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3.5.3调配、配比与配套问题
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.5.3 调配、配比与配套问题
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知识回顾
前面我们学习了用二元一次方程组解决比赛得分、行程、百分率和方案等实际问题，这些问题的解决都离不开对等量关系的准确把握。今天我们将继续学习另外三类常见的实际问题 —— 调配问题、配比问题和配套问题，它们在生产、生活中应用广泛，掌握这些问题的解决方法，能进一步提升我们用数学知识解决实际问题的能力。
学习目标
理解调配问题、配比问题和配套问题的含义，掌握各自的数量关系和解题关键。
能根据这三类问题的特点，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
培养分析问题和解决问题的能力，体会数学与实际生活的紧密联系。
知识点：调配问题
调配问题是指将一定数量的人员、物资等从一个地方调动到另一个地方，以满足某种需求。解决这类问题的关键是明确调配前后的数量变化，根据调配后的数量关系列出等量关系。
数量关系
调配前的数量 + 调入的数量 - 调出的数量 = 调配后的数量
调配后甲处的数量与乙处的数量满足题目给定的关系
例题解析
例 1：某车间有两个生产小组，甲组有 32 人，乙组有 28 人，现因工作需要，从甲组调出部分人到乙组，使乙组的人数是甲组人数的 2 倍，问从甲组调出多少人到乙组？
解：审：甲组原有 32 人，乙组原有 28 人，从甲组调人到乙组后，乙组人数是甲组的 2 倍，求调出人数。
设：设从甲组调出\(x\)人到乙组，调配后甲组有\(y\)人，则乙组有\(2y\)人。
找：等量关系有 “调配后甲组人数 + 调出人数 = 甲组原有人数” 和 “调配后乙组人数 - 调入人数 = 乙组原有人数”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}y + x = 32\\2y - x = 28\end{cases}\)
解：① + ②得：\(3y = 60\)，解得\(y = 20\)。
把\(y = 20\)代入①得：\(20 + x = 32\)，解得\(x = 12\)。
验：调出 12 人后，甲组有\(32 - 12 = 20\)人，乙组有\(28 + 12 = 40\)人，\(40\)是\(20\)的 2 倍，符合题意。
答：从甲组调出 12 人到乙组。
例 2：某学校组织学生参加社会实践活动，原计划安排 40 座的客车若干辆，但还有 20 人没有座位；如果改租 60 座的客车，则可少租 2 辆，且最后一辆车还空出 40 个座位，问原计划租 40 座的客车多少辆？参加社会实践活动的学生有多少人？
解：审：原计划租 40 座客车，有 20 人没座位；改租 60 座客车，少租 2 辆，最后一辆空 40 座，求原计划租车数量和学生人数。
设：设原计划租 40 座的客车\(x\)辆，参加社会实践活动的学生有\(y\)人。
找：等量关系有 “40 座客车可坐人数 + 20 人 = 学生总人数” 和 “60 座客车（\(x - 2\)）辆可坐人数 - 40 个空座位 = 学生总人数”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}40x + 20 = y\\60(x - 2)-40 = y\end{cases}\)
解：把①代入②得：\(
\begin{align*}
60(x - 2)-40&=40x + 20\\
60x - 120 - 40&=40x + 20\\
60x - 40x&=20 + 120 + 40\\
20x&=180\\
x&=9
\end{align*}
\)
把\(x = 9\)代入①得：\(y = 40 9 + 20 = 380\)。
验：原计划租 9 辆 40 座客车，可坐\(40 9 = 360\)人，加上没座位的 20 人，共 380 人；改租\(9 - 2 = 7\)辆 60 座客车，前 6 辆坐满可坐\(60 6 = 360\)人，最后一辆坐\(380 - 360 = 20\)人，空出\(60 - 20 = 40\)个座位，符合题意。
答：原计划租 40 座的客车 9 辆，参加社会实践活动的学生有 380 人。
知识点：配比问题
配比问题是指两种或多种物质按一定的比例混合在一起，以达到某种特定的要求。解决这类问题的关键是根据题目中给出的比例关系，结合混合前后的总量不变来列出等量关系。
数量关系
各成分的数量比等于给定的比例
各成分的数量之和等于混合物的总数量
例题解析
例 3：某化工厂要配制一种浓度为 15% 的药水，现有浓度为 20% 的药水 300 克和浓度为 10% 的药水若干克，问需要浓度为 10% 的药水多少克？配制成的 15% 的药水总质量是多少克？
