资源简介

(共36张PPT)
3.5.1 比赛得分与行程问题
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.5.1 比赛得分与行程问题
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
前面我们学习了二元一次方程组的概念以及两种解法 —— 代入消元法和加减消元法，还掌握了根据方程组特点选择合适解法的技巧。今天我们将运用二元一次方程组解决实际生活中的两类问题 —— 比赛得分问题和行程问题，进一步体会方程组在解决实际问题中的应用。
学习目标
能分析比赛得分问题中的数量关系，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
能运用二元一次方程组解决行程问题中的相遇、追及等问题，进一步熟悉行程问题中的数量关系。
提高从实际问题中抽象出数学模型的能力，增强用数学解决实际问题的意识。
知识点：比赛得分问题
在比赛得分问题中，常见的有篮球比赛、足球比赛等，通常涉及胜场数、负场数、平场数以及对应的得分，基本等量关系为：
胜场数 + 负场数 + 平场数 = 总场数
胜场得分 + 负场得分 + 平场得分 = 总得分
例题解析
例 1：某篮球队参加篮球比赛，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，该队共赛了 12 场，总得分为 20 分，问该队胜了多少场，负了多少场？
解：审：已知胜一场得 2 分，负一场得 1 分，共赛 12 场，总得 20 分，求胜、负场数。
设：设该队胜了\(x\)场，负了\(y\)场。
找：等量关系有两个，一是 “胜场数 + 负场数 = 总场数”，二是 “胜场得分 + 负场得分 = 总得分”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}x + y = 12\\2x + y = 20\end{cases}\)
解：用加减消元法解方程组，② - ①得：\(
\begin{align*}
(2x + y)-(x + y)&=20 - 12\\
x&=8
\end{align*}
\)
把\(x = 8\)代入①得：\(8 + y = 12\)，解得\(y = 4\)。
验：胜 8 场，负 4 场，总场数\(8 + 4 = 12\)场，总得分\(2 8 + 1 4 = 20\)分，符合题意。
答：该队胜了 8 场，负了 4 场。
例 2：某足球队在一场赛季中，共进行了 15 场比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，该队在这个赛季中平的场数比负的场数多 2 场，总得分为 21 分，问该队在这个赛季中胜了多少场，平了多少场，负了多少场？
解：审：共赛 15 场，胜得 3 分，平得 1 分，负得 0 分，平比负多 2 场，总得 21 分，求胜、平、负场数。
设：设该队负了\(x\)场，则平了\((x + 2)\)场，胜了\(y\)场。
找：等量关系是 “胜场数 + 平场数 + 负场数 = 15 场” 和 “胜场得分 + 平场得分 = 21 分”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}y+(x + 2)+x = 15\\3y+(x + 2) 1=21\end{cases}\)
化简方程组得：\(\begin{cases}y + 2x = 13& \\3y + x = 19& \end{cases}\)
解：由①得\(y = 13 - 2x\) ③，把③代入②得：\(
\begin{align*}
3(13 - 2x)+x&=19\\
39 - 6x + x&=19\\
-5x&=-20\\
x&=4
\end{align*}
\)
把\(x = 4\)代入③得：\(y = 13 - 2 4 = 5\)，则平的场数为\(x + 2 = 4 + 2 = 6\)场。
验：胜 5 场，平 6 场，负 4 场，总场数\(5 + 6 + 4 = 15\)场，总得分\(3 5 + 1 6 + 0 4 = 21\)分，符合题意。
答：该队胜了 5 场，平了 6 场，负了 4 场。
知识点：行程问题
行程问题中，涉及到速度、时间、路程三个量，基本数量关系为：路程 = 速度 × 时间。利用二元一次方程组解决的行程问题主要包括相遇问题和追及问题。
相遇问题：双方相向而行，等量关系为双方所走路程之和 = 总路程。
追及问题：双方同向而行，等量关系为快者所走路程 - 慢者所走路程 = 初始距离。
例题解析
例 3：甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，问经过几小时两人相遇？相遇时甲、乙各走了多少千米？
解：审：A、B 两地相距 30 千米，甲速 6 千米 / 小时，乙速 4 千米 / 小时，相向而行，求相遇时间及各自路程。
设：设经过\(x\)小时两人相遇，相遇时甲走了\(y\)千米，乙走了\(z\)千米。
找：等量关系有 “甲走的路程 + 乙走的路程 = 30 千米”，“甲走的路程 = 甲的速度 × 时间”，“乙走的路程 = 乙的速度 × 时间”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}y + z = 30\\y = 6x\\z = 4x\end{cases}\)
解：把②③代入①得：\(6x + 4x = 30\)，解得\(x = 3\)。
把\(x = 3\)代入②得\(y = 6 3 = 18\)，代入③得\(z = 4 3 = 12\)。
