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3.4.1二元一次方程组
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.4.1 二元一次方程组
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
在前面的学习中，我们已经掌握了一元一次方程的相关知识，知道只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。今天我们将学习一种新的方程类型 —— 二元一次方程，以及由多个二元一次方程组成的二元一次方程组。
学习目标
理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，能识别二元一次方程和二元一次方程组。
知道二元一次方程的解和二元一次方程组的解的含义，能检验一组数是不是二元一次方程（组）的解。
经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
培养观察、分析和概括的能力，感受数学与生活的联系。
课堂导入
我们来看一个生活中的问题：小明去商店买笔和笔记本，已知买 1 支笔和 1 本笔记本一共花了 8 元，买 2 支笔和 3 本笔记本一共花了 21 元，那么 1 支笔和 1 本笔记本分别多少钱？
如果我们设 1 支笔的价格为\(x\)元，1 本笔记本的价格为\(y\)元，根据题意可以列出两个方程：\(x + y = 8\)和\(2x + 3y = 21\)。这两个方程中都含有两个未知数，且未知数的次数都是 1，像这样的方程就是二元一次方程，而这两个方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。通过解这个方程组，我们就能求出笔和笔记本的单价。这就是我们本节课要学习的内容。
知识点：二元一次方程
定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。
例如：\(x + y = 5\)、\(2a - 3b = 7\)都是二元一次方程。
注意事项
方程中必须含有两个未知数；
含有未知数的项的次数都是 1，而不是未知数的次数是 1。例如，方程\(xy = 6\)中，含有未知数的项\(xy\)的次数是 2，所以它不是二元一次方程；
方程的两边必须都是整式。
二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
例如，对于方程\(x + y = 5\)，当\(x = 2\)，\(y = 3\)时，方程左边\(=2 + 3=5\)，右边\(=5\)，左边 = 右边，所以\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)是方程\(x + y = 5\)的解。
二元一次方程的解有无数个，只要给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
例题解析
例 1：判断下列方程是不是二元一次方程：
（1）\(3x + y = 4\)；
（2）\(2x + 3 = 7\)；
（3）\(xy + 1 = 0\)；
（4）\(x + \frac{1}{y}=2\)。
解：（1）方程\(3x + y = 4\)含有两个未知数\(x\)和\(y\)，含有未知数的项的次数都是 1，且两边都是整式，所以是二元一次方程。
（2）方程\(2x + 3 = 7\)只含有一个未知数\(x\)，所以不是二元一次方程。
（3）方程\(xy + 1 = 0\)中，含有未知数的项\(xy\)的次数是 2，所以不是二元一次方程。
（4）方程\(x + \frac{1}{y}=2\)中，\(\frac{1}{y}\)不是整式，所以不是二元一次方程。
例 2：已知\(\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}\)是方程\(2x + my = 7\)的解，求\(m\)的值。
解：因为\(\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}\)是方程\(2x + my = 7\)的解，所以将\(x = 1\)，\(y = -2\)代入方程中，等式成立，即：\(2 1 + m (-2)=7\)
化简得：\(2 - 2m = 7\)
移项得：\(-2m = 7 - 2\)\(-2m = 5\)
系数化为 1 得：\(m=-\frac{5}{2}\)
知识点：二元一次方程组
定义
由几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如：\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)、\(\begin{cases}3a - b = 5\\a + 2b = 4\end{cases}\)都是二元一次方程组。
注意事项
方程组中含有两个未知数；
方程组中的每个方程都是二元一次方程；
“合在一起” 通常是指用大括号 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把它们连接起来。
二元一次方程组的解
二元一次方程组中的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
例如，方程组\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)，我们可以通过尝试找到它的解。当\(x = 3\)，\(y = 5\)时，第一个方程左边\(=3 + 5 = 8\)，右边\(=8\)；第二个方程左边\(=2 3 + 3 5=6 + 15 = 21\)，右边\(=21\)，所以\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)是这个方程组的解。
例题解析
例 3：判断下列方程组是不是二元一次方程组：
（1）\(\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3z - y = 4\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x^2 + y = 7\\x - y = 2\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}x + y = 6\\\frac{1}{x} + y = 2\end{cases}\)。
解：（1）方程组\(\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases}\)含有两个未知数\(x\)和\(y\)，每个方程都是二元一次方程，所以是二元一次方程组。
（2）方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3z - y = 4\end{cases}\)含有三个未知数\(x\)、\(y\)、\(z\)，所以不是二元一次方程组。
（3）方程组\(\begin{cases}x^2 + y = 7\\x - y = 2\end{cases}\)中，第一个方程含有未知数的项\(x^2\)的次数是 2，不是二元一次方程，所以不是二元一次方程组。
