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3.3.1几何问题与行程问题
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.3.1 几何问题与行程问题
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上一部分我们学习了利用一元一次方程解决和、差、倍、分问题以及行程问题中的相遇问题。今天我们将重点学习几何问题和行程问题中的追及问题，这些问题在实际生活中也经常遇到，解决它们同样需要我们找出等量关系，列出方程求解。
学习目标
能运用一元一次方程解决与几何图形的周长、面积、体积相关的问题，掌握几何问题中常见的等量关系。
理解行程问题中追及问题的特点，能找出追及问题中的等量关系，列出方程并求解。
进一步体会方程思想在解决实际问题中的应用，提高分析和解决问题的能力。
知识点：几何问题
几何问题主要涉及几何图形的周长、面积、体积等计算，解决这类问题需要我们熟悉各种几何图形的相关公式，然后根据题目中的条件找出等量关系，列出方程。
常见几何图形的公式
长方形：
周长公式：\(C = 2 (é + )\)
面积公式：\(S = é \)
正方形：
周长公式：\(C = 4 è é \)
面积公式：\(S = è é è é \)
三角形：
面积公式：\(S=\frac{1}{2} é \)
圆：
周长公式：\(C = 2 r\)（\(r\)为半径）
面积公式：\(S = r \)
长方体：
体积公式：\(V = é é \)
正方体：
体积公式：\(V = ±é ±é ±é \)
例题解析
例 1：一个长方形的周长是 40 厘米，长比宽多 4 厘米，求这个长方形的长和宽。
解：审：已知长方形的周长是 40 厘米，长比宽多 4 厘米，求长和宽。
设：设长方形的宽为\(x\)厘米，则长为\((x + 4)\)厘米。
找：等量关系是 “长方形的周长 = 2×(长 + 宽)”。
列：根据等量关系，列出方程：\(2 (x + x + 4)=40\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
2 (2x + 4)&=40\\
4x + 8&=40\\
4x&=32\\
x&=8
\end{align*}
\)
则长方形的长为：\(x + 4 = 8 + 4 = 12\)（厘米）。
验：长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，周长为\(2 (12 + 8)=40\)厘米，且长比宽多 4 厘米，符合题意。
答：这个长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米。
例 2：一个三角形的面积是 24 平方厘米，底是 8 厘米，求这个三角形的高。
解：审：已知三角形的面积是 24 平方厘米，底是 8 厘米，求高。
设：设这个三角形的高为\(h\)厘米。
找：等量关系是 “三角形的面积 =\(\frac{1}{2} é \)”。
列：根据等量关系，列出方程：\(\frac{1}{2} 8 h = 24\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
4h&=24\\
h&=6
\end{align*}
\)
验：三角形的底是 8 厘米，高是 6 厘米，面积为\(\frac{1}{2} 8 6 = 24\)平方厘米，符合题意。
答：这个三角形的高是 6 厘米。
例 3：一个长方体的体积是 120 立方厘米，长是 6 厘米，宽是 5 厘米，求这个长方体的高。
解：审：已知长方体的体积是 120 立方厘米，长是 6 厘米，宽是 5 厘米，求高。
设：设这个长方体的高为\(h\)厘米。
找：等量关系是 “长方体的体积 = 长 × 宽 × 高”。
列：根据等量关系，列出方程：\(6 5 h = 120\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
30h&=120\\
h&=4
\end{align*}
\)
验：长方体的长是 6 厘米，宽是 5 厘米，高是 4 厘米，体积为\(6 5 4 = 120\)立方厘米，符合题意。
答：这个长方体的高是 4 厘米。
例 4：把一个长为 10 厘米，宽为 8 厘米的长方形铁片，从四个角各剪去一个边长为\(x\)厘米的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是 48 立方厘米，求\(x\)的值。（厚度忽略不计）
解：审：长方形铁片长 10 厘米，宽 8 厘米，从四角剪去边长为\(x\)厘米的小正方形，折成无盖长方体盒子，容积 48 立方厘米，求\(x\)。
分析：折成的长方体盒子的长为\((10 - 2x)\)厘米，宽为\((8 - 2x)\)厘米，高为\(x\)厘米，容积 = 长 × 宽 × 高。
设：设小正方形的边长为\(x\)厘米。
找：等量关系是 “长方体盒子的容积 = 48 立方厘米”。
列：根据等量关系，列出方程：\((10 - 2x)(8 - 2x)x = 48\)。
解：展开方程：\(
\begin{align*}
(80 - 20x - 16x + 4x )x&=48\\
(80 - 36x + 4x )x&=48\\
4x - 36x + 80x - 48&=0\\
x - 9x + 20x - 12&=0
\end{align*}
\)
尝试因式分解或代入数值验证，可得\(x = 1\)是方程的解（\(x = 3\)时，宽为\(8 - 2 3 = 2\)，长为\(10 - 2 3 = 4\)，容积为\(4 2 3 = 24 48\)；\(x = 2\)时，长为\(10 - 4 = 6\)，宽为\(8 - 4 = 4\)，容积为\(6 4 2 = 48\)，所以\(x = 2\)也是解，需结合实际，\(x\)不能过大，否则长和宽为负数，所以\(x = 1\)和\(x = 2\)均有可能，经检验都符合题意）。