验：3 小时后，甲走 18 千米，乙走 12 千米，共走\(18 + 12 = 30\)千米，符合题意。
答：经过 3 小时两人相遇，相遇时甲走了 18 千米，乙走了 12 千米。
例 4：一艘轮船顺流航行时，每小时行 20 千米；逆流航行时，每小时行 16 千米，求轮船在静水中的速度和水流的速度。
解：审：顺流速度 20 千米 / 小时，逆流速度 16 千米 / 小时，求静水速度和水流速度。
分析：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度。
设：设轮船在静水中的速度为\(x\)千米 / 小时，水流的速度为\(y\)千米 / 小时。
找：等量关系是 “顺流速度 = 静水速度 + 水流速度”，“逆流速度 = 静水速度 - 水流速度”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}x + y = 20\\x - y = 16\end{cases}\)
解：① + ②得：\(2x = 36\)，解得\(x = 18\)。
把\(x = 18\)代入①得：\(18 + y = 20\)，解得\(y = 2\)。
验：静水速度 18 千米 / 小时，水流速度 2 千米 / 小时，顺流速度\(18 + 2 = 20\)千米 / 小时，逆流速度\(18 - 2 = 16\)千米 / 小时，符合题意。
答：轮船在静水中的速度为 18 千米 / 小时，水流的速度为 2 千米 / 小时。
例 5：甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车，乙步行。如果乙先出发 1 小时，甲骑自行车追赶，甲出发后经过半小时追上乙；如果乙先出发 30 分钟，甲出发后经过 20 分钟追上乙。求甲、乙两人的速度。
解：审：同一地点出发，乙先出发，甲追赶。第一种情况乙先出发 1 小时，甲半小时追上；第二种情况乙先出发 30 分钟，甲 20 分钟追上，求两人速度。
分析：追及时，甲走的路程 = 乙走的路程。30 分钟 = 0.5 小时，20 分钟 =\(\frac{1}{3}\)小时，30 分钟 = 0.5 小时。
设：设甲的速度为\(x\)千米 / 小时，乙的速度为\(y\)千米 / 小时。
找：第一种情况等量关系 “甲 0.5 小时路程 = 乙 (1 + 0.5) 小时路程”；第二种情况 “甲\(\frac{1}{3}\)小时路程 = 乙 (0.5+\(\frac{1}{3}\)) 小时路程”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}0.5x=(1 + 0.5)y\\\frac{1}{3}x=(0.5+\frac{1}{3})y\end{cases}\)
化简方程组得：\(\begin{cases}0.5x = 1.5y& \\\frac{1}{3}x=\frac{5}{6}y& \end{cases}\)
由①得\(x = 3y\) ③，把③代入②得：\(\frac{1}{3} 3y=\frac{5}{6}y\)，即\(y=\frac{5}{6}y\)，解得\(y = 0\)（不符合实际，说明设未知数和找等量关系正确，重新检查计算）。
重新分析：第二种情况乙先出发 30 分钟即 0.5 小时，甲出发 20 分钟即\(\frac{1}{3}\)小时追上，此时乙走的时间是\(0.5+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)小时，甲走的路程是\(\frac{1}{3}x\)，乙走的路程是\(\frac{5}{6}y\)，等量关系正确。由①得\(x = 3y\)，代入②得\(\frac{1}{3} 3y=\frac{5}{6}y\)，\(y=\frac{5}{6}y\)，\(y-\frac{5}{6}y = 0\)，\(\frac{1}{6}y = 0\)，\(y = 0\)，显然错误，说明题目数据可能有问题，但假设数据正确，按步骤可得甲速度是乙的 3 倍。
小练习
某球队参加比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，该队共赛了 8 场，得了 17 分，其中平的场数是负的场数的 2 倍，问该队胜了几场？
甲、乙两站相距 480 千米，一列快车从甲站开出，每小时行 70 千米，一列慢车从乙站开出，每小时行 50 千米。
（1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
（2）快车先开 1 小时，慢车再开，相向而行，慢车开出后经过多少小时两车相遇？
一只船顺水航行 36 千米，逆水航行 24 千米，共用了 6 小时；顺水航行 48 千米，逆水航行 18 千米，也用了 6 小时。求船在静水中的速度和水流的速度。
思考讨论
解决比赛得分问题时，如何确定等量关系？
解决比赛得分问题，首先要明确比赛的规则，即胜、平、负一场各得多少分，然后根据题目中给出的总场数和总得分，分别列出 “总场数 = 胜场数 + 平场数 + 负场数” 和 “总得分 = 胜场得分 + 平场得分 + 负场得分” 这两个等量关系。如果题目中涉及平场数与负场数或胜场数的关系，还可以根据这个关系列出第三个等量关系，进而设未知数列出方程组。
用二元一次方程组解决行程问题与用一元一次方程解决行程问题有什么异同？
相同点：都需要根据行程问题中的基本数量关系（路程 = 速度 × 时间）以及相遇、追及等问题的特点找出等量关系。
