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(共38张PPT)
3.1.2等式的基本性质
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.2 等式的基本性质
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上节课我们学习了方程及方程的解的概念，知道含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如，方程\(3x + 5 = 11\)的解是\(x = 2\)。那么，我们是如何找到这个解的呢？这就需要用到等式的基本性质，今天我们就来学习等式的基本性质。
学习目标
理解并掌握等式的两条基本性质。
能运用等式的基本性质对等式进行变形。
体会等式的基本性质在解方程中的作用，为后续解方程打下基础。
培养观察、分析和归纳能力，感受数学的严谨性。
课堂导入
我们来看一个生活中的例子：天平的左盘放有 2 个质量为\(x\)克的砝码，右盘放有 1 个质量为 10 克的砝码，这时天平保持平衡，如图所示。根据天平平衡的原理，我们可以得到等式：\(2x = 10\)。
如果我们在天平的左盘和右盘同时各加 1 个质量为 5 克的砝码，天平仍然保持平衡，此时左盘的质量是\(2x + 5\)克，右盘的质量是\(10 + 5\)克，得到等式：\(2x + 5 = 10 + 5\)。
如果我们在天平的左盘和右盘同时各拿走 1 个质量为 3 克的砝码，天平还是保持平衡，此时左盘的质量是\(2x - 3\)克，右盘的质量是\(10 - 3\)克，得到等式：\(2x - 3 = 10 - 3\)。
从这个例子中，我们可以发现等式的一些变化规律，这就是我们今天要学习的等式的基本性质。
知识点：等式的基本性质 1
内容
等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（其中\(c\)为整式）。
例如：
已知\(x + 3 = 7\)，根据等式的基本性质 1，两边同时减去 3，可得\(x + 3 - 3 = 7 - 3\)，即\(x = 4\)。
已知\(y - 5 = 2\)，根据等式的基本性质 1，两边同时加上 5，可得\(y - 5 + 5 = 2 + 5\)，即\(y = 7\)。
注意事项
等式两边同时加上或减去的必须是同一个整式，如果两边加上或减去的不是同一个整式，等式可能不再成立。例如，在等式\(5 = 5\)中，左边加上 2，右边加上 3，得到\(7 = 8\)，这个等式不成立。
这里的 “整式” 可以是一个数、一个字母或一个多项式。
知识点：等式的基本性质 2
内容
等式两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。
例如：
已知\(2x = 6\)，根据等式的基本性质 2，两边同时除以 2，可得\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)，即\(x = 3\)。
已知\(\frac{x}{3}=4\)，根据等式的基本性质 2，两边同时乘 3，可得\(\frac{x}{3} 3 = 4 3\)，即\(x = 12\)。
注意事项
等式两边同时乘或除以的必须是同一个数，如果两边乘或除以的不是同一个数，等式可能不再成立。例如，在等式\(8 = 8\)中，左边乘 2，右边乘 3，得到\(16 = 24\)，这个等式不成立。
等式两边同时除以一个数时，这个数不能为 0，因为 0 不能作为除数。例如，对于等式\(0 5 = 0 3\)，如果两边同时除以 0，就会得到\(5 = 3\)，这是错误的。
例题解析
例 1：根据等式的基本性质，把下列等式变形为用含一个字母表示另一个字母的形式：
（1）若\(x + 3 = y\)，则\(x = \)；
（2）若\(2x = 6y\)，则\(x = \)；
（3）若\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)，则\(x = \)。
解：（1）根据等式的基本性质 1，等式两边同时减去 3，可得\(x + 3 - 3 = y - 3\)，即\(x = y - 3\)；
（2）根据等式的基本性质 2，等式两边同时除以 2，可得\(\frac{2x}{2}=\frac{6y}{2}\)，即\(x = 3y\)；
（3）根据等式的基本性质 2，等式两边同时乘 2，可得\(\frac{x}{2} 2=\frac{y}{3} 2\)，即\(x=\frac{2y}{3}\)。
例 2：判断下列等式的变形是否正确，并说明理由：
（1）若\(a = b\)，则\(a + 2 = b + 2\)；
（2）若\(a = b\)，则\(3a = 3b\)；
（3）若\(a = b\)，则\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)；
（4）若\(a + 3 = b + 3\)，则\(a = b\)。
解：（1）正确。根据等式的基本性质 1，等式两边同时加上 2，所得结果仍是等式。
