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3.4.3加减消元法
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.4.3 加减消元法
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上一节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，其核心思想是 “消元”，将二元转化为一元。但在有些情况下，代入消元法可能会涉及较多的计算，尤其是当方程组中未知数的系数较大或不是 1 时。今天我们将学习另一种重要的消元方法 —— 加减消元法，它同样能实现 “消元” 的目的，并且在某些方程组的求解中更加简便。
学习目标
理解加减消元法的思想，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤。
能根据方程组的特点，灵活运用加减消元法解二元一次方程组。
进一步体会 “消元” 思想在解方程组中的作用，感受转化的数学思想。
提高运算的准确性和灵活性，培养分析问题和解决问题的能力。
课堂导入
我们来看一个二元一次方程组：\(\begin{cases}2x + y = 7\\x + y = 4\end{cases}\)。这个方程组中，两个方程都含有\(y\)，且\(y\)的系数都是 1。如果我们用第一个方程减去第二个方程，会得到什么呢？\((2x + y)-(x + y)=7 - 4\)，化简后得到\(x = 3\)，这样就消去了\(y\)，求出了\(x\)的值。再把\(x = 3\)代入第二个方程，可得\(3 + y = 4\)，解得\(y = 1\)。这种通过将两个方程相加或相减来消去一个未知数的方法，就是我们今天要学习的加减消元法。
知识点：加减消元法的概念和思想
概念
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
思想
加减消元法的核心思想仍然是 “消元”，即通过方程的加减运算，消除一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求解。与代入消元法相比，加减消元法更适用于方程组中同一未知数的系数相同或相反的情况。
知识点：用加减消元法解二元一次方程组的步骤
变形：观察方程组中两个方程的同一未知数的系数，如果系数不相等也不互为相反数，就根据等式的基本性质，把其中一个方程或两个方程的两边同时乘以适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数。
加减：把变形后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。（当系数相等时相减，当系数互为相反数时相加）
求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
回代：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
检验：把求得的两个未知数的值代入原方程组中的两个方程，检验是否都是方程的解。
写出答案：用大括号 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把两个未知数的值括起来，作为方程组的解。
例题解析
例 1：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}2x + y = 7\\x + y = 4\end{cases}\)。
解：观察：方程组中\(y\)的系数都是 1，相等。
加减：① - ②，得：\((2x + y)-(x + y)=7 - 4\)
化简得：\(x = 3\)
求解：\(x = 3\)
回代：把\(x = 3\)代入②，得\(3 + y = 4\)，解得\(y = 1\)。
检验：把\(x = 3\)，\(y = 1\)代入原方程组：
方程①：左边\(=2 3 + 1 = 7\)，右边\(=7\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=3 + 1 = 4\)，右边\(=4\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}\)。
例 2：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 13\\3x - 2y = 5\end{cases}\)。
解：观察：方程组中\(y\)的系数分别是 2 和\(-2\)，互为相反数。
加减：① + ②，得：\((3x + 2y)+(3x - 2y)=13 + 5\)
化简得：\(6x = 18\)
求解：\(x = 3\)
回代：把\(x = 3\)代入①，得\(3 3 + 2y = 13\)，即\(9 + 2y = 13\)，解得\(2y = 4\)，\(y = 2\)。
检验：把\(x = 3\)，\(y = 2\)代入原方程组：
方程①：左边\(=3 3 + 2 2 = 9 + 4 = 13\)，右边\(=13\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=3 3 - 2 2 = 9 - 4 = 5\)，右边\(=5\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)。
例 3：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 1\end{cases}\)。
解：观察：方程组中\(y\)的系数分别是 3 和\(-3\)，互为相反数。
加减：① + ②，得：\((2x + 3y)+(5x - 3y)=11 + 1\)
化简得：\(7x = 12\)
求解：\(x=\frac{12}{7}\)
回代：把\(x = \frac{12}{7}\)代入①，得\(2 \frac{12}{7}+3y = 11\)，即\(\frac{24}{7}+3y = 11\)，\(3y = 11-\frac{24}{7}=\frac{77}{7}-\frac{24}{7}=\frac{53}{7}\)，解得\(y=\frac{53}{21}\)。
检验：把\(x=\frac{12}{7}\)，\(y = \frac{53}{21}\)代入原方程组：
方程①：左边\(=2 \frac{12}{7}+3 \frac{53}{21}=\frac{24}{7}+\frac{53}{7}=\frac{77}{7}=11\)，右边\(=11\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=5 \frac{12}{7}-3 \frac{53}{21}=\frac{60}{7}-\frac{53}{7}=\frac{7}{7}=1\)，右边\(=1\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x=\frac{12}{7}\\y=\frac{53}{21}\end{cases}\)。
例 4：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}4x + 7y = 19\\4x - 5y = -17\end{cases}\)。
解：观察：方程组中\(x\)的系数都是 4，相等。
加减：① - ②，得：\((4x + 7y)-(4x - 5y)=19 - (-17)\)
化简得：\(12y = 36\)
求解：\(y = 3\)
回代：把\(y = 3\)代入①，得\(4x + 7 3 = 19\)，即\(4x + 21 = 19\)，\(4x = -2\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)。
