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3.2.1利用移项、去括号解一元一次方程
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
利用移项、去括号解一元一次方程
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上节课我们学习了等式的基本性质，知道等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍然成立。这为我们解方程提供了重要依据。今天我们将学习利用移项和去括号来解一元一次方程。
学习目标
理解移项的概念，掌握移项的法则和依据。
能熟练运用去括号法则和移项法则解含有括号的一元一次方程。
经历解一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。
提高运算的准确性和规范性，培养严谨的解题习惯。
课堂导入
我们来看一个方程：\(4x + 5 = 2x + 11\)。如何求出这个方程的解呢？根据等式的基本性质 1，我们可以在等式两边同时减去\(2x\)，得到\(4x - 2x + 5 = 11\)；再在等式两边同时减去 5，得到\(4x - 2x = 11 - 5\)。像这样，把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项是解方程的重要步骤，它可以使方程变得更简单。
再看一个含有括号的方程：\(2(x - 3) + 5 = 13\)。要解这个方程，我们需要先去掉括号，再进行移项等操作。那么，如何正确地去括号和移项呢？这就是我们本节课要重点学习的内容。
知识点：移项
定义
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
依据
移项的依据是等式的基本性质 1。例如，对于方程\(x + 3 = 5\)，根据等式的基本性质 1，两边同时减去 3，得到\(x = 5 - 3\)，这里的 “\(+3\)” 从左边移到右边后变成了 “\(-3\)”，就是移项。
注意事项
移项时，被移的项一定要改变符号，不移动的项符号不变。例如，方程\(3x - 2 = 2x + 1\)，移项后得到\(3x - 2x = 1 + 2\)，而不是\(3x + 2x = 1 - 2\)。
移项的目的是把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，使方程更接近\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
知识点：去括号法则在解方程中的应用
在解含有括号的一元一次方程时，需要先按照去括号法则去掉括号，再进行移项等操作。去括号法则如下：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。例如，\(2(x + 3)=2x + 6\)。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如，\(-3(x - 2)=-3x + 6\)。
注意事项
去括号时，要将括号外的因数与括号内的每一项都相乘，不能漏乘。例如，\(3(2x - 1)=6x - 3\)，不能写成\(6x - 1\)。
当括号前面是 “\(-\)” 号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，千万不要忘记改变括号内每一项的符号。
解含有括号的一元一次方程的步骤
去括号：按照去括号法则去掉方程中的括号。
移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边（移项要变号）。
合并同类项：把方程化成\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
系数化为 1：根据等式的基本性质 2，方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。
例题解析
例 1：解下列方程：
（1）\(4x + 5 = 2x + 11\)；
（2）\(7x - 3 = 5x + 9\)。
解：（1）移项，得：\(4x - 2x = 11 - 5\)
合并同类项，得：\(2x = 6\)
系数化为 1，得：\(x = 3\)
（2）移项，得：\(7x - 5x = 9 + 3\)
合并同类项，得：\(2x = 12\)
系数化为 1，得：\(x = 6\)
例 2：解下列方程：
（1）\(2(x - 3) + 5 = 13\)；
（2）\(3(2x + 1) - 2(x - 2) = 25\)。
解：（1）去括号，得：\(2x - 6 + 5 = 13\)
合并同类项，得：\(2x - 1 = 13\)
移项，得：\(2x = 13 + 1\)\(2x = 14\)
系数化为 1，得：\(x = 7\)
（2）去括号，得：\(6x + 3 - 2x + 4 = 25\)
合并同类项，得：\(4x + 7 = 25\)
移项，得：\(4x = 25 - 7\)\(4x = 18\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{9}{2}\)
例 3：解下列方程：
（1）\(5 - 3(x - 1)=1\)；
（2）\(\frac{1}{2}(4x - 6)-\frac{1}{3}(6x + 3)=1\)。
解：（1）去括号，得：\(5 - 3x + 3 = 1\)
合并同类项，得：\(-3x + 8 = 1\)
移项，得：\(-3x = 1 - 8\)\(-3x = -7\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{7}{3}\)
（2）去括号，得：\(2x - 3 - 2x - 1 = 1\)
合并同类项，得：\(-4 = 1\)
显然，这个等式不成立，所以原方程无解。
例 4：当\(x\)为何值时，代数式\(2(x - 1) + 3\)的值等于代数式\(3x + 1\)的值？
解：根据题意，可列出方程：\(2(x - 1) + 3 = 3x + 1\)
去括号，得：\(2x - 2 + 3 = 3x + 1\)
合并同类项，得：\(2x + 1 = 3x + 1\)
移项，得：\(2x - 3x = 1 - 1\)\(-x = 0\)
系数化为 1，得：\(x = 0\)