（2）正确。根据等式的基本性质 2，等式两边同时乘 3，所得结果仍是等式。
（3）不正确。当\(c = 0\)时，等式\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)的分母为 0，无意义，所以该变形不正确。
（4）正确。根据等式的基本性质 1，等式两边同时减去 3，所得结果仍是等式。
例 3：利用等式的基本性质解下列方程：
（1）\(x - 5 = 7\)；
（2）\(4x = 3x + 9\)；
（3）\(\frac{1}{3}x = 6\)；
（4）\(2x - 1 = 5\)。
解：（1）根据等式的基本性质 1，两边同时加上 5，得：\(x - 5 + 5 = 7 + 5\)\(x = 12\)
（2）根据等式的基本性质 1，两边同时减去\(3x\)，得：\(4x - 3x = 3x + 9 - 3x\)\(x = 9\)
（3）根据等式的基本性质 2，两边同时乘 3，得：\(\frac{1}{3}x 3 = 6 3\)\(x = 18\)
（4）首先根据等式的基本性质 1，两边同时加上 1，得：\(2x - 1 + 1 = 5 + 1\)\(2x = 6\)
再根据等式的基本性质 2，两边同时除以 2，得：\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)\(x = 3\)
小练习
填空题
（1）若\(x + 2 = 5\)，则\(x = 5 - \)，这是根据等式的基本性质（ ），在等式两边同时（ ）。
（2）若\(3x = 15\)，则\(x = \)，这是根据等式的基本性质（ ），在等式两边同时（ ）。
（3）若\(x = y\)，则\(x + 3 = y + \)，\(2x = \)，\(\frac{x}{4}=\frac{ }{4}\)。
（4）若\(2a = 4b\)，则\(a = \)，这是根据等式的基本性质（ ）。
判断题
（1）若\(a = b\)，则\(a + c = b - c\)。（ ）
（2）若\(ac = bc\)，则\(a = b\)。（ ）
（3）若\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c 0\)），则\(a = b\)。（ ）
（4）若\(a = b\)，则\(\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}\)。（ ）
利用等式的基本性质解下列方程：
（1）\(x + 7 = 12\)；
（2）\(x - 3 = 11\)；
（3）\(5x = 4x - 6\)；
（4）\(\frac{1}{2}x = 8\)；
（5）\(3x + 2 = 8\)。
若\(2x + 3 = 7\)，利用等式的基本性质求\(x + 1\)的值。
思考讨论
等式的基本性质 1 和基本性质 2 有什么区别和联系？
区别：等式的基本性质 1 是关于等式两边同时加或减同一个整式的变形，等式的基本性质 2 是关于等式两边同时乘或除以同一个数（除数不为 0）的变形，两者的操作不同。
联系：两者都是等式的基本性质，都可以用于对等式进行变形，且变形后等式仍然成立，它们都是解方程的重要依据。
为什么等式两边同时除以一个数时，这个数不能为 0？
因为 0 不能作为除数，若等式两边同时除以 0，会导致无意义的结果。例如，对于等式\(0 5 = 0 3\)，如果两边同时除以 0，就会得到\(5 = 3\)，这显然是错误的，所以等式两边同时除以的数不能为 0。
课堂小结
等式的基本性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
等式的基本性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。
等式的基本性质是对等式进行变形的依据，也是后续解方程的重要基础，在运用时要注意相关的限制条件，如除以的数不能为 0 等。
利用等式的基本性质可以将等式进行变形，以达到用含一个字母表示另一个字母或解方程的目的。
课后作业
教材 P [具体页码] 练习 1、2、3 题。
填空题
（1）若\(x - 4 = 6\)，则\(x = \)，依据是（ ）。
（2）若\(6x = 18\)，则\(x = \)，依据是（ ）。
（3）若\(3x - 2 = 7\)，则\(3x = \)，\(x = \)。
利用等式的基本性质解下列方程：
（1）\(x - 9 = 1\)；
（2）\(6x = 5x + 4\)；
（3）\(\frac{1}{5}x = 3\)；
（4）\(4x - 5 = 11\)。
若\(3a = 2b\)，利用等式的基本性质求\(9a - 6b + 1\)的值。
已知\(2x = 3y\)，请利用等式的基本性质说明\(x=\frac{3}{2}y\)成立的理由。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
判断：下列各式中哪些是等式？
① abc；②3a-2b；③ xy+y2-5；④3；⑤-a；⑥2+3=5；⑦3×4=12；⑧9x+10=19；⑨a+b=b+a；⑩S=πr2.