（4）方程组\(\begin{cases}x + y = 6\\\frac{1}{x} + y = 2\end{cases}\)中，第二个方程含有\(\frac{1}{x}\)，不是整式方程，所以不是二元一次方程组。
例 4：检验\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}2x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}\)的解。
解：将\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)代入方程组：
第一个方程：左边\(=2 2 + 1 = 5\)，右边\(=5\)，左边 = 右边；
第二个方程：左边\(=2 - 1 = 1\)，右边\(=1\)，左边 = 右边。
所以\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)是方程组的解。
将\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)代入方程组：
第一个方程：左边\(=2 1 + (-1)=1\)，右边\(=5\)，左边≠右边；
所以\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)不是方程组的解。
小练习
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. \(x + y^2 = 0\) B. \(x = \frac{2}{y} + 1\) C. \(x - 2y = 3\) D. \(xy = 6\)
若\(\begin{cases}x = 3\\y = -1\end{cases}\)是方程\(3x + my = 6\)的解，则\(m = \)
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. \(\begin{cases}x + y = 5\\x^2 = 3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x + y = 2\\y + z = 3\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x - y = 1\\2x + 3y = 10\end{cases}\) D. \(\begin{cases}\frac{1}{x} + y = 3\\x - y = 4\end{cases}\)
写出二元一次方程\(x + 2y = 5\)的三个解。
检验\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 4\end{cases}\)的解。
思考讨论
二元一次方程和一元一次方程有什么区别和联系？
区别：二元一次方程含有两个未知数，而一元一次方程含有一个未知数；二元一次方程有无数个解，而一元一次方程只有一个解。
联系：它们都是整式方程，且未知数的最高次数都是 1；在解二元一次方程组时，常常会通过消元的方法将其转化为一元一次方程来求解。
如何理解二元一次方程组的解的含义？
二元一次方程组的解是方程组中所有方程的公共解，即它既要满足方程组中的第一个方程，又要满足方程组中的第二个方程。也就是说，将这组解代入方程组中的每个方程，等式都成立。
课堂小结
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。其解是使方程两边的值相等的两个未知数的值，有无数个解。
二元一次方程组：由几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起组成的方程组。其解是方程组中两个方程的公共解，通常只有一个解（特殊情况下可能无解或有无数个解）。
判断一个方程是不是二元一次方程，要紧扣定义，看是否满足 “含有两个未知数、含有未知数的项的次数都是 1、整式方程” 这三个条件；判断一个方程组是不是二元一次方程组，要看是否含有两个未知数且每个方程都是二元一次方程。
检验一组数是不是二元一次方程组的解，只需将这组数代入方程组中的每个方程，若所有方程都成立，则是方程组的解，否则不是。
课后作业
下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）\(3x - y = 0\)；（2）\(x + \frac{1}{y} = 2\)；（3）\(x^2 + y = 5\)；（4）\(2x + 3y = z\)。
若\(\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\)是方程\(2x + ay = 4\)的解，求\(a\)的值。
下列方程组中，哪些是二元一次方程组？
（1）\(\begin{cases}x + y = 3\\2x - y = 1\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\\x - y = 2\end{cases}\)。
写出二元一次方程\(3x - 2y = 6\)的两个解。
检验\(\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 1\end{cases}\)的解。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
只含有_______未知数（元），未知数的次数都是____，且等式两边都是_______的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序号）.
① x-2= ；② 0.3x=1；③ =5x+1；④ x2-4x=3；
⑤ x=6；⑥ x+2y=0.
一个
1
整式
②③⑤
探索新知
问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.
思考1：如何列一元一次方程？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
思考2：问题中有两个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
分析：
鸡的只数+兔的只数=总头数
鸡的脚数+兔的脚数=总脚数
解：设鸡有x只，兔有y只.
鸡 兔 合计
头数 x y 35
脚数 2x 4y 94
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
观察下面的方程：
2.它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
1.它们有什么共同特征？
3.你能给它起个名字吗？
定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
注意：
1.是整式方程；
2.只含有两个未知数，且未知数的系数不为0；
3. “一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数.
x+y=35
2x+4y=94
二元一次方程
三者缺一不可！
下列式子中，是二元一次方程的是_______（填序号）.