解：审：用 20% 的药水 300 克和 10% 的药水配制 15% 的药水，求 10% 药水的质量和配成后药水的总质量。
设：设需要浓度为 10% 的药水\(x\)克，配制成的 15% 的药水总质量是\(y\)克。
找：等量关系有 “20% 药水的质量 + 10% 药水的质量 = 配成后药水的总质量” 和 “20% 药水中溶质质量 + 10% 药水中溶质质量 = 15% 药水中溶质质量”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}300 + x = y\\20\% 300 + 10\%x = 15\%y\end{cases}\)
解：把①代入②得：\(
\begin{align*}
60 + 0.1x&=0.15(300 + x)\\
60 + 0.1x&=45 + 0.15x\\
0.15x - 0.1x&=60 - 45\\
0.05x&=15\\
x&=300
\end{align*}
\)
把\(x = 300\)代入①得：\(y = 300 + 300 = 600\)。
验：20% 的药水 300 克含溶质\(300 20\% = 60\)克，10% 的药水 300 克含溶质\(300 10\% = 30\)克，配成后药水 600 克含溶质\(60 + 30 = 90\)克，浓度为\(90 ·600 100\% = 15\%\)，符合题意。
答：需要浓度为 10% 的药水 300 克，配制成的 15% 的药水总质量是 600 克。
例 4：某食品厂要配制一种什锦糖，由奶糖、水果糖和巧克力糖按\(3:5:2\)的比例混合而成。现要配制这种什锦糖 1000 千克，问需要奶糖、水果糖和巧克力糖各多少千克？
解：审：奶糖、水果糖、巧克力糖按\(3:5:2\)的比例配制 1000 千克什锦糖，求各成分的质量。
设：设需要奶糖\(3x\)千克，水果糖\(5x\)千克，巧克力糖\(2x\)千克。
找：等量关系是 “奶糖质量 + 水果糖质量 + 巧克力糖质量 = 什锦糖总质量”。
列：根据等量关系，列出方程：\(3x + 5x + 2x = 1000\)
解：\(10x = 1000\)，解得\(x = 100\)。
则奶糖质量为\(3x = 3 100 = 300\)千克，水果糖质量为\(5x = 5 100 = 500\)千克，巧克力糖质量为\(2x = 2 100 = 200\)千克。
验：\(300 + 500 + 200 = 1000\)千克，且\(300:500:200 = 3:5:2\)，符合题意。
答：需要奶糖 300 千克，水果糖 500 千克，巧克力糖 200 千克。
知识点：配套问题
配套问题是指在生产过程中，不同的零件或产品之间按照一定的比例进行搭配，以形成一个完整的产品。解决这类问题的关键是明确配套的比例关系，根据比例列出等量关系。
数量关系
若\(a\)个甲零件和\(b\)个乙零件配成一套，则甲零件的数量 ×\(b\) = 乙零件的数量 ×\(a\)
例题解析
例 5：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
解：审：车间有 22 名工人，每人每天生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉配 2 个螺母，求生产螺钉和螺母的工人数。
设：设应安排\(x\)名工人生产螺钉，\(y\)名工人生产螺母。
找：等量关系有 “生产螺钉的工人数 + 生产螺母的工人数 = 总人数” 和 “每天生产的螺母数量 = 2× 每天生产的螺钉数量”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}x + y = 22\\2000y = 2 1200x\end{cases}\)
化简第二个方程得：\(2000y = 2400x\)，即\(5y = 6x\) ③
解：由①得\(x = 22 - y\) ④，把④代入③得：\(
\begin{align*}
5y&=6(22 - y)\\
5y&=132 - 6y\\
5y + 6y&=132\\
11y&=132\\
y&=12
\end{align*}
\)
把\(y = 12\)代入④得：\(x = 22 - 12 = 10\)。
验：10 名工人生产螺钉，每天生产\(10 1200 = 12000\)个；12 名工人生产螺母，每天生产\(12 2000 = 24000\)个，\(24000 = 2 12000\)，刚好配套，符合题意。
答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。
例 6：某服装厂有工人 54 人，每人每天可加工上衣 8 件或裤子 10 条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？（1 件上衣配 1 条裤子）
解：审：服装厂有 54 名工人，每人每天加工上衣 8 件或裤子 10 条，1 件上衣配 1 条裤子，求加工上衣和裤子的工人数。
