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1.1.2 有理数
第1章 有理数
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：1.1.2 有理数的分类标准，能正确对有理数进行分类。
理解有理数的概念，明确有理数的范围，体会分类思想在数学中的应用。
幻灯片 3：复习引入
回顾：上节课学习了正数和负数，知道像 3、1.5、\(\frac{1}{2}\)这样的数是正数，像 - 3、-1.5、-\(\frac{1}{2}\)这样的数是负数，0 既不是正数也不是负数。
提问：我们学过的数有正数、负数和 0，这些数可以统称为哪一类数呢？它们之间又有怎样的包含关系？
引入：今天我们就来学习一个新的概念 —— 有理数，探究这些数的分类情况。
幻灯片 4：有理数的概念
定义：整数和分数统称为有理数。
说明：
整数包括正整数、0、负整数，如 1、2、0、-1、-2 等。
分数包括正分数和负分数，如\(\frac{1}{2}\)、3.5、-\(\frac{3}{4}\)、-0.6 等（有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于分数范畴）。
有理数是对整数和分数的统称，也就是说，有理数要么是整数，要么是分数。
幻灯片 5：有理数的分类（按定义分类）
分类图：
有理数
├── 整数
│ ├── 正整数（如1、2、3…）
│ ├── 0
│ └── 负整数（如-1、-2、-3…）
└── 分数
├── 正分数（如$\frac{1}{2}$、3.2…）
└── 负分数（如-$\frac{3}{4}$、-0.5…）
示例：将下列数按定义分类：5、-3、0、\(\frac{1}{3}\)、-2.5、7、-\(\frac{4}{7}\)
整数：5、-3、0、7
分数：\(\frac{1}{3}\)、-2.5、-\(\frac{4}{7}\)
幻灯片 6：有理数的分类（按性质符号分类）
分类图：
有理数
├── 正有理数
│ ├── 正整数（如1、2、3…）
│ └── 正分数（如$\frac{1}{2}$、3.2…）
├── 0
└── 负有理数
├── 负整数（如-1、-2、-3…）
└── 负分数（如-$\frac{3}{4}$、-0.5…）
示例：将下列数按性质符号分类：5、-3、0、\(\frac{1}{3}\)、-2.5、7、-\(\frac{4}{7}\)
正有理数：5、\(\frac{1}{3}\)、7
0：0
负有理数：-3、-2.5、-\(\frac{4}{7}\)
幻灯片 7：有理数分类的注意事项
分类要按同一标准进行，不能交叉分类，如不能既按定义又按性质符号同时分类。
0 是有理数，但它既不是正数也不是负数，在分类时要单独列出。
整数包括正整数、0、负整数，不要遗漏 0；分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数。
无限不循环小数（如 π）不是有理数，因为它们不能化为分数。
幻灯片 8：例题 1—— 判断是否为有理数
题目：下列各数中，哪些是有理数？
3.14、-5、\(\frac{2}{7}\)、π、0、-0.121221222…（每两个 1 之间多一个 2）、\(\sqrt{2}\)
解答过程：
3.14 是有限小数，可化为分数，是有理数。
-5 是负整数，是有理数。
\(\frac{2}{7}\)是分数，是有理数。
π 是无限不循环小数，不是有理数。
0 是有理数。
-0.121221222… 是无限不循环小数，不是有理数。
\(\sqrt{2}\)是无限不循环小数，不是有理数。
结论：有理数有 3.14、-5、\(\frac{2}{7}\)、0。
幻灯片 9：例题 2—— 按要求分类
题目：把下列各数分别填入相应的集合里：
-3、\(\frac{1}{5}\)、0、-3.14、7、-\(\frac{2}{3}\)、2.8、-1
正整数集合：{…}
负分数集合：{…}
有理数集合：{…}
解答过程：
正整数是大于 0 的整数，所以正整数集合：{7…}
负分数是小于 0 的分数，所以负分数集合：{-3.14、-\(\frac{2}{3}\)…}
有理数包括整数和分数，所以有理数集合：{-3、\(\frac{1}{5}\)、0、-3.14、7、-\(\frac{2}{3}\)、2.8、-1…}
结论：如上所示。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：下列说法正确的是（ ）
A. 有理数就是整数 B. 有理数包括整数和分数
C. 0 不是有理数 D. 无限小数都是有理数
答案：B
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：把下列各数填入相应的括号内：
5、-0.3、0、-7、\(\frac{3}{4}\)、-\(\frac{1}{2}\)、8.6
整数集合：（ ）
正分数集合：（ ）
负有理数集合：（ ）
答案：整数集合：（5、0、-7）；正分数集合：（\(\frac{3}{4}\)、8.6）；负有理数集合：（-0.3、-7、-\(\frac{1}{2}\)）
幻灯片 12：课堂练习 3
题目：判断对错：
（1）所有的整数都是有理数。（ ）
（2）所有的分数都是有理数。（ ）
（3）0 是最小的有理数。（ ）
（4）无限循环小数是有理数。（ ）
答案：（1）√；（2）√；（3）×；（4）√
幻灯片 13：易错点分析
常见错误：
认为 0 不是有理数，忽略 0 是整数，属于有理数范畴。
把无限不循环小数当作有理数，如 π、\(\sqrt{2}\)等，它们不能化为分数，不是有理数。
分类时标准不统一，如将数既归入整数集合又归入正数集合，导致分类混乱。
规避方法：
牢记有理数的定义：整数和分数统称为有理数，0 是整数，因此是有理数。
明确无限不循环小数不是有理数，只有有限小数和无限循环小数才是分数，属于有理数。
分类时严格按照同一标准（要么按定义，要么按性质符号），确保每个数只属于一个类别（除了整体集合）。
幻灯片 14：课堂小结
有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