① 8x-y=3y；② 3x-z=y；③ 2x-5=3；④ +y=2；
⑤ xy=2；⑥ 3x2+1=y；⑦ x-y= .
练一练
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
1.原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
2.整理化简后的方程中两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
①⑦
x+y=35
2x+4y=94
①
②
几个方程联立在一起，称为方程组.
两个或两个以上
定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
注意：
1.组成方程组的方程都是整式方程；
2.两个方程共含有两个未知数；
3.方程组中含有未知数的项的次数必须都是1.
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
练一练
A. B. C. D.
看两个方程是否为整式方程
看方程组是否一共含有两个未知数
看含未知数的项的次数是否都是1
C
问题2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元.樟树苗、白杨树苗各买了多少棵
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组
x+y=50，
10x+3y=290.
①
②
随堂练习
1.已知2xa-5-(b-2)y|b|-1=4是关于x，y的二元一次方程，则
a-2b=________.
10
2.若 是关于x，y的二元一次方程组，则
a=________，b=________.
﹣1
5
3.根据题意，列出二元一次方程组：
（1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚
【教材P109 练习 第1题】
解：设买了x枚60分的邮票和y枚80分的邮票.
根据题意，得
（2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的 多8棵. 两班分别植树多少棵
解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵.
根据题意，得
（3）将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学
解：设共有x本笔记本，y个同学.
根据题意，得
4.请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组.
解：答案不唯一，如：某船的载重为260t，容积为1000m3. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨（装运货物时不留空隙）？
设甲、乙两种货物应各装x t，y t.
根据题意，得
【教材P109 练习 第2题】
1星题 基础练
知识点1 二元一次方程
1.［2025·杭州月考］下列方程是二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.关于，的方程是二元一次方程，则
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.若方程是关于， 的二元一次方程，则
___.
3
知识点2 二元一次方程组
4.下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
5.创新题·新考法 若方程组 是二元一次方程组，
则“……”不可能是( )
C
A. B. C. D.
6.［2025年1月安庆期末］若是关于,
的二元一次方程组，则___， ____.
1
知识点3 建立二元一次方程组模型
7.某班35名学生共种87棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每
人种2棵，设该班男生有人，女生有 人.根据题意，所列方
程组正确的是( )
D
A. B.
C. D.
8.(8分)教材改编题 根据题意列二元一次方程组.
(1)一个长方形的周长是，宽比长短 ，求这个长方
形的长和宽.
解：设这个长方形的长为,宽为 ，则
(2)某校有两种类型的学生宿舍共30间，大宿舍每间可住8人，
小宿舍每间可住5人，该校住宿生198人恰好住满这30间宿舍，
大、小宿舍各有多少间？
设大宿舍有间，小宿舍有间，则
2星题 中档练
9.易错题 [2024·合肥庐阳区期末] 若方程
是关于，的二元一次方程，则 的值
为( )
D
A. B. C.0 D.1
10.已知方程组：
下列说法正确的是( )
D
A.只有①是二元一次方程组
B.只有②是二元一次方程组
C.只有②③是二元一次方程组
D.只有②不是二元一次方程组
11.数学文化 [2025年1月阜阳期
末] 《九章算术》中的“方程”
一章中讲述了算筹图，如图①②
所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，
的系数与相应的常数项，图①表示的算筹图用我们现在所熟
悉的方程组形式表述出来为 类似地，图②所
示的算筹图用方程组可表述为
_ ______________.
12.若 ，则可转化为方程组：
_ ________________.
13.创新题·新考法 问题：“小明家离学校 ，其中有一
段为上坡路，另一段为下坡路.他跑步去学校共用时 ，
已知小明上坡的平均速度为 ，下坡的平均速度为
，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮设出未知数，后列出了方程组
则“……”表示的方程是___________，小颖设出未知数，
后却列了和小亮不同的方程组： 则“……”
表示的方程是___________________________.
14.(8分)［2025年1月芜湖期末］如图是
由截面为同一种长方形的墙砖组成的部
分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放
的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低 ，
试求每块墙砖截面的长和宽.若设每块墙砖的截面的长为
，宽为 ，请根据题意，列出二元一次方程组.
解：由“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖
高”得 .由“2块横放的墙
砖比2块竖放的墙砖低 ”得
.故可列出二元一次方程组
为
3星题 提升练
15.跨学科·语文 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为
了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的 ，猴子们对于
这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早
上投喂，这样早上的粮食是晚上的 ，猴子们对这样的安排非常满意.设调
整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是 千克，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
B
课堂小结
二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
根据实际问题列二元一次方程组
含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
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