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2.4.2.合并同类项
第2章 整式及其加减
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：2.4.2 合并同类项
副标题：—— 整式化简的 “利器”
幻灯片 2：学习目标
理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。
能熟练运用法则合并多项式中的同类项，化简多项式。
体会合并同类项在简化代数式和解决问题中的作用，提高运算能力。
幻灯片 3：情境引入
问题：如图，一个长方形由两个小长方形组成，一个小长方形的长为 a，宽为 b；另一个小长方形的长为 2a，宽为 b。这个大长方形的面积是多少？
分析：大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即 ab + 2ab。因为 ab 和 2ab 是同类项，我们可以将它们合并，得到 (1 + 2) ab = 3ab。
引入：像这样把多项式中的同类项合并成一项的过程，叫做合并同类项，本节课我们就来学习合并同类项的相关知识。
幻灯片 4：合并同类项的定义
定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
示例：
对于多项式 3x + 2x，3x 和 2x 是同类项，合并后为 (3 + 2) x = 5x。
对于多项式 5a - 2a ，5a 和 - 2a 是同类项，合并后为 (5 - 2) a = 3a 。
幻灯片 5：合并同类项的法则
法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
解读：
系数相加：只对同类项的系数进行加法运算，字母和字母的指数不改变。
字母和指数不变：合并后的项，其字母部分与原同类项的字母部分完全相同。
示例：合并同类项 4xy - 3xy。
4xy 和 - 3xy 是同类项，系数分别是 4 和 - 3。
系数相加：4 + (-3) = 1。
合并结果：1×xy = xy。
幻灯片 6：合并同类项的步骤
步骤：
找出同类项：在多项式中，标出所有的同类项，可使用不同的符号（如波浪线、横线等）区分不同的同类项。
移动同类项：利用加法交换律和结合律，把同类项移到一起（移动时要连同项的符号一起移动）。
合并同类项：按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
整理结果：合并后，按一定的顺序（如降幂排列）整理多项式，使结果更简洁。
示例：合并多项式 3x + 2x - 5x - x + 1 中的同类项。
找出同类项：3x 与 - 5x ，2x 与 - x，1（常数项）。
移动同类项：3x - 5x + 2x - x + 1。
合并同类项：(3 - 5) x + (2 - 1) x + 1 = -2x + x + 1。
整理结果：-2x + x + 1（已按 x 的降幂排列）。
幻灯片 7：例题 1—— 合并简单的同类项
题目：合并下列同类项：
（1）3a + 5a
（2）-4x + 2x
（3）\(\frac{1}{2}\)xy - \(\frac{1}{3}\)xy
解答过程：
（1）3a 和 5a 是同类项，系数相加：3 + 5 = 8，合并结果为 8a。
（2）-4x 和 2x 是同类项，系数相加：-4 + 2 = -2，合并结果为 - 2x 。
（3）\(\frac{1}{2}\)xy 和 -\(\frac{1}{3}\)xy 是同类项，系数相加：\(\frac{1}{2}\) + (-\(\frac{1}{3}\)) = \(\frac{3}{6}\) - \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{6}\)，合并结果为\(\frac{1}{6}\)xy。
结论：（1）8a；（2）-2x ；（3）\(\frac{1}{6}\)xy。
幻灯片 8：例题 2—— 合并多项式中的同类项
题目：合并多项式 4x - 2x + 5x - 3x + 2x - 4x + 1 中的同类项。
解答过程：
找出同类项：4x 与 - 3x ，-2x 与 2x ，5x 与 - 4x，1。
移动同类项：4x - 3x - 2x + 2x + 5x - 4x + 1。
合并同类项：(4 - 3) x + (-2 + 2) x + (5 - 4) x + 1 = x + 0x + x + 1 = x + x + 1。
结论：合并后的结果为 x + x + 1。
幻灯片 9：例题 3—— 合并同类项并求值
题目：先合并同类项，再求多项式 3x - 2xy + y - x + 2xy 的值，其中 x = -2，y = 3。
解答过程：
合并同类项：(3x - x ) + (-2xy + 2xy) + y = 2x + 0xy + y = 2x + y 。
代入求值：当 x = -2，y = 3 时，2×(-2) + 3 = 2×4 + 9 = 8 + 9 = 17。
结论：合并后多项式为 2x + y ，值为 17。
幻灯片 10：例题 4—— 含多个字母的合并同类项
题目：合并多项式 2a b - 3ab + 5a b + ab - 4 中的同类项。
解答过程：
找出同类项：2a b 与 5a b，-3ab 与 ab ，-4。
移动同类项：2a b + 5a b - 3ab + ab - 4。
