练习 1、2、3 题。
判断下列式子是不是方程：
（1）\(7x - 3\)；
（2）\(5x + 1 = 9\)；
（3）\(9 - 3 = 6\)；
（4）\(x^2 + 2 = 5\)；
（5）\(3(x + 2)=15\)。
检验下列各数是不是方程\(4x - 3 = 9\)的解：
（1）\(x = 3\)；
（2）\(x = 4\)。
根据下列问题，列出方程：
（1）一个数的 3 倍与 5 的和是 20，求这个数。设这个数为\(x\)；
（2）一辆汽车每小时行驶\(v\)千米，3 小时行驶了 180 千米；
（3）一个长方形的长是宽的 2 倍，周长是 30 厘米，设宽为\(x\)厘米。
若\(x = 1\)是方程\(ax + 3 = 6\)的解，求\(a\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
今有雉兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 问雉兔各几何
你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.
列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式. 既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
从算式到方程是数学的进步！
探索新知
问题1：在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人. 参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人
设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得3x-3=21.
问题2：王玲今年12岁，她的爸爸36岁. 再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍
设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍. 这时王玲的年龄是(12+x)岁，她爸爸的年龄是(36+x)岁.
根据题意，得 36+x=2(12+x).
问题3：已知长方形的面积为180m2，其中长比宽多3m，求长方形的宽是多少.
设宽为x m，则长为(x+3)m. 根据题意，得x(x+3)=180.
3x-3=21
36+x=2(12+x)
x(x+3)=180
观察这些式子有什么共同特点
共同点
1.含有未知数；
2.是等式.
方程
定义：含有未知数的等式叫作方程.
判断下列各式是不是方程？
①7-1=6；②3x+y=10；③x-1；④ ；
⑤x>3；⑥x=1；⑦a2-1=0；⑧b2≠-1.
√
√
√
√
1.含有未知数；
2.等式.
练一练
3x-3=21
当x取7时，代入原方程左边，得3x-3=18；
当x取8时，代入原方程左边，得3x-3=21；
当x取9时，代入原方程左边，得3x-3=24.
左边=右边
定义：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
类型 方程的解 解方程
区别 是一个具体的数，是解方程的结果 求方程的解的过程
联系 方程的解是通过解方程求得的 方程的解与解方程的区别及联系：
例1 根据题意，设未知数并列出方程.
（1）已知长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，则这个长方形的长是多少
（2）把若干本书发给学生. 如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本. 共有多少名学生
解：（1）设这个长方形的长是x cm，则宽是(x-2)cm，根据题意，得2[x+(x-2)]=16.
（2）设共有y名学生，根据题意，得4y+2=5y-5.
【教材P93 例1】
列方程的一般步骤：
（1）审：审清题意，找出相等关系；
（2）设：根据题意，设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程.
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
随堂练习
1.根据题意，设未知数并列出方程.
（1）小华的年龄是21岁，小华的年龄比小强年龄的2倍小5岁，求小强的年龄；
解：设小强的年龄是x岁.根据题意，得21=2x-5.
（2）某班50名学生集体看电影，买电影票共花费1350元. 电影票有单价25元和单价30元两种. 这两种电影票各买了多少张
解：设单价25元的电影票买了y张，则单价30元的电影票买了(50-y)张. 根据题意，得 25y+30(50-y)=1350.
【教材P93 练习 第1题】
（3）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一支球队打了14场比赛，负5场，得19分，那么这支球队胜了多少场
解：设这支球队胜了z场，则平了(9-z)场. 根据题意，得3z+(9-z)=19.
2.下列各数中，哪些是方程x(x+3)=180的解
﹣15，﹣12，12，15.
解：﹣15和12是方程x(x+3)=180的解.
【教材P94 练习 第2题】
3.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活. 某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差6件. 快递员有多少名
解：设快递员有x名.
由题意，得每名快递员派送10件，还剩6件，则现有包裹(10x+6)件；
每名快递员派送12件，还差6件，则现有包 裹(12x-6)件，可得方程10x+6=12x-6.
1星题 基础练
知识点1 方程的概念
1.［2025·杭州月考］下列各式中，属于方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列式子：；； ；
； .其中是等式的是_________，
是方程的是________.(填序号)
知识点2 方程的解
3.［2025年1月合肥期末］下列方程中，解为 的是
( )
A
A. B. C. D.
4.下列各方程后面括号内的数不是前面方程的解的是( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月淮北期末］已知是方程 的解，
则 ____.
知识点3 根据实际问题列方程
6.“的5倍与2的和等于的 与4的差”，用等式表示为_______
__________.
7.(8分)根据题意，设未知数并列出方程：英语竞赛共20道题，
每道题有4个选项，只有1个正确选项，选对得5分，不选或
错选扣1分，已知小华得了76分，则小华选对了多少道题？
解：设小华选对了道题，则不选或错选 道题，由
题意，得 .
2星题 中档练
8.整体思想 若是方程 的解，则
的值为_______.
9.真实情境 下表是学习等量关系和方程时老师板书的问题和
两名同学所列的方程：
(1)小明所列的方程中的 表示__________________，并尝试
描述等量关系：___________________；
(2)小红所列的方程中的 表示__________________，并尝试
描述等量关系:________________________.
体育室里的排球数
篮球数-排球数
体育室里的篮球数
排球数的2倍篮球数
10.(8分)［2024·安庆期中］已知是方程 的解，
检验是不是方程 的解.
解：因为是方程的解，所以把 代入，
得，解得.将 代入方程
，得.将 代入方
程①左边得，左边，代入方程①右边得，右边 .因为
左边右边，所以不是方程 的解.
课堂小结
方程
含有未知数的等式叫作方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
根据实际问题列方程.
谢谢观看！

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