设：设分配\(x\)人加工上衣，\(y\)人加工裤子。
找：等量关系有 “加工上衣的人数 + 加工裤子的人数 = 总人数” 和 “每天生产的上衣数量 = 每天生产的裤子数量”。
列：根据等量关系，列出方程组：\(\begin{cases}x + y = 54\\8x = 10y\end{cases}\)
化简第二个方程得：\(4x = 5y\)，即\(x=\frac{5}{4}y\) ③
解：把③代入①得：\(
\begin{align*}
\frac{5}{4}y + y&=54\\
\frac{5}{4}y+\frac{4}{4}y&=54\\
\frac{9}{4}y&=54\\
y&=54 \frac{4}{9}\\
y&=24
\end{align*}
\)
把\(y = 24\)代入③得：\(x=\frac{5}{4} 24 = 30\)。
验：30 人加工上衣，每天生产\(30 8 = 240\)件；24 人加工裤子，每天生产\(24 10 = 240\)条，上衣和裤子数量相等，刚好配套，符合题意。
答：应分配 30 人加工上衣，24 人加工裤子。
小练习
某学校组织学生参加植树活动，原计划安排 45 名学生去植树，每人植树 6 棵，由于特殊情况，有部分学生不能参加，实际参加的学生人数是原计划的\(\frac{4}{5}\)，实际每人植树多少棵？
要配制一种盐水，盐和水的质量比是\(1:10\)，现有盐 20 克，需要加水多少克？配制成的盐水总质量是多少克？
某车间有工人 85 人，平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套，问应如何安排工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
思考讨论
调配问题和配比问题有什么异同点？
相同点：都涉及到数量的调整和组合，都需要根据题目中的条件找出等量关系来列方程（组）求解。
不同点：调配问题主要是对人员、物资等进行调动，重点关注调配前后数量的变化以及调配后各部分数量之间的关系；配比问题则是将不同的物质按一定比例混合，重点关注混合前后各成分的数量以及它们之间的比例关系。
解决配套问题时，如何准确确定配套的比例关系？
解决配套问题，首先要明确一个完整的配套产品中各零件或部件的数量关系，例如 “1 个 A 配 2 个 B”“3 个 C 和 4 个 D 配成一套” 等，然后根据这个数量关系列出 “甲零件数量 × 乙零件的配套数 = 乙零件数量 × 甲零件的配套数” 这样的等量关系。在分析过程中，要仔细阅读题目，确保对配套比例的理解准确无误。
课堂小结
调配问题：关键是理清调配前后的数量变化，根据调配后各部分的数量关系列出等量关系，设出调配的数量和调配后各部分的数量，列出方程组求解。
配比问题：要根据题目中给出的比例关系，结合混合前后各成分的总量不变以及溶质（或其他成分）的总量不变来确定等量关系，进而列出方程组。
配套问题：核心是明确配套的比例，根据 “甲零件数量 × 乙的配套数 = 乙零件数量 × 甲的配套数” 这一关键等量关系，结合总人数或总工作量等条件列出方程组。
通过本节课的学习，我们进一步掌握了用二元一次方程组解决实际问题的方法，在解决这些问题时，要仔细审题，准确找出等量关系，合理设未知数，确保解题的正确性。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
例4 某村 18 位农民筹集 50 万元资金，承包了一些低产田地. 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦. 种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表.
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 15
荞麦 4 10
在现有的条件下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？
分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下.
作物品种 种植面积 S/hm2 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 15x
荞麦 y 4y 10y
合计 18 50
解 设蔬菜的种植面积为 x hm2，荞麦的种植面积为 y hm2. 根据题意，得
5x + 4y = 18，
15x + 10y = 50.
解方程组，得
x = 2，
y = 2.
答：这 18 位农民应承包 4 hm2 的田地，种植蔬菜和荞麦各 2 hm2，并安排 10 人种蔬菜，8 人种荞麦，这样能使所有的人都有工作，且资金正好够用.
则 x + y = 4. 此时 5x = 5×2 = 10，4y = 4×2 = 8.
表格能够将复杂的数量关系明朗化，而且更容易分析出等量关系.