分类方法：
按定义：分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
按性质符号：分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
注意事项：分类标准要统一，0 是有理数，无限不循环小数不是有理数。
幻灯片 15：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2、3 题（判断有理数、对有理数进行分类）。
提升作业：自己写出 5 个有理数，其中包括正整数、负整数、正分数、负分数和 0，并说明它们各自属于哪一类。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
请同学们将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流．
数的认识 类型
1，2，3，···
正整数
0
零
﹣1，﹣2，﹣3，···
负整数
正分数
负分数
探究新知
整数
分数
有理数
整数和分数统称为有理数．
有理数的定义
“有理数”的英文名 rational number 中的单词 rational 应看成 ratio（比、比率）的形容词形式．因此，rational number 应该理解为“比率数”，即可以表示为两个整数之商（比率）的数．在学习了有理数的除法（1.10节）之后我们可以看到，这样的解释准确地描述了有理数的本质．
为什么叫“有理数”？
有理数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
分数
有理数
正有理数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
负有理数
按定义分
按符号分
整数集
有理数集
负数集
非负整数集
(自然数集)
有理数的分类：
还有其他的分类方法吗？
①分类的标准不同，结果也不同；
②分类的结果应无遗漏、无重复。
注：
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．
所有有理数组成的数集叫做有理数集．
正数集
负数集
整数集
有理数集
例1
把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里：
﹣18， 3.1416，0，2023， ﹣0.142857，95%．
都是
3.1416，
2023，
95%
﹣18，
﹣0.142857
﹣18，
0，
2023
正数 负数 整数 分数 有理数
-8
0.9
0
π
例2
判断表中各数分别是什么数，在相应的空格中打√.
π不是有理数.
（1）0是整数；（ ） （6）所有的整数都是正数；（ ）
（2）自然数一定是整数；（ ） （7）所有的正数都是整数；（ ）
（3）0是正整数；（ ） （8）一个数不是正数就是负数；（ ）
（4）整数一定是自然数；（ ） （9）分数一定是有理数；（ ）
（5）任何小数都是有理数；（ ） （10）0是最小的有理数.（ ）
例3
判断下列说法是否正确.
非负整数
无限不循环小数
0
巩固练习
1．请说出两个正整数、两个负整数、两个正
分数、两个负分数．它们都是有理数吗？
【教材P6 练习 第1题】
解：(答案不唯一)两个正整数：1，2：
两个负整数：-2，-7；
两个正分数:
两个负分数:
它们都是有理数.
2．有理数集中有没有这样的数，它既不是正数，
也不是负数？若有，请说出这样的数．
解：有，它是 0．
【教材P6 练习 第2题】
知识点1 有理数及其相关概念
1.下列各数中，是正整数的是( )
A
A.3 B.2.1 C.0 D.
返回
2.在，0，，， 中，分数有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
3.下列说法中，错误的是( )
B
A. 是负有理数 B.0不是整数
C.是正有理数 D. 是负分数
返回
知识点2 有理数的分类
4.［2025太原期中］下列说法正确的是( )
D
A.整数就是正整数和负整数
B.0和循环小数不是有理数
C.正有理数和负有理数组成全体有理数
D.整数和分数统称为有理数
返回
5.［2025郑州月考］在，，，260，，，0， 中，
正数有___个，负数有___个，正分数有___个，负分数有___个.
4
3
2
2
返回
6.［教材习题 变式］把下列各数填入它所在的数集的大括号里：
，，0，，，，，， .
正整数集：{________…}；
负整数集：{____________…}；
分数集：{_______________________________…}.
，
，，
，，，，，
返回
7.在，，0，，， ，7中，非负数有___个.
4
返回
8.（4分）将各数填入对应数集的圈里：
，，75，，，0，，， .
返回
解：
9.［教材习题 变式］观察下面的数，直接写出后面3个数，及第100、
200个数.
（1）1，,0,1，,0,1，,0，___，____，___， ；第100个数是
___，第200个数是____.
（2），，，，，__，____，__， ；第100个数是____，
第200个数是_ ___.
1
0
1
10.（4分） 写出同时满足下列条件的五个有理数：
①有1个数既不是正数，也不是负数；②其中3个不是负数；③其中至少
有1个是正分数；④其中只有1个是负整数.
解：1，，0，， .（答案不唯一）
11.（4分）已知，， 三个数集，请把这些数填在下图中的相应位置.
,，,6, ；
,,,10, }；
2.1，,8, .
解：如图所示.
返回
有理数按照不同的标准可以分为哪几类？
课堂小结
有理数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
分数
或
有理数
正有理数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
负有理数
按定义分
按符号分
整数与分数统称为有理数．
谢谢观看！

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