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4.5.3用尺规作角
第4章 几何图形初步
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.5.3 用尺规作角
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
在前面对角的学习中，我们已经掌握了角的定义、表示方法、度量与比较，以及补角和余角的相关知识。本节课我们将学习一种重要的几何作图方法 —— 用尺规作角，即只用圆规和没有刻度的直尺来作出一个角等于已知角。这种作图方法不依赖于度量工具，是几何推理和作图的基础技能。
学习目标
了解尺规作图的含义和基本工具（圆规、无刻度直尺）。
掌握用尺规作一个角等于已知角的步骤，并能独立完成作图。
理解作图的原理，能结合图形说明每一步操作的依据。
培养动手操作能力和几何推理能力，感受尺规作图的严谨性和逻辑性。
知识点：尺规作图的基本概念
定义
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来完成的作图方法。其中，直尺的作用是连接两点或延长线段，圆规的作用是画圆或圆弧，截取等长的线段。
特点
不使用度量工具，作图的准确性依赖于圆规截取等长线段和直尺连接直线的规范性。
每一步操作都有严格的几何依据，体现了几何的逻辑性和严谨性。
知识点：用尺规作一个角等于已知角
已知
一个角∠AOB。
求作
一个角∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。
作图步骤
作射线 O'A'：
用直尺画一条射线 O'A'，作为要作的角的一边。这是角的起始边，相当于已知角∠AOB 的边 OA。
以点 O 为圆心，任意长为半径画弧：
用圆规的针尖固定在已知角的顶点 O 处，选取一个适当的长度作为半径（半径的长度可以任意，但在后续步骤中要保持一致），画一条弧，分别交 OA 于点 C，交 OB 于点 D。
依据：圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合），此时 OC=OD（同圆的半径相等）。
以点 O' 为圆心，OC 的长为半径画弧：
保持圆规的半径不变（即与步骤 2 中截取的 OC 长度相等），将圆规的针尖固定在射线 O'A' 的端点 O' 处，画一条弧，交 O'A' 于点 C'。
依据：圆规截取等长线段，此时 O'C'=OC=OD。
以点 C' 为圆心，CD 的长为半径画弧：
用圆规量取已知角上弧 CD 的长度（即圆规的针尖固定在点 C，笔尖调整到点 D 处），然后将圆规的针尖固定在点 C' 处，画一条弧，与步骤 3 中所画的弧交于点 D'。
依据：等长线段截取，此时 C'D'=CD。
过点 D' 作射线 O'B'：
用直尺连接点 O' 和点 D'，并延长为射线 O'B'。
此时，∠A'O'B' 即为所求作的角，且∠A'O'B'=∠AOB。
作图图示
已知角∠AOB：
A
/|
/ |
/ |C
O |
\ |
\ |D
\|
B
作图过程：
1. 作射线O'A'：
O'——A'
2. 以O为圆心画弧交OA于C，交OB于D：
A
/|
/ |
/ |C
O———|——D
\ |
\ |
\|
B
3. 以O'为圆心，OC为半径画弧交O'A'于C'：
O'——C'——A'
4. 以C'为圆心，CD为半径画弧交前弧于D'：
O'——C'——A'
\
\
D'
5. 作射线O'B'：
D'
/
/
O'——C'——A'
\
\
B'
最终∠A'O'B'=∠AOB
作图原理
在△OCD 和△O'C'D' 中：
OC=O'C'（步骤 2 和 3 中截取的半径相等）
CD=C'D'（步骤 4 中截取的弧长相等）
OD=O'D'（步骤 2 和 3 中截取的半径相等）
根据 “边边边”（SSS）全等判定定理，△OCD≌△O'C'D'，因此对应角相等，即∠COD=∠C'O'D'，也就是∠AOB=∠A'O'B'。这就是用尺规作一个角等于已知角的理论依据。
例题解析
例 1：已知∠α，用尺规作一个角，使它等于∠α 的 2 倍。
解：作法如下：
作∠AOB=∠α（按上述用尺规作一个角等于已知角的步骤）。
以点 O 为顶点，OB 为一边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠α。
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠α+∠α=2∠α，∠AOC 即为所求作的角。
例 2：用尺规作图，已知∠1 和∠2，作一个角等于∠1+∠2。
解：作法如下：
作射线 OA。
以 O 为顶点，OA 为一边，作∠AOB=∠1。
以 O 为顶点，OB 为一边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠2。
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠1+∠2，∠AOC 即为所求作的角。
小练习
填空题：
（1）尺规作图的工具是______和______。
（2）用尺规作一个角等于已知角时，第 2 步和第 3 步都要画弧，其中第 2 步是以______为圆心，第 3 步是以______为圆心，且这两步画弧的半径______。
（3）用尺规作角的理论依据是全等三角形的______判定定理（SSS）。
作图题：
（1）已知∠ABC，用尺规作一个角等于∠ABC。
（2）已知∠α 和∠β（∠α＞∠β），用尺规作一个角等于∠α-∠β。
简答题：
（1）在 “用尺规作一个角等于已知角” 的步骤中，为什么要保证 OC=O'C'，CD=C'D'，OD=O'D'？
（2）用尺规作角与用量角器画角有什么不同？
思考讨论
除了作一个角等于已知角，你认为用尺规还能作出哪些特殊角？（如 60°、30° 等）
可以作出 60° 角：因为等边三角形的三个角都是 60°，所以可以用尺规作一个等边三角形，其中的一个角就是 60°。具体步骤：作一条线段 AB，以 A 为圆心，AB 为半径画弧，以 B 为圆心，AB 为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC 和 BC，则∠CAB=60°。
在此基础上，可以作出 30° 角（作 60° 角的角平分线）、90° 角（作两个 60° 角的和减去 30° 角，或利用等腰直角三角形）等。
尺规作图在几何学习中的意义是什么？
尺规作图是几何的基本技能之一，它不依赖于度量，能培养学生的动手操作能力和空间想象能力；每一步操作都有严格的几何依据，有助于学生理解几何概念和定理，培养逻辑推理能力；同时，尺规作图体现了几何的严谨性和逻辑性，是后续学习复杂几何作图和证明的基础。
课堂小结
尺规作图的定义：只用圆规和无刻度直尺进行的作图，强调不依赖度量，注重操作的规范性和依据的逻辑性。
用尺规作一个角等于已知角的步骤：
作射线（起始边）；
已知角上画弧（定半径，得两点）；
新作射线上画弧（同半径，得对应点）；
截取等长弧（定另一点）；
作射线（终边）。
作图原理：通过构造全等三角形（SSS），保证所作角与已知角相等。
通过本节课的学习，我们掌握了用尺规作一个角等于已知角的方法，理解了作图的原理和每一步操作的依据。这种作图方法是几何学习中的重要工具，在后续学习角的和差、角平分线的作图等内容时会经常用到，希望同学们勤加练习，熟练掌握。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
图形的绘制，图案的设计，时常需要画线段和角.