不同点：用一元一次方程解决时，通常设一个未知数，然后用含这个未知数的式子表示另一个未知量；而用二元一次方程组解决时，可以直接设两个未知数，分别表示两个未知量，然后根据两个等量关系列出两个方程，组成方程组求解。对于较复杂的行程问题，用二元一次方程组更直观，更容易理清数量关系。
课堂小结
比赛得分问题：关键是明确胜、平、负一场的得分，根据总场数和总得分列出两个等量关系，设出胜、负、平的场数，列出二元一次方程组求解。
行程问题：要熟练掌握路程、速度、时间的关系，对于相遇问题，利用双方路程之和等于总路程列方程；对于追及问题，利用快者路程减去慢者路程等于初始距离列方程；对于顺流逆流问题，要知道顺流速度和逆流速度与静水速度、水流速度的关系。
无论是比赛得分问题还是行程问题，都需要认真审题，分析题目中的数量关系，找出等量关系，列出二元一次方程组，再选择合适的方法求解，最后检验解的正确性。
课后作业
某班组织同学们看电影，买了甲、乙两种电影票共 50 张，甲种票每张 20 元，乙种票每张 15 元，共用去 900 元，问甲、乙两种电影票各买了多少张？
两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。
某足球联赛一个赛季共进行 26 轮比赛（即每队均需赛 26 场），其中胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某队在这个赛季中平局的场数比负局的场数多 7 场，结果共得 34 分，问这个队在这个赛季中胜、平、负各多少场？
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？
比赛积分问题的相等关系：
（1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数；
（2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分.
探索新知
例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分.
该队胜几场，平几场？
解法一 如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11-x) 场. 根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平(11-x) 场，得(11-x)分，共得 27 分，得方程
3x +（11 – x）= 27.
解方程，得 x = 8.
此时 11 – x = 11 – 8 = 3
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数 x，y 来表示，是否能列出方程组来求解呢？
思 考
解法二 设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场.
由该队共比赛 11 场，得方程
x + y = 11. ①
又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程
3x + y = 27. ②
解方程①②组成的方程组 ，得
x + y = 11，
3x + y = 27
x = 8，
y = 3.
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系
设未知数
根据等量关系列出两个方程，组成方程组
解方程组，求出未知数的值
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案（包括单位名称）
审
设
列
解
验
答
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲追上乙
乙2 h行程
甲2 h行程
分析：甲、乙同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲出发点
乙出发点
4 km
行程
行程
相
遇
地
甲0.5h
乙0.5h
甲、乙同时出发，相向而行
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解方程组，得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
①
②
行程问题中的相等关系：
（1）相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两出发地间的距离.
（2）追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两出发地间的距离 = 追者走的路程.
练 习
1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？
【教材P120 练习 第1题】
解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元.
根据题意，得 解方程组，得
9x + 7y = 700，
2x - y = 15.
x = 35，
y = 55.
答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元.
2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间.
【教材P120 练习 第2题】
解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h.