答：当\(x = 0\)时，两个代数式的值相等。
小练习
解下列方程：
（1）\(3x + 7 = 5x - 1\)；
（2）\(6x - 5 = 3x + 4\)；
（3）\(4(x + 2) - 3 = 17\)；
（4）\(2(3x - 1) - 3(x + 2) = 1\)；
（5）\(5 - 2(x - 3)=1\)；
（6）\(\frac{1}{3}(3x - 6)-\frac{1}{2}(2x + 4)=0\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(3x - 2\)的值比代数式\(2x + 3\)的值大 5？
已知关于\(x\)的方程\(2(x + 1) - m = -2(m - 2)\)的解是\(x = -2\)，求\(m\)的值。
填空：
（1）方程\(3x + 5 = 2x - 4\)移项后得（ ）。
（2）方程\(2(x - 1) = 3x + 4\)去括号后得（ ）。
（3）若方程\(ax + b = 0\)（\(a 0\)）的解是\(x = 5\)，则方程\(a(x + 3) + b = 0\)（\(a 0\)）的解是（ ）。
思考讨论
移项和交换律有什么区别？
移项是把方程中的某一项从一边移到另一边时改变符号，它的依据是等式的基本性质 1；而交换律是在同一个数的运算中，交换加数或因数的位置，符号不变。例如，在\(a + b = b + a\)中，运用的是加法交换律，符号没有改变；而在方程\(x + 3 = 5\)移项得到\(x = 5 - 3\)中，“\(+3\)” 变成了 “\(-3\)”，是移项。
解含有括号的一元一次方程时，去括号要注意什么？
解含有括号的一元一次方程时，去括号要注意以下几点：一是要将括号外的因数与括号内的每一项都相乘，不能漏乘；二是当括号前面是 “\(-\)” 号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号；三是如果括号前面有系数，要先把系数乘进去，再去括号，或者先去括号，再处理系数，具体方法可以根据方程的特点选择。
课堂小结
移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，依据是等式的基本性质 1，移项时要注意变号。
去括号：解含有括号的方程时，要先按照去括号法则去掉括号，注意不要漏乘和符号的变化。
解含有括号的一元一次方程的步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。
在解方程的过程中，要认真仔细，每一步都要依据相应的法则或性质，确保运算的准确性。
课后作业
解下列方程：
（1）\(5x - 2 = 7x + 8\)；
（2）\(3(x - 2) + 1 = x - (2x - 1)\)；
（3）\(4 - 3(2 - x)=5x\)；
（4）\(\frac{1}{2}(x + 1)-\frac{1}{3}(x - 1)=1\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(2(3x - 1)\)的值与代数式\(5 - (x + 1)\)的值相等？
已知关于\(x\)的方程\(3x - 2m = 4\)的解是\(x = m\)，求\(m\)的值。
若方程\(2x + 3 = 5\)与方程\(2 - \frac{a - x}{3}=0\)的解相同，求\(a\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
判断下列各式哪些是方程
7-1=6
3x-3=21
x-1
x>3
36+x=2(12+x)
a2-1=0
b2≠-1
4y+2=5y-5
√
√
√
√
√
含有未知数的等式叫作方程.
方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程.
探索新知
观察下面的方程，它们有什么共同特征
3x-3=21
36+x=2(12+x)
4y+2=5y-5
共同点：
1.只含有一个未知数（元）.
2.未知数的次数都是1.
3.等号两边都是整式.
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序号）.
① 1+4=2+3；② x + y=1；③ =3；④ x2-2x-1=0；
⑤ =3；⑥ 6+5y=2y-3.
练一练
③⑥
3x-3=21
仔细观察以下解答过程：
解：3x-3+3=21+3
3x=24
x=8
3x-3=21
解：3x=21+3
3x=24
x=8
你发现了什么？
你觉得这两种方法都对吗？哪种形式更好？
定义：把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项.
依据是等式的性质1
移项要变号！
例1：解方程：3x+5 = 5x-7.
解：移项，得
3x-5x = -7-5.
合并同类项，得
-2x = -12.
两边同除以-2，得
x = 6.
移项
合并同类项
系数化为1
步骤：
一元方程的解也叫作根.
【教材P98 例1】
练一练
解下列方程：
（1）8x=4x+1； （2）2-3x = 5x+10.
解：移项，得-3x-5x = 10-2.
合并同类项，得-8x = 8.
两边同除以-8，得x = -1.
解：移项，得8x-4x = 1.
合并同类项，得 4x = 1.
两边同除以4，得 x = .
注意：①方程的各项包括它前面的符号；
②移项时，不管是把某一项从左边移到右边还是从右边移到左边，都要变号.
例2：解方程：2(x-2)-3(4x-1) = 9(1-x).
思考：这个方程要怎么解？要先做什么？
先去括号.
解：去括号，得
2x-4-12x+3 = 9-9x.
移项，得
2x-12x+9x = 9+4-3.
合并同类项，得
-x = 10.
两边同除以-1，得
x = -10.
步骤：
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
解一元一次方程：目标向 x = a 的形式转化.
【教材P99 例2】
随堂练习
1.下面的移项对不对 如果不对，错在哪里 应当怎样改正
（1）由9+x=7，得x=7+9；
（2）由5x=7-4x，得5x-4x=7；
（3）由2y-1=3y+6，得2y-3y=6-1.
【教材P99 练习 第1题】
不对，9移项没变号，改正：x=7-9.
不对，-4x移项没变号，改正：5x+4x=7.
不对，-1移项没变号，改正：2y-3y=6+1.