验：当\(x = 1\)时，长为\(10 - 2 1 = 8\)厘米，宽为\(8 - 2 1 = 6\)厘米，高为 1 厘米，容积为\(8 6 1 = 48\)立方厘米；当\(x = 2\)时，长为 6 厘米，宽为 4 厘米，高为 2 厘米，容积为\(6 4 2 = 48\)立方厘米，均符合题意。
答：\(x\)的值为 1 厘米或 2 厘米。
知识点：行程问题中的追及问题
追及问题是行程问题中的另一种重要类型，指两个物体同向运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的问题。
常见等量关系
路程 = 速度 × 时间；
追及路程 = 速度快的物体所走的路程 - 速度慢的物体所走的路程；
追及时间 = 追及路程 ÷（快速度 - 慢速度）。
例题解析
例 5：甲、乙两人在同一地点，甲骑自行车，乙步行。如果乙先出发 10 分钟，甲骑自行车去追赶，甲每分钟行 250 米，乙每分钟走 80 米，甲出发后多少分钟能追上乙？
解：审：甲、乙同一地点，乙先出发 10 分钟，甲骑车追，甲速 250 米 / 分钟，乙速 80 米 / 分钟，求甲出发后追上乙的时间。
分析：乙先出发 10 分钟，所走路程为\(80 10 = 800\)米，这就是追及路程。
设：设甲出发后\(x\)分钟能追上乙。
找：等量关系是 “甲走的路程 = 乙先走路程 + 乙后走路程”。
列：根据等量关系，列出方程：\(250x = 80 10 + 80x\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
250x - 80x&=800\\
170x&=800\\
x&=\frac{80}{17}\approx4.71
\end{align*}
\)
验：甲出发\(\frac{80}{17}\)分钟走的路程为\(250 \frac{80}{17}=\frac{20000}{17}\)米，乙总共走的路程为\(80 (10 + \frac{80}{17})=80 \frac{250}{17}=\frac{20000}{17}\)米，两者相等，符合题意。
答：甲出发后\(\frac{80}{17}\)分钟能追上乙。
例 6：A、B 两地相距 200 千米，甲车从 A 地出发，每小时行驶 60 千米，乙车从 B 地出发，每小时行驶 40 千米，两车同时同向行驶，甲车在乙车后面，经过多少小时甲车追上乙车？
解：审：A、B 两地相距 200 千米，甲从 A 出发，速 60 千米 / 小时，乙从 B 出发，速 40 千米 / 小时，同向行驶，甲在乙后，求甲追上乙的时间。
分析：追及路程就是 A、B 两地的距离 200 千米。
设：设经过\(x\)小时甲车追上乙车。
找：等量关系是 “甲车行驶的路程 = 乙车行驶的路程 + 200 千米”。
列：根据等量关系，列出方程：\(60x = 40x + 200\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
60x - 40x&=200\\
20x&=200\\
x&=10
\end{align*}
\)
验：10 小时后，甲车行驶\(60 10 = 600\)千米，乙车行驶\(40 10 = 400\)千米，\(600 = 400 + 200\)，符合题意。
答：经过 10 小时甲车追上乙车。
例 7：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈长 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。如果两人同时同地同向出发，经过多少秒甲首次追上乙？
解：审：环形跑道长 400 米，甲速 6 米 / 秒，乙速 4 米 / 秒，同时同地同向出发，求甲首次追上乙的时间。
分析：甲首次追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即 400 米，这是追及路程。
设：设经过\(x\)秒甲首次追上乙。
找：等量关系是 “甲跑的路程 - 乙跑的路程 = 400 米”。
列：根据等量关系，列出方程：\(6x - 4x = 400\)。
解：解这个方程：\(
\begin{align*}
2x&=400\\
x&=200
\end{align*}
\)
验：200 秒后，甲跑了\(6 200 = 1200\)米，乙跑了\(4 200 = 800\)米，\(1200 - 800 = 400\)米，符合题意。
答：经过 200 秒甲首次追上乙。
小练习
一个长方形的周长是 30 厘米，长是宽的 2 倍，求这个长方形的长和宽。
一个圆的面积是\(25 \)平方厘米，求这个圆的半径。
一个正方体的表面积是 54 平方厘米，求这个正方体的棱长。（正方体表面积公式：\(S = 6 ±é \)）
甲、乙两人相距 10 千米，甲在前，乙在后，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 7 千米，两人同时同向出发，乙经过多少小时追上甲？
一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座长 1000 米的大桥，从车头上桥到车尾离桥一共需要多少秒？
思考讨论
解决几何问题时，如何准确找到等量关系？
解决几何问题，首先要明确涉及的几何图形类型，回忆其周长、面积、体积等公式。然后根据题目中给出的条件，如 “周长相等”“面积增加了多少”“体积是多少” 等，结合图形的变化情况，确定等量关系。例如，在折叠问题中，折叠前后图形的某些边的长度或面积是不变的，这就是重要的等量关系。
追及问题和相遇问题在等量关系上有什么不同？
相遇问题中，等量关系通常是 “总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程”；而追及问题中，等量关系通常是 “快者走的路程 = 慢者走的路程 + 追及路程”（追及路程是两者开始时的距离）。两者的运动方向不同，相遇是相向而行，追及是同向而行，这导致了等量关系的差异。
课堂小结
几何问题：关键是熟悉各种几何图形的周长、面积、体积公式，根据题目条件找出与这些公式相关的等量关系，列出方程求解。常见的有长方形、正方形、三角形、圆等平面图形的问题，以及长方体、正方体等立体图形的问题。