检验：把\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y = 3\)代入原方程组：
方程①：左边\(=4 (-\frac{1}{2})+7 3=-2 + 21 = 19\)，右边\(=19\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=4 (-\frac{1}{2})-5 3=-2 - 15=-17\)，右边\(=-17\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y = 3\end{cases}\)。
例 5：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)。
解：观察：方程组中\(x\)和\(y\)的系数都不相等也不互为相反数，需要先变形。
变形：①×3，得\(9x + 12y = 48\) ③；
②×2，得\(10x - 12y = 66\) ④。（使\(y\)的系数互为相反数）
加减：③ + ④，得：\((9x + 12y)+(10x - 12y)=48 + 66\)
化简得：\(19x = 114\)
求解：\(x = 6\)
回代：把\(x = 6\)代入①，得\(3 6 + 4y = 16\)，即\(18 + 4y = 16\)，\(4y=-2\)，解得\(y=-\frac{1}{2}\)。
检验：把\(x = 6\)，\(y=-\frac{1}{2}\)代入原方程组：
方程①：左边\(=3 6 + 4 (-\frac{1}{2})=18 - 2 = 16\)，右边\(=16\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=5 6 - 6 (-\frac{1}{2})=30 + 3 = 33\)，右边\(=33\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 6\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}\)。
小练习
用加减消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}x + 2y = 5\\x - 2y = 1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}3x + y = 7\\2x - y = 3\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}2x + 3y = 12\\3x + 4y = 17\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}5x + 2y = 25\\3x + 4y = 15\end{cases}\)。
已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 5\\bx + ay = 2\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}\)，求\(a + b\)的值。
解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2\\2x + 3y = 28\end{cases}\)。
思考讨论
如何根据二元一次方程组的特点选择使用代入消元法还是加减消元法？
当方程组中有一个方程的某个未知数的系数为 1 或\(-1\)时，使用代入消元法比较简便；当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数，或者通过简单变形可以使同一未知数的系数相等或互为相反数时，使用加减消元法比较简便。例如，方程组\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)适合用代入消元法；方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 1\end{cases}\)适合用加减消元法。
用加减消元法时，如何确定变形时每个方程应乘以的数？
变形的目的是使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数，所以应找到两个方程中同一未知数的系数的最小公倍数。例如，方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)中，\(y\)的系数是 4 和\(-6\)，它们的最小公倍数是 12，所以给第一个方程乘以 3，使\(y\)的系数变为 12；给第二个方程乘以 2，使\(y\)的系数变为\(-12\)，这样就可以通过相加消去\(y\)。
课堂小结
加减消元法的概念：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解的方法。
加减消元法的思想：仍然是 “消元”，将二元转化为一元。
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：变形、加减、求解、回代、检验、写出答案。
运用加减消元法时，要根据方程组的特点进行变形，确保加减后能消去一个未知数，计算过程中要注意符号的变化，最后要检验解的正确性。同时，要学会根据方程组的特点灵活选择代入消元法或加减消元法。
课后作业
用加减消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}x + y = 5\\x - y = -1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}2x + 3y = 10\\5x - 2y = 6\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}3x - 5y = 11\\4x + 3y = 5\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}\)。
已知关于\(x\)、\(y\)的方程组\(\begin{cases}2x + 3y = k\\3x + 4y = 2k + 1\end{cases}\)的解满足\(x + y = 3\)，求\(k\)的值。
甲、乙两位同学在解方程组\(\begin{cases}ax + by = 7\\2ax - by = -2\end{cases}\)时，甲看错了第一个方程中的\(a\)，得到的解为\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)；乙看错了第二个方程中的\(b\)，得到的解为\(\begin{cases}x = -2\\y = -6\end{cases}\)。求原方程组的解。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路：消元
二元
一元
转化
2.用代入法解方程的步骤是什么？
变形
代入
求解
回代
写解
用一个未知数的代数式表示另一个未知数
探索新知
思考：解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元方法
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
①
②
x+2y=47
等式的基本性质
此方程组中各个未知数的系数有什么特点？
x+y=35
①
②
x+2y=47
方程②的两边分别减去方程①的两边，得
2y-y=47-35.
一元一次方程
解方程，得y=12.
把y=12代入①，得x+12=35.
解方程，得x=23.
所以
联系上面的解法，想─想怎样解下列方程组：
3x+10y=2.8
①
②
15x-10y=8
1.未知数的系数有什么关系
2.如何消元
方程②的两边分别加上方程①的两边，得
3x+15x=2.8+8.
解方程，得x=0.6.
把x=0.6代入①，得1.8+10y=2.8.
解方程，得y=0.1.