知识点睛
巩固练习
1. 星期天，七年级（1）（2）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船. 已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每 4 人合租一条船，两班各花了115 元. 活动人数如下表:
碰碰车每辆车租金多少元？游船每条船租金多少元？
班级 玩碰碰车的同学 划船的同学
（1）班 11 人 16 人
（2）班 8 人 20 人
分析：
班级 租碰碰车的数量 租船的数量 租金
（1）班 11 4 115
（2）班 8 5 115
解: 设碰碰车每辆车租金 x 元，游船每条船租金 y 元.
则
解得
x = 5，
y = 15.
解: 碰碰车每辆车租金 5 元，游船每条船租金 15 元.
2. 如图，塑料凳子轻便实用，在日常生活中随处可见. 若 3 个塑料凳子叠放在一起的高度如图①所示，5 个塑料凳子叠放在一起的高度如图②所示，则当 10 个塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少厘米？
思路分析
图形 等量关系
图① 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 2 个塑料凳子增加的高度 = 55 cm
图② 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 4 个塑料凳子增加的高度 = 65 cm
解: 设 1 个塑料凳子的高度为 x cm，每叠放 1 个塑料凳子高度增加 y cm.
根据题意，得
x + 2y = 55，
x + 4y = 65.
解方程组，得
x = 45，
y = 5.
于是，x + 9y = 45 + 9×5 = 90.
答：10 个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 90 cm.
3. 某电视机厂生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机，每台出厂价分别为 1 200 元、2 000 元、2 200元. 某商场同时从该厂购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，正好用去 80 000 元.
（1）该商场有几种进货方案？（写出演算步骤）
（2）若该商场销售甲、乙、丙三种电视机每台可分别获得 200 元、250 元、300 元，如何进货可使售完后获利最大？ 最大利润是多少？
思路分析
解:（1）设甲、乙、丙三种电视机分别购进 x 台、y 台、z 台.
根据题意，得
x + y = 50，
1200x + 2000y = 80000.
解方程组，得
x = 25，
y = 25.
①若购进甲、乙两种型号的电视机，
根据题意，得
x + z = 50，
1200x + 2200z = 80000.
解方程组，得
x = 30，
z = 20.
②若购进甲、丙两种型号的电视机，
根据题意，得
y + z = 50，
2000y + 2200z = 80000.
解方程组，得
y = 150，
z = -100.
③若购进乙、丙两种型号的电视机，
（不合题意，舍去）
故该商场有两种进货方案：
①购进 25 台甲种电视机和 25 台乙种电视机；
②购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机.
（2）方案①的利润为 200×25 + 250×25 ＝11250（元），
方案②的利润为 200×30＋300×20 ＝12000（元）.
因为 12000 > 11250，所以购进 30 台甲种电视机和 20 台
丙种电视机可使售完后获利最大，最大利润为 12000 元.
练 习
1. 某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品. 已知每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.08 单位铁质，每克乙原料含 0.5 单位蛋白质和 0.04 单位铁质，如果患者每餐需 34 单位蛋白质和 4 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？
【教材P122 练习 第1题】
解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g.
根据题意，得
0.6x + 0.5y = 34，
0.08x + 0.04y = 4.
解方程组，得
x = 40，
y = 20.
答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者的需要.
2. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车正好装完. 第二批 540 t，用 10 节火车车厢和 5 辆卡车正好装完，求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨.
【教材P122 练习 第2题】
解: 设每节火车车厢能装 x t，每辆卡车能装 y t.
根据题意，得
8x + 20y = 480，
10x + 5y = 540.
解方程组，得
x = 52.5，
y = 3.
解: 每节火车车厢能装 52.5 t，每辆卡车能装 3 t.
1星题 基础练
知识点1 调配问题
1.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树
的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植
树人数的2倍.设调往甲处人，调往乙处 人，则可列方程组
为( )
B
A. B.
C. D.
2.(8分)［2025·滁州月考］甲、乙两车间各有工人若干名，若
从甲车间调100人给乙车间，则甲车间人数是乙车间人数的 ，
若从乙车间调100人给甲车间，则甲车间人数与乙车间人数
相同.甲、乙两车间分别原有多少名工人
解：设甲车间原有名工人，乙车间原有 名工人，
根据题意，得解得
答：甲车间原有180名工人，乙车间原有380名工人.