追及问题：重点是确定追及路程，即开始时两者之间的距离，等量关系通常是快者行驶的路程等于慢者行驶的路程加上追及路程。要注意区分同向行驶的情况，准确计算两者的路程差。
无论是几何问题还是追及问题，都需要我们认真审题，分析数量关系，找出等量关系，这是列方程解决问题的核心。
课后作业
一个长方形的长比宽多 3 厘米，面积是 40 平方厘米，求这个长方形的长和宽。
一个梯形的上底是 5 厘米，下底是 9 厘米，面积是 42 平方厘米，求这个梯形的高。（梯形面积公式：\(S=\frac{1}{2} ( + ) é \)）
甲、乙两车从同一地点出发，甲车先出发 2 小时，甲车每小时行驶 40 千米，乙车每小时行驶 60 千米，乙车出发后经过多少小时追上甲车？
一座大桥长 1500 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用了 150 秒，整列火车完全在桥上的时间为 100 秒，求火车的长度和速度。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
常见几何体的体积、面积公式：
（1）长方体的体积=长×宽×高；
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（3）圆柱的体积=底面积×高；
（4）长方形的面积=长×宽；
（5）正方形的面积=边长×边长；
（6）梯形的面积= (上底+下底)×高.
探索新知
例1：如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少
4
5
（单位：cm）
【教材P103 例1】
思考：1.本题中有什么等量关系？
4
5
（单位：cm）
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
2.设正方形的边长是 x cm，完成下表：
宽 长 面积
图形1 4 x 4x
图形2 5 x-4 5(x-4)
4x
5(x-4)
4
5
（单位：cm）
解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的边长为20cm.
4x
5(x-4)
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
形积变化中的等量关系
①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是：
变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积
②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是：
变化前图形的周长=变化后图形的周长
③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系．
如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽.
练一练
解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm.
根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12.
答：原长方形纸片的宽为12cm.
例2：某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表：
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离.
8.2km
起点
补给站
终点
跑步距离+登山距离=总距离
【教材P103 例2】
8.2km
起点
补给站
终点
x km
8.2-x km
跑步时间+登山时间=总用时-休息时间
解：设补给站离起点x km. 根据题意，得
注意单位换算!
解方程，得x=6.
答：补给站与起点的距离为6km.
交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的？
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇. 11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年谯城·浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅. 已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是 80km/h，②号车的行驶速度是72km/h，①号车比②号车早到
h，求合肥与亳州相距多少千米
练一练
解：设合肥与亳州相距x km.
根据题意，得 ，解得x=320.
答：合肥与亳州相距320km.
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤如下：
⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数；
⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）；
⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；
⑷解这个方程，求出未知数的值；
⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）.
随堂练习
1.列方程，解下列各题：
（1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为麸子）．为了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麦
【教材P104 练习】
解：设至少需要x kg小麦.
根据题意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麦.
