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4.4.2角的度量与运算
第4章 几何图形初步
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.4.2 角的度量与运算
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知识回顾
上节课我们学习了角的定义和表示方法，知道角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，也可以看作是一条射线绕着端点旋转形成的图形，并且掌握了用大写字母、数字、希腊字母等表示角的方法。本节课我们将学习角的度量单位、角的大小比较以及角的运算，这些知识是进一步学习角的相关性质和几何图形的基础。
学习目标
知道角的度量单位是度、分、秒，掌握它们之间的换算关系。
会使用量角器度量角的大小，能比较两个角的大小。
理解角的和、差、倍、分的意义，能进行简单的角的运算。
培养动手操作能力和计算能力，体会数学的严谨性。
知识点：角的度量单位及换算
度量单位
角的度量单位是度、分、秒，分别用符号 “°”“′”“″” 表示。
换算关系
把一个周角（即射线绕端点旋转一周形成的角）平均分成 360 等份，每一份就是 1 度的角，记作 1°。
把 1 度的角平均分成 60 等份，每一份就是 1 分的角，记作 1′，即 1°=60′。
把 1 分的角平均分成 60 等份，每一份就是 1 秒的角，记作 1″，即 1′=60″。
综上所述，度、分、秒之间的换算关系为：
1°=60′，1′=60″，1°=3600″
单位换算示例
例 1：将 5.2° 换算成度、分、秒的形式。
解：因为 1°=60′，所以 0.2°=0.2×60′=12′，则 5.2°=5°12′。
例 2：将 3°15′换算成度的形式。
解：因为 1′=（1/60）°，所以 15′=15×（1/60）°=0.25°，则 3°15′=3.25°。
例 3：将 48°36′18″换算成度的形式。
解：先将 18″换算成分：18″=18×（1/60）′=0.3′；
再将 36′+0.3′=36.3′换算成度：36.3′=36.3×（1/60）°=0.605°；
所以 48°36′18″=48°+0.605°=48.605°。
知识点：角的大小比较
角的大小比较与线段的大小比较类似，有叠合法和度量法两种方法。
叠合法
操作步骤：
将两个角的顶点重合。
将其中一个角的一边与另一个角的一边重合。
观察两个角另一边的位置关系：
如果另一边落在另一个角的内部，则这个角较小。
如果另一边与另一个角的另一边重合，则这两个角相等。
如果另一边落在另一个角的外部，则这个角较大。
示例：比较∠AOB 和∠COD 的大小，将顶点 O 和 C 重合，边 OB 和 CO 重合，若 OA 落在∠COD 的内部，则∠AOB＜∠COD；若 OA 与 OD 重合，则∠AOB=∠COD；若 OA 落在∠COD 的外部，则∠AOB＞∠COD。
度量法
操作步骤：
用量角器分别测量出两个角的度数。
比较两个角的度数大小：度数大的角较大，度数小的角较小，度数相等则两个角相等。
示例：测量得∠1=30°，∠2=45°，因为 30°＜45°，所以∠1＜∠2。
知识点：角的和、差、倍、分
角的和
两个角的和是指把两个角的一边重合，另一边分别在重合边的两侧，所形成的新角的度数等于这两个角的度数之和。
例如，∠AOB=30°，∠BOC=40°，且 OA 和 OC 在 OB 的两侧，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+40°=70°。
角的差
两个角的差是指从一个较大的角中减去一个较小的角，所得到的角的度数等于这两个角的度数之差。
例如，∠AOC=70°，∠AOB=30°，且 OB 在∠AOC 的内部，则∠BOC=∠AOC-∠AOB=70°-30°=40°。
角的倍
一个角的 n 倍是指将这个角连续相加 n 次所得到的角的度数，等于这个角的度数乘以 n。
例如，∠AOB=20°，则它的 3 倍角是 3×20°=60°。
角的分
一个角的 n 等分是指将这个角平均分成 n 份，每一份角的度数等于这个角的度数除以 n。其中，将一个角平均分成 2 份所得到的角叫做这个角的平分线。
例如，∠AOB=60°，将其平均分成 3 份，每一份角的度数是 60°÷3=20°。
例题解析
例 1：计算：
（1）35°24′+50°56′；
（2）90°-37°18′25″；
（3）25°36′×4；
（4）48°2′÷5。
解：（1）35°24′+50°56′=（35°+50°）+（24′+56′）=85°+80′=85°+1°20′=86°20′；