知识点2 配比问题
3.(8分)跨学科·化学 为了使某植物的长势更好，张叔叔决定
利用甲、乙两种肥料配制营养肥料.已知每克甲种肥料中含有
0.6单位镁元素和0.08单位铁元素，每克乙种肥料中含有0.5单
位镁元素和0.04单位铁元素.如果每次施肥需要34单位镁元素
和4单位铁元素，那么每次施肥需要甲、乙两种肥料各多少
克才能使该植物长势更好？
解：设每次施肥需要甲种肥料克、乙种肥料 克，根据题意
得解得
答：每次施肥需要甲种肥料40克、乙种肥料20克.
知识点3 配套问题
主图情境
生产中的数学智慧
工业生产如精密齿轮，各环节紧密配合，从工人的分工
协作到零件的配套生产，每一处都闪烁着数学智慧的光芒.
4.［2025年1月芜湖期末］在一家专注光学产品制造的车间里，
60名工人投入太阳镜的生产，1名工人每天可生产镜片200片或
镜架50个.每副太阳镜由2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分
配工人生产镜片和镜架，才能使产品正好配套？设安排 名工
人生产镜片， 名工人生产镜架，则可列方程组为 ( )
D
A. B.
C. D.
5.某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16
个或小齿轮10个.已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排
____名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.
25
6.(8分)某工厂计划生产一种新型豆浆机,每台豆浆机需3个 零
件和5个零件.已知车间每天能生产零件450个或 零件300
个.现在要求在21天中所生产的零件刚好配套,那么应安排多
少天生产零件,多少天生产 零件 这些零件可以满足生产多
少台豆浆机
解：设应安排天生产零件，天生产 零件.根据题意，得
解得
(个)， (台).
答：应安排6天生产零件，15天生产 零件，这些零件可以
满足生产900台豆浆机.
2星题 中档练
7.［2025年1月大同期末］为提高病人免疫力，某医院精选甲、
乙两种食物为病人配制营养餐.已知每克甲种食物中铁的含量
是蛋白质的2倍，每克乙种食物中铁的含量是蛋白质的 .如果
病人每餐需要175个单位的蛋白质和200个单位的铁，每餐需
要甲、乙两种食物分别为140克、150克，则每克甲种食物中
含铁___个单位.
1
设每克甲种食物中含蛋白质 个单位，每克乙种食物
中含蛋白质 个单位.根据题意，得
解得
所以 ，所以每克甲种食物中含铁1个单位.
8.(12分)真实情境 为助力“零碳乡村”建设，某科技公司使用
新能源货车和智能物流无人机向乡村配送190套太阳能发电
设备，已知货车每辆可运送设备20套，无人机每架可运送设
备30套，货车和无人机一共用了8辆满载运送.
(1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组
请写出小宇所列方程组中未知数， 表示的
意义：表示________________， 表示__________________，
该方程组中“？”处的数应是___，“*”处的数应是_____；
使用货车的数量
使用无人机的数量
8
190
(2)小琼同学的思路是设货车运送套设备，无人机运送 套
设备.请你按照小琼的思路列出方程组，并求使用货车的数量；
解：依题意得解得
所以 .
答：使用货车5辆.
(3)如果每辆货车的运费是180元，每架无人机的运费是300元，
那么该公司运送这190套设备后的总运费是多少？
总运费为 (元).
答：该公司运送这190套设备后的总运费是1 800元.
9.(8分)［2025年1月合肥期末］某工厂生
产如图①所示的长方形和正方形纸板，
做成如图②所示的竖式与横式两种长方
体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形
纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成
(给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝).
(1)现有长方形纸板340个，正方形纸板
160个，做成上述两种纸盒，纸板恰好用
完，求两种纸盒的生产个数.
解：设做成的竖式纸盒有个，横式纸盒有 个，根据题意得
解得
答：做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒有60个.
(2)纸板车间共有78名工人，每名工人一
天能生产70个长方形纸板或者100个正方
形纸板.已知一个竖式纸盒与一个横式纸
盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其他车间做成的竖
式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应如何安排工人生产这
两种纸板？
设分配名工人生产正方形纸板， 名工
人生产长方形纸板，由题意，
得解得
答：纸板车间应分配18名工人生产正方
形纸板，60名工人生产长方形纸板.
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