（2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍
解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
根据题意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
（3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
解：设x h后两人相遇.
根据题意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后两人相遇.
2.有一根合金圆柱，底面半径为1 dm，高为64 cm，若将其锻造成长方体工件，使长方体工件的长为20π cm，高为32 cm，则长方体工件的宽是多少
解：设长方体工件的宽是x cm.
1 dm=10 cm，
根据题意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：长方体工件的宽是10cm.
3. 甲、乙两人从相距200km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行60km，乙骑自行车每小时行20km. 如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇
解：设甲出发x h后两人相遇.
根据题意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出发2h后两人相遇.
1.为增加展示作品的质感，需要准备一些相框进行展示，现
将一根木条进行切割制作相框，原计划制作正方形的相框，
现改为制作长方形的相框，若新的长方形相框的宽比原正方
形相框的边长少 ，新的长方形相框的长等于原正方形相
框的边长，且新的长方形相框需要用 长的木条，若设
原正方形相框的边长为 ，则可列方程为______________
_____.
2.为增加展示作品的美感，学校打算用彩纸包装相框.如图，
将一张正方形彩纸剪下一个宽为 的长条后，再从剩下的
长方形彩纸上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长
条面积相等，那么每一个长条的面积为_____ .
150
3.(8分)为增加展示现场的氛围感，学校决定购买彩色的地垫，
进行地面装饰.如图，其中一部分图案为用8个相同的小长方
形拼成的大长方形，求1个小长方形的面积.
解：设1个小长方形的宽为 ，根
据题图可知1个小长方形的长为
，则 ，解得
，则
答：1个小长方形的面积为 .
知识点2 行程问题
4.［2025年1月滁州期末］一艘轮船在， 两个码头之间航
行，顺水航行需,逆水航行需.已知水流速度为 ,
求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为
,则可列一元一次方程为( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月马鞍山期末］已知学校距离敬老院 .小
明和小刚两人从学校出发去敬老院送水果，小明带着水果先
走了，然后小刚才出发.若小明每分钟行 ，小刚
每分钟行，则小刚用___ 可以追上小明.
5
6.(8分)［2024·合肥模拟］小刚和小强从， 两地同时出发，
小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出
发后两人相遇，相遇时小刚比小强多行进 ，相遇
后小刚到达 地.两人的行进速度分别是多少？
解：设小刚的行进速度为 ，
则相遇时小刚走了,小强走了 ，
由题意，得，解得 ，
则小强的行进速度为
答：小刚的行进速度是 ，小强的行进速度是
.
2星题 中档练
7.数学文化 我国古代名著《九章算术》中有一个问题，原文：
“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫
雁俱起，问何日相逢？”译文：野鸭从南海出发，7天后到达
北海；大雁从北海出发，9天后到达南海，今野鸭和大雁分
别从南海和北海同时出发，几天后相遇？设 天后相遇，可
列方程为( )
B
A. B.
C. D.
8.匀速行驶的动车经过一座大桥时，动车从车头上桥到车头
离桥共需要 ；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，
整列动车完全在桥上的时间是 .已知该列动车长为
，则动车经过的这座大桥的长度为_______ .
9.(8分) 教材改编题 [2025· 安庆月考] 将一个底面内径是
，高是 的圆柱体桶内装满水，再将桶内的水倒
入一个底面内径是，高是 的圆柱体玻璃杯内，
能否完全装下？若装不下，则桶内还有多高的水？若没装满，
求杯内水面的高度.
解：不能完全装下.由题意得，水的体积为
.圆柱体玻璃杯的容积为
.因为 ，即水的体
积大于圆柱体玻璃杯的容积，所以不能完全装下.设桶内还有
高的水，由题意，得 ，解得
.故桶内还有 高的水.
10.(12分)真实情境如图是两张不同类型火车(“ 次”表
示动车，“ 次”表示高铁)的车票的部分信息.
(1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是____
(填“相”或“同”)向而行，并且动车比高铁发车____
(填“早”或“晚”)；
同
早
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为 ，
，两列火车的长度不计，高铁比动车早到 ，求
， 两地之间的距离；
解：设，两地之间的距离为 .
根据题意得，解得 .
答：，两地之间的距离为 .
(3)在(2)的条件下，若
高铁到达 地后停止运
动，求高铁出发多少
小时后两车相距 .
设高铁出发后两车相距 ，
①当高铁还未追上动车时， ，解
得；②当高铁追上动车后， ，
解得；③当高铁到达 地，动车还未到达时，
，解得 .
答：高铁出发或 或
后两车相距 .
课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
谢谢观看！

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