2.下面解方程的过程正确吗 请说明理由.
解方程：3(y-3)-5(1+y) = 7(y-1).
解：去括号，得 3y-3-5+5y = 7y-1.
移项，得 3y+5y-7y = -1+3-5.
合并同类项，得 y = -3.
【教材P99 练习 第2题】
解：不正确. 理由：①3(y-3)与7(y-1)去括号时漏乘常数项；②-5(1+y)去括号时弄错符号；③-5移项时未变号.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
（1）解：移项，得5x+2x = 7-21.
合并同类项，得7x = -14.
两边同除以7，得x = -2.
【教材P100 练习 第3题】
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 练习 第3题】
（2）解：移项，得2x+ x = 2+ .
合并同类项，得 x = .
两边同除以 ，得x = 1.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 练习 第3题】
（3）解：去括号，得0.5m+4-1.2m+4.2 = 1.9.
移项，得0.5m-1.2m = 1.9-4-4.2.
合并同类项，得-0.7m = -6.3.
两边同除以-0.7，得m = 9.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 练习 第3题】
（4）解：去括号，得6y+3 = 2+2y+3y+9.
移项，得6y-2y-3y = 2+9-3.
合并同类项，得y = 8.
4.解方程：7(1-2x)+11(1-2x)=2x-1.
你有几种解法？
方法1：
解：去括号得7-14x+11-22x=2x-1
移项，得-14x-22x-2x=-1-7-11
合并同类项，得-38x=-19
系数化为1得x= .
方法2：
解：7(1-2x)+11(1-2x)=-(1-2x)
移项得7(1-2x)+11(1-2x)+(1-2x)=0
合并同类项得(7+11+1)(1-2x)=0
19(1-2x)=0
1-2x=0
移项，得-2x=0-1
化系数为1，得x= .
利用整体思想，叫作换元法。
1星题 基础练
知识点1 一元一次方程的概念
1.［2025·安庆月考］下列方程中是一元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.［2024·阜阳期中］已知 是一元一次方程，则
的值为___.
1
知识点2 移项
3.［知识初练］如图，将方程
移项，令含有未知数
的项移到等号的____边，需要注意
的是移项要______，故“ ”处应填
写的是_____.
左
变号
4.将方程 移项，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5.(8分)判断下列方程的变形是否正确，如果不正确请改正.
(1)由得 ;
解：不正确. 改正：由得 .
(2)由得 ;
不正确. 改正：由得 .
(3)由得 ;
正确.
(4)由得 .
不正确. 改正：由得 .
知识点3 移项解一元一次方程(不含括号)
6.［知识初练］解方程 的一般步骤：
解：移项，得___________________，
合并同类项，得____________，
两边同除以 ，得______.
7.若的值是12，则 的值是___.
5
8.(8分)教材改编题 解方程：
(1) ；
解：移项，得,合并同类项，得 ，
两边同除以2，得 .
(2) .
解：移项，得 ，合并同类项，得
，两边同除以，得 .
知识点4 移项解一元一次方程(含括号)
9.［知识初练］解方程 的一般步骤:
解：去括号，得_____________________，
移项，得_____________________，
合并同类项，得_________，
两边同除以4，得______.
10.［2025年1月芜湖期末］将方程 去括号，
得________________.
11.(8分)教材改编题 解方程：
(1) ；
解：去括号，得 ，移项、合并同类项，得
，两边同除以，得 .
(2) .
解：去括号，得 ，移项、合并同类项，
得，两边同除以，得 .
2星题 中档练
12.易错题[2025年1月合肥期末] 方程
是关于的一元一次方程，则 ( )
B
A.2 B. C. D.
13.［2025年1月淮北期末］王涵同学在解关于 的方程
时，误将“”看成了“ ”，得到方程的解为
，那么原方程的解为( )
A
A. B. C. D.
14.创新题·新考法 规定一种新运算： ，若
，则 的值为( )
A
A. B.1 C.2 D.
15.若关于的方程的解比 的解小
8，则 的值为___.
1
16.(8分)解下列方程：
(1) ;
解：去括号，得 ,
移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 .
(2) .
解：去中括号，得 ,
去小括号，得 ,移项、合并同类项，得
,两边同除以，得 .
17.(8分)［2025·上海模拟］解方程： .
解：去括号，得 .①
移项，得 .②
合并同类项，得 .③
两边同除以2，得
上述解答过程从哪一步开始出错？指出并写出正确的解答过程.
解：解答过程从第①步开始出错.正确的解答过程如下：去括
号，得 ,
移项，得,合并同类项，得 ,
两边同除以2，得 .
3星题 提升练
18.(8分)分类讨论思想先阅读下面的解题过程，然后解答后
面的问题.
解方程： .
解：当时，原方程可化为 ，
解得 ；
当时，原方程可化为 ，
解得 .
所以原方程的解是或 .
解方程： .
解：当时，原方程可化为，解得 ；
当时，原方程可化为，解得 .
所以原方程的解是或 .
课堂小结
解一元一次方程步骤：
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
解一元一次方程：目标向 x = a 的形式转化.
谢谢观看！

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