新课导入
之前我们已经学会了用尺规作线段，那我们这节课来学一下如何用尺规作角吧！
新知探究
知识点
作一个角等于已知角
例 3 已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB=∠M.
M
解 用量角器量得∠M=110°.
画∠AOB=110°，∠AOB即为符合题意的角.
M
O
A
B
操 作
如图，张开圆规，当圆规两足末端的距离为a时，圆规的张角为∠α. 将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？
调整圆规，使圆规两足末端的距离为a ，这时圆规张角仍为∠α.
基于上面的发现，
尺规作图 作一个角等于已知角.
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.
A
O
B
作法：（1）作射线EG.
（2）在∠AOB上以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q；
（3）以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
A
O
B
E
G
P
Q
D
A
O
B
E
G
P
Q
D
（4）以点D 为圆心，线段PQ长为半径画弧，与（3）中所画弧交于点F；
（5）作射线EF. ∠DEF即为所求作的角.
F
例 4 如图，已知两个角∠1和∠2（∠1＞∠2），求作这两个角的和.
1
2
作法 作∠AOB =∠1，以O为顶点，OB为一边在∠AOB外作∠BOC =∠2，那么∠AOC=∠1 +∠2.
1
2
O
A
B
C
1
2
1.如图，已知∠α，用尺规作∠AOB=2∠α.
练习
α
【教材P162 练习 第1题】
解:如图所示.
作法:（1）作射线OD.
（2）以∠α的顶点M为圆心,任意长为半径画弧,分别与∠α的两边交于点P,Q.
（3）以点О为圆心,线段MP长为半径画弧,交射线OD于点A.
（4）以点A为圆心,线段PQ长为半径画弧,与（3）中所画弧交于点E.
（5）以点E为圆心,线段PQ长为半径画弧,交（3）中所画弧于点B（不在OD上）.
（6）作射线OB.∠AOB=2∠α即为所求作的角.
2.参考例4，作给定两角的差.
α
β
【教材P162 练习 第2题】
解：如图所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.
作法:①作∠AOC= ∠α.
②以点О为角的顶点,OC为一边,在∠AOC的内部作∠COB=∠β,则∠AOB= ∠α-∠β即为所求作的角.
1. 如图，利用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点О为圆心、适当长为半径作弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么作图痕迹②的作法是（ ）
A. 以点F为圆心、OE长为半径作弧
B. 以点F为圆心、EF长为半径作弧
C. 以点E为圆心、OE长为半径作弧
D. 以点E为圆心、EF长为半径作弧
随堂练习
D
2. 如图①，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作图在∠CAD内部作∠EBC，使∠EBC=∠A.
解:如图②，以点B为顶点，BC为一边在∠CAD内部作∠EBC=∠A. ∠EBC即为所求作的角.
3. 如图①，已知∠α，∠β，求作一个角使它等于2∠α-∠β（保留作图痕迹，不写作法）.
解: 如图，∠AOC即为所求作的2∠α-∠β.
1星题 基础练
知识点 利用尺规作一个角等于已知角
1.如图，作一个角等于已知角
(尺规作图)的正确顺序是
____________.(填序号)
2.如图，用尺规作图作的第一步是以点 为圆
心，任意长为半径画弧①，分别交，于点， ，那么
第二步的作图痕迹②的作法是( )
D
A.以点为圆心， 长为半径画弧
B.以点为圆心， 长为半径画弧
C.以点为圆心， 长为半径画弧
D.以点为圆心， 长为半径画弧
3.(8分)如图，已知 ， ，作一个角，使它等于 与
的和.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图, 即为所求作.
2星题 中档练
4.如图， ， ，根据图中尺规作
图的痕迹，可知____ .
35
5.(8分)［2025·上海月考］如图，已知 和 ，利用尺规
作，使 .
解：如图， 即为所求作的角.
3星题 提升练
6.(8分)真实情境 小亮的一张地图上有，， 三个城市，
地图上的城市被墨迹污染了(如图)，但知道 ，
，请你用尺规作图的方法帮他在图中确定 城市
的具体位置.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点 即为所求.
课堂小结
步骤 作图
（1）作射线EG
（2）在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q
（3）以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D
（4）以点D为圆心，线段PQ长为半径画弧，与（3）中所画弧交于点F
（5）作射线EF.∠DEF即为所求作的角
用尺规作∠DEF=∠AOB的步骤：
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