用等号表示相等关系的式子叫作等式.
通常用a=b表示一般的等式.
√
√
√
√
√
对于方程x+2=4，3x=6，你能用所学知识求出它们的解吗
方程是等式，解方程的过程实际上就是等式的变形过程. 为了进一步讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质.
= b
探索新知
观察：如图，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的物体，天平平衡，这直观地说明 a = b.
a
b
C
C
同时加上质量为c的物体，天平还保持平衡吗
a
+c
+c
a
b
C
C
a
+c
+c
性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式.
= b
等式的基本性质
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
a =
如图，天平还保持平衡吗？这又反映了怎样的数量关系呢？
b
3
3
a =
b
3
3
性质2 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.
等式的基本性质
如果a=b，那么ac=bc，
.
=
3
a
b
3
等式的基本性质
性质3（对称性） 如果a=b，那么b=a.
等式的基本性质
a
b
C
b
a
C
a = b
b = c
a = c
性质4（传递性） 如果a=b，b=c，那么a=c.
根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
练一练
指出下列等式变形的依据.
（1）如果5x+3=7，那么5x=4；
（2）如果﹣8x=4，那么x= ；
（3）如果﹣5a=﹣5b，那么a=b；
（4）如果3x=2x+1，那么x=1；
（5）如果﹣0.25=x，那么x=﹣0.25；
（6）如果x=y，y=z，那么x=z.
【教材P96 练习 第1题】
等式的基本性质1
等式的基本性质2
等式的基本性质2
等式的基本性质1
等式的基本性质3
等式的基本性质4
例2：解方程：3x - 3 = 21.
【教材P96 例2】
解：两边都加上3，得 3x = 21+3，（性质1）
即 3x = 24.
两边同除以3，得 x = 8.（性质2）
检验：把 x = 8 代入原方程，得
左边=3×8-3=21，
右边=21，
左边=右边.
所以x=8是原方程的解.
练一练
根据等式的基本性质解方程，并检验：1.8x=2.5x+1.4.
解：两边都减去2.5x，得 -0.7x = 1.4，（性质1）
两边同除以-0.7，得 x = -2.（性质2）
检验：把 x = -2 代入原方程，得
左边=1.8×(-2)=-3.6，右边=2.5×(-2)+1.4=-3.6，左边=右边.
所以x=-2是原方程的解.
随堂练习
2.下列变形中错误的是（ ）
A.若x=y，则x+a=y+a B.若mx=my，则x=y
C.若x+a=y+a，则x=y D.若x=y，则mx=my
B
1.由2x=-4得x=-2，变形的依据是根据等式的（ ）
A.基本性质1 B.基本性质2
C.基本性质3 D.基本性质4
B
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（1）解：两边都加上7，得5x=8+7，（性质1）
即5x=15.
两边同除以5，得x=3.（性质2）
检验：把x=3代入原方程，得左边=5×3-7=8，右边=8，左边=右边.
所以x=3是原方程的解.