所以
x+y=35
x+2y=47
3x+10y=2.8
15x-10y=8
1.这两个方程组是如何消元的？
思考：
方程的两边分别相加或相减.
2.两个方程相加或相减的依据是什么？
3.两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？
等式的基本性质.
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数.
加减
消元法
加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法.
二元一次方程组
一元一次方程
转化
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办
解：①×2，得8x+2y=28. ③
②-③，得 y=2.
把y=2代入①，得4x+2=14.
x=3.
所以
【教材P113 例2】
如果消去y，如何求解？
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
【教材P113 例2】
解：①×3，得12x+3y=42. ③
③-②，得4x=12.
x=3.
把x=3代入①，得12+y=14.
解方程，得y=2.
所以
变形
加减
求解
回代
写解
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
1.方程组符合加减消元法的条件吗
2.此方程组如何使用加减消元法
分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，①×3，②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y.
y
y
找系数的最小公倍数.
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
解：①×3，得12x+6y=-15. ③
②×2，得10x-6y=-18. ④
③+④，得22x=-33.
x= .
把x= 代入①，得
-6+2y=-5.
y= .
所以
随堂练习
1.用加减法解方程组 时，方程①+②得（ ）
A. 2y=2 B. 3x=6 C. x-2y=-2 D. x+y=6
B
2.利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A.要消去y，可以将①×5+②×2
B.要消去x，可以将①×3+②×(﹣5)
C.要消去y，可以将①×5+②×3
D.要消去x，可以将①×(﹣5)+②×2
D
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
①
②
（1）解：①-②，得-y=6. y=-6.
把y=-6代入②，得2x-2×(-6)=-1. x=-8.
所以
（2）
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
（2）
（2）解：②×2，得6x－2z+2=0.③
①+③，得7x-7=0. x=1.
把x=1代入①，得 1+2z-9=0. z=4.
所以
①
②
（3）
①
②
（3）解：①×2，得8x-4y=78.③
③-②，得5x=60. x=12.
把x=12代入②，得3×12-4y=18. y= .
（4）
所以
（3）
（4）
（4）解：②×9，得3y+27x=99.③
③-①，得 x=80. x=3.
把x=3代入①，得 ×3+3y=19. y=6.
①
②
所以
4.*解方程组：
解：①+②，得60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，解得x=1.
把x=1代入③，得1+y=3，解得y=2.
所以
①
②
1星题 基础练
知识点1 直接利用加减消元法解二元一次方程组
1.［知识初练］方程组中，未知数 的系数
的关系是______，未知数 的系数的关系是____________.把
方程①②的两边分别相加，就能消去未知数___；把方程①
②的两边分别相减，就能消去未知数___.
相等
互为相反数
2.用“加减法”消去方程组中的 后得到的方程
是( )
D
A. B. C. D.
3.(4分)解方程组：
解：,得，解得 .
将代入①,得，解得 .
所以原方程组的解为
知识点2 变系数后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2024·合肥期中］解方程组 用加减消元法
消去 ，需要用( )
C
A. B.
C. D.
5. 加减消元法
6.(8分)解方程组：
(1)
解：，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
所以原方程组的解为
(2)
，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 .
将代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
知识点3 用适当的方法解二元一次方程组
7.二元一次方程组 最适宜用______消元法直接
消元.
加减
8.(8分)选择适当的方法解下列方程组.
(1)
解：由①，得 .③
把③代入②，得.解得.把 代入③，
得.所以原方程组的解为
(2)
,得 .③
，得，把代入①，得 ，解得
.所以原方程组的解为
2星题 中档练
9.［2025年1月北京期末］在解二元一次方程组
时，下列方法中无法消元的是( )
C
A.
B.由①变形得 ，将其代入②
C.
D.由②变形得 ，将其代入①
10.整体思想 已知有理数，满足方程组 则
的值为( )
A
A. B.0 C.1 D.2
11.［2025年1月淮北期末］若关于, 的二元一次方程组
的解满足,则 的值是___.
2
12.创新题·新考法 [2025年1月芜湖期末] 对于有理数， ，
定义一种新运算：，其中， 为常数.已知
，，则 ____.
20
根据题中的新定义化简得：
得，，解得，把代入①，得 ，
解得，则 .
13.(8分)在解关于，的方程组 时，
可以用消去未知数,也可以用 消
去未知数,试求， 的值.
解：由题意得解得
3星题 提升练
14.(8分)中考趋势·阅读理解 阅读解方程组的过程，再回答相
应的问题.
解方程组：
解：原方程组可化为
将两个方程相减，得，则 .
把代入到方程②，可得，所以 ，
则原方程组的解是
以上解方程组的方法叫消常数项法.
请用上面的方法解方程组：
解：
，得，即 .③
把③代入①，得 ，
解得.把代入③，得 .
则原方程组的解是
课堂小结
加减消元法
条件：
步骤：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数
变形 加减 求解 回代 写解
谢谢观看！

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