（2）90°-37°18′25″=89°59′60″-37°18′25″=（89°-37°）+（59′-18′）+（60″-25″）=52°41′35″；
（3）25°36′×4=25°×4+36′×4=100°+144′=100°+2°24′=102°24′；
（4）48°2′÷5=48°÷5+2′÷5=9°+3°÷5+0.4′=9°+180′÷5+0.4′=9°+36′+0.4′=9°36′+24″=9°36′24″。
例 2：已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，求∠AOC 的度数。
解：本题需要分两种情况讨论：
情况一：当 OC 在∠AOB 的内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-30°=50°；
情况二：当 OC 在∠AOB 的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°。
所以∠AOC 的度数是 50° 或 110°。
例 3：如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB=70°，求∠AOC 和∠BOC 的度数。
A
/|
/ |
/ |
O C
\ |
\ |
\|
B
解：因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC=∠BOC=∠AOB÷2。
已知∠AOB=70°，则∠AOC=∠BOC=70°÷2=35°。
小练习
填空题：
（1）1°=′，1′=″，1°=″。
（2）32.4°=°′；45°36′=°。
（3）比较大小：38°15′38.15°（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
（4）如图，∠AOB=∠AOC-，∠AOD=∠AOB+=∠AOC+。
A
/
/
O——C——B——D
计算题：
（1）48°39′+67°31′；
（2）180°-79°19′；
（3）22°16′×5；
（4）176°52′÷3。
解答题：
（1）已知∠α=50°17′，求∠α 的余角和补角的度数（余角是指和为 90° 的角，补角是指和为 180° 的角）。
（2）如图，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线，∠AOB=130°，求∠DOE 的度数。
A
/
/
O——E——C——D——B
思考讨论
度、分、秒的换算与时间单位时、分、秒的换算有什么相同点和不同点？
相同点：度、分、秒之间的进率是 60，时、分、秒之间的进率也是 60，都是满 60 进 1。
不同点：度、分、秒是角的度量单位，用于衡量角的大小；时、分、秒是时间单位，用于衡量时间的长短。此外，它们的表示符号不同，度用 “°”，分用 “′”，秒用 “″”；时用 “h”，分用 “min”，秒用 “s”。
在进行角的运算时，需要注意哪些问题？
在进行角的运算时，需要注意以下几点：
度、分、秒分别进行运算，即度与度相加、减、乘、除，分与分相加、减、乘、除，秒与秒相加、减、乘、除。
相加时，满 60 要进 1，即分满 60 要转化为度，秒满 60 要转化为分；相减时，不够减要借 1 当 60，即度不够减时，借 1° 当 60′，分不够减时，借 1′当 60″。
相乘时，结果要将分、秒满 60 的部分进行转化；相除时，要将余数转化为下一级单位继续除。
进行角的和、差运算时，要注意角的位置关系，当角的边的位置不明确时，需要分情况讨论，避免漏解。
课堂小结
角的度量单位及换算：角的单位是度、分、秒，换算关系为 1°=60′，1′=60″，1°=3600″，换算时要注意满 60 进 1 和借 1 当 60。
角的大小比较：有叠合法和度量法两种方法，叠合法通过重合顶点和一边，观察另一边的位置比较；度量法通过测量度数比较。
角的运算：包括角的和、差、倍、分运算，运算时要分别对度、分、秒进行操作，并注意单位换算。
角的平分线是将一个角平均分成两个相等的角的射线，利用角的平分线可以进行角的等量关系转化。
通过本节课的学习，我们掌握了角的度量、比较和运算方法，这些知识是几何学习中的重要基础，在后续学习三角形、四边形等图形的性质时会经常用到，希望同学们能够熟练掌握。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
我们可以度量角吗？如果可以，那你知道角的度量单位有哪些吗？度量单位之间的关系是怎样的呢？
新课导入
1°
角的度量单位是“度、分、秒”. 把一个周角360等分，每一等份是1度的角，1度记作1°，如图.