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（2）解：由对称性，得7+4x=27.（性质3）
两边都减去7，得4x=27-7，（性质1）即4x=20.
两边同除以4，得x=5.（性质2）
检验：把x=5代入原方程，得左边=27，右边=7+4×5=27，左边=右边.
所以x=5是原方程的解.
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（3）解：由对称性，得 .（性质3）
两边都加上 ，得 ，（性质1）即 .
两边同除以 ，得x=2.（性质2）
检验：把x=2代入原方程，得左边= ，右边= ，左边=右边.
所以x=2是原方程的解.
4.*已知2x2 – x=5，求多项式– 4x2 +2x – 8的值.
解：因为2x2 – x = 5，所以在等式两边都乘以– 2，得
–2(2x2 – x)=5×(–2).
化简，得 – 4x2+2x= – 10.
等式两边都减去8，得 – 4x2+2x – 8= – 10 – 8.
所以– 4x2+2x – 8 = – 18.
核心必知
等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上(或减去)____________，所得结果
仍是等式.
性质2：等式的两边都乘以(或除以)______________________，
所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么 ___.(对称性)
性质4：如果，，那么 ___.(传递性)
同一个整式
同一个数(除数不能为0)
1星题 基础练
知识点1 等式的基本性质1
1.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入砝码 ，天平
仍然处于平衡状态，用等式表示是_____________.
2.［2024·滁州期中］下列不属于等式的基本性质1的应用的
是( )
C
A.由得 B.由得
C. D.由得
3.(1)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
_________，得 ___；
(2)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
__________，得 ___.
同时减2
2
同时减
7
知识点2 等式的基本性质2
4.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入相同数量的
物体，天平仍然处于平衡状态，用等式表示是_________.
5.教材改编题 下列等式变形正确的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
知识点3 等式的基本性质3、4
6.在横线上填上适当的数.
(1)如果，那么 ___；
(2)如果,，那么 ___.
4
5
知识点4 利用等式的基本性质解简单方程
7.由得到 ，可分两步，将下面步骤补充完整：
第一步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_____，得
到 ；
第二步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_______，
得到 .
1
加1
2
除以2
8.(8分)解方程并检验：
(1) ；
解：两边同时减5，得 .
检验：把代入原方程，得左边 ，
右边，左边右边，所以 是原方程的解.
(2) .
解：两边同时加2，得，两边同时除以6，得 .检
验：把代入原方程，得左边，右边 ，
左边右边，所以 是原方程的解.
2星题 中档练
9.［2025年1月合肥期末］下列变形错误的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
补充设问 如果，那么成立时 应满足的条件
是______.
10.［2025年1月大同期末］等式 中的部分内
容被墨渍污染，则被墨渍污染的“ ”为( )
A
A. B.
C. D.
11.跨学科·物理 某种弹簧秤原来的长度为 ，悬挂重物后的
长度可以用公式表示，其中是悬挂物的质量，
是常数，则_________(用含，， 的式子表示).
12.(8分)高阶思维·批判性思维 小明学习了等式的基本性质后
对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程：
，方程的两边都加上2，得 ，然后
方程的两边都除以，得 .”
(1)小明的说法对吗？为什么？
解：不对，理由：对于方程，因为 可能等于0,所以
两边不能都除以 .
(2)请用等式的基本性质求出方程 的解.
解：方程的两边都加上2，得 ，方程的两边都减去
，得 .
13.(8分)［2025·芜湖月考］利用等式的基本性质，说明由
如何变形得到 .
解： ，等式两边同时乘以2，得
，等式两边同时加上2，得
，即 .
3星题 提升练
14.推理能力 已知 、 、 分别代表不同的物体，用天平比
较它们的质量，如图所示.根据砝码显示的质量，可得
______， _______ .
课堂小结
等式的基本性质
性质2：如果a=b，那么ac=bc，
.
性质3：如果a=b，那么b=a.
性质4：如果a=b，b=c，那么a=c.
利用等式的基本性质解方程
性质1：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
谢谢观看！

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