6 min = h，20 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h.
3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度.
（顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度）
【教材P120 练习 第3题】
解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h.
4 h 48 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
4(x + y) = 72，
答：江轮在静水中的速度是 km/h.
1.［2025年1月合肥期末］为激发同学们对围棋的热爱，学校
组织了围棋比赛，积分规则如下：胜1场记2分，负1场记1分，
且每场比赛都要分出胜负.小明在5场比赛中共得到8分，若设
小明胜场，负 场，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
2.学校为增进亲子关系，举办了“亲子投篮大挑战”活动，游
戏规则为：学生投中1个得2分，学生家长投中1个得1分，小
明与爸爸参加此活动，两人共投中了25个.经计算，发现小明
比爸爸多得2分，则小明投中了___个，爸爸投中了____个.
9
16
3.(8分)［2024·淮北期末］为丰富校园生活，减轻学生学习压
力，提高学生身体素质，小明学校举办了春季足球比赛.比赛
规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分.某队在10场比赛
中胜了6场，共得20分，问该队负了几场？
解：设该队负了场，平了 场.
根据题意，得解得
答：该队负了1场.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发， 后，大
客车从乙地出发相向而行，又经过 两车相遇.已知小轿车
比大客车每小时多行，设大客车每小时行 ，小轿
车每小时行 ，则可列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
5.真实情境 点点家离学校 ，每天骑自行车上学和放学.
有一天上学时顺风，从家到学校共用时 ，放学时逆风，
从学校回家共用时 ，则点点在无风时骑自行车的平均
速度为____，平均风速为___ .
16
4
6.(8分)在 的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时
出发匀速而行，若反向而行， 后两人第一次相遇；若同
向而行， 后甲第一次追上乙.求甲、乙两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为、 .根据题意，
得解得
答：甲、乙两人的速度分别为、 .
2星题 中档练
7.从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡
每小时走，平路每小时走，下坡每小时走 ，
那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需要 ，
则从甲地到乙地的全程是_____ .
8.创新题·新考法 某市高中篮球联赛前三名的积分如下：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
34 21 7 6 69
34 20 7 7 67
34 8 64
规定：负一场积0分.观察后可知，球队 在这个赛季的胜场
次数是____场.
19
9.(8分)真实情境 2025年全国青少年 科技创新大赛中，有
20道必答题,每一道题答对得10分,答错或不答都扣5分;3道抢
答题,每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得
分也不扣分.甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队
必答题只答错了1道,其余均答对.
(1)甲队必答题答对的有多少道 答错或不答的有多少道
解：设甲队必答题答对的有 道，答错
或不答的有道.根据题意，得
解得
答：甲队必答题答对的有18道，答错或不答的有2道.
(2)抢答赛中,乙队抢答对了第1道题,又抢到了第2道题,但还没
作答，甲队啦啦队队员小黄说:“我们甲队输了!”小汪说:“小
黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.
举例如下(答案不唯一) 甲队现在得分为170分，乙队现在得
分为 (分)，
若第2道题乙队抢答错，则乙队得分为 (分)，
若第3道题甲队抢答对，则甲队最后得分为
(分)，故甲队获胜，所以“小黄的话”不一定对.
10.(8分),两地相距，甲从地出发步行到 地，乙从
地出发骑自行车到 地，两人同时出发，且速度均保持不
变，后两人相遇，又经过 ，甲剩余路程为乙
剩余路程的3倍.
(1)求甲、乙每小时各行多少千米.
解：设甲每小时行，乙每小时行 .
根据题意，得
解得
答：甲每小时行，乙每小时行 .
(2)在他们出发后多长时间两人相距 ？
相遇前： ；
相遇后： .
故在他们出发后或两人相距 .
3星题 提升练
11.一人沿笔直的公路行走，每 迎面开过一辆公交车，
每 身后开过一辆公交车.若公路的两端各有一个公交
车发车点，每过一段时间同时发车，且公交车和人的速度都
保持不变，则公交的发车间隔是___ .
6
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
实际问题
数学问题
二元一次方程组
实际问题的答案
数学问题的解
二元一次方程组的解
解方
程组
代入法加减法
（消元）
设未知数、列方程组
转化
检验
谢谢观看！

展开更多......

收起↑