新知探究
知识点1
角的度量及换算
把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1″. 即
1°=60′， 1′=60″
1°
解：（1）因为0.26°=60′×0.26 = 15.6′，
0.6′ =60″×0.6 = 36″，
所以30.26°=30°15′36″.
例 1 计算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精确到0.001°）
例 1 计算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精确到0.001°）
解：（2）因为15″ = ×15 = 0.25′，
18.25′ = ×18.25 ≈ 0.304°，
所以42°18′15″ ≈ 42.304°.
例 2 把一个周角17等分，每份是多少？（精确到1′）
解：360°÷17 = 21°+3°÷17
= 21°+180′ ÷17
≈21°11′.
方法总结：
（1）将度用度、分、秒表示的方法：先将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒.
（2）将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度，也可以直接将分除以60，秒除以3600，再相加.
如图，我们如何描述射线OA，射线OB表示的方向呢？
知识点2
方向角
O
A
B
东
西
北
南
30°
40°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示南偏东40°方向
O
A
B
东
西
北
南
30°
40°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示南偏东40°方向
平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方向角.
注意：
（1）习惯上，把南或北写在前，把偏东或偏西的角度写在后.
（2）“东北方向”指的是北偏东45°， 西北方向、东南方向、西南方向同理.
练习
1. 填空：
15
0
52.32
【教材P155 练习 第1题】
2.计算:
（1）25°23′17′′+46°53′43″；
（2）75°23′12″-46°53′43″；
（3）19°20′24″×4；
（4）134°22′÷3.
解：（1）原式=72°17′
（2）原式=28°29′29″
（3）原式=77°21′36″
（4）原式=44°47′20″
【教材P155 练习 第2题】
1.已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（ ）
A.∠α=∠β B.∠α<∠β
C.∠α=∠γ D.∠β>∠γ
C
随堂练习
2.如图，直线AB，∠AMC=52°48′，∠BMD=74°30′，则∠CMD=__________.
52°42′
3.计算:
（1）48°39′+67°45′
（2）180°-87°19′42″.
解：（1）48°39′+67°45′
=115°84′
=116°24′.
（2）180°-87°19′42″
=179°59′60″-87°19′42″
=92°40′18″.
4. 如图，指出OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）射线OB：南偏东40°；
（2）射线OC：南偏西60°；
（3）射线OD：西北方向.
解:射线OA表示北偏东40°方向.
（1）射线OB如图所示.
（2）射线OC如图所示.
（3）射线OD如图所示.
B
C
D
40°
60°
45°
1星题 基础练
知识点1 角的度量
1.用度、分、秒表示 为( )
D
A. B. C. D.
2.(1)__________ ；
(2)____________ ；
(3)________ .
15
3.(16分)计算下列各题.
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式
.
(4) .
原式
.
知识点2 方向角与钟面角
4.(8分)教材改编题 如图所示.
(1)射线表示____偏____ 方向；射
线 表示______方向；
北
东
西北
(2)请在图中标出南偏西 方向的射线 ，东南方向的射
线 .
解：如图.
5.［2024·广西中考］如图，2时整，钟表的时针
和分针所成的锐角为( )
C
A. B. C. D.
2星题 中档练
6.下列式子正确的是( )
C
A. B.
C. D.
7.创新题·新考法 如图，海平面上有一
个灯塔，测得海岛在灯塔的北偏东
方向上，同时测得海岛 在灯塔的北偏
东 方向上，则灯塔的位置是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
8.把一个平角7等分，每一份是________的角.(精确到分)
9.(12分)［2025年1月扬州期末］如图,在一个
圆形时钟的表面上,表示时针, 表示分针
为两针的转动中心，凌晨3时,与 成
直角.
(1)分针每分钟转过的角度是___,时针每分钟转过的角度是
______;
(2)上午9:30时,时针与分针所成的角度是______;
(3)在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2时开始,经过多少分钟,
时针与分针成 角
解：设在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2
时开始，经过分钟，时针与分针成 角.
①当分针在时针上方时，由题意得
,解得 ;
②当分针在时针下方时，由题意得 ,
解得 .
答：在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2时开始，经过 或
分钟，时针与分针成 角.
1°=60′ 1′=60″
度分秒的换算：
课堂小结
平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方向角.
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