合并同类项：(2 + 5) a b + (-3 + 1) ab - 4 = 7a b - 2ab - 4。
结论：合并后的结果为 7a b - 2ab - 4。
幻灯片 11：课堂练习 1
题目：合并下列同类项：
（1）5m - 3m
（2）-7n + 4n
（3）\(\frac{3}{4}\)p + \(\frac{1}{2}\)p
答案：（1）2m；（2）-3n ；（3）\(\frac{5}{4}\)p。
幻灯片 12：课堂练习 2
题目：合并多项式 5x - 3x + 2 - 4x + 6x - 5 中的同类项。
答案：(5x - 4x ) + (-3x + 6x) + (2 - 5) = x + 3x - 3。
幻灯片 13：课堂练习 3
题目：先合并同类项，再求值：3a - 5a + 2 - 6a + 6a - 3，其中 a = -1。
答案：合并同类项得 (3a - 6a ) + (-5a + 6a) + (2 - 3) = -3a + a - 1。当 a = -1 时，-3×(-1) + (-1) - 1 = -3 - 1 - 1 = -5。
幻灯片 14：课堂练习 4
题目：合并多项式 3x y + 2xy - x y - 4xy + 5 中的同类项。
答案：(3x y - x y) + (2xy - 4xy ) + 5 = 2x y - 2xy + 5。
幻灯片 15：易错点分析
常见错误：
合并同类项时，只合并系数，忘记字母和字母的指数不变。例如，合并 3x + 2x 时，错误地得到 5，正确应为 5x。
不是同类项的项进行合并。例如，将 3x + 2y 合并成 5xy，这是错误的，因为 3x 和 2y 不是同类项，不能合并。
系数相加时出现计算错误，尤其是涉及负数时。例如，合并 - 4a + 3a 时，错误地得到 - 7a，正确应为 (-4 + 3) a = -a。
移动同类项时，忘记连同项的符号一起移动。例如，将多项式 3x - 2y - x + y 中的同类项移动时，错误地写成 3x + x - 2y + y，正确应为 3x - x - 2y + y。
规避方法：
牢记合并同类项的法则，明确合并后字母和字母的指数保持不变。
合并前先准确识别同类项，非同类项坚决不合并。
系数相加时，仔细计算，尤其是负数的加法，可先确定符号，再计算绝对值。
移动项时，把项的符号看作项的一部分，一同移动，确保每一项的符号正确。
幻灯片 16：课堂小结
合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项。
法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
步骤：找出同类项→移动同类项→合并同类项→整理结果。
作用：简化多项式，便于后续的计算和求值，是整式加减运算的基础。
幻灯片 17：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2、3 题（合并同类项，化简多项式）。
提升作业：先合并同类项，再求值：2x - 3xy + y - 2xy - 2x + 5xy - 2y + 1，其中 x = \(\frac{1}{2}\)，y = -1。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.掌握合并同类项的法则，并能准确合并同类项.
2.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
复习回顾
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项.
判断同类项的关键是“一相同”“一相等”“两无关”：
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
注意：所有的常数项都是同类项.
妈妈：2个包子和1根油条.
爸爸：3个包子和2根油条.
小明：1个包子和2根油条.
6个包子
5根油条
生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来。
如果你是小明，你会怎么买？
情景导入
探索新知
1.运用运算律计算：8×2+5×2
=(8+5)×2=26.
2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y.
3x2y+5x2y
=(3+5)x2y
=8x2y
如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化.
对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并：
3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5
加法的交换律
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5)
加法的结合律
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)
乘法的分配律
=8x2y-2xy2+2
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y
相加
不变
合并同类项
系数相加
字母及其指数不变
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
简记为：一相加，两不变
例3
合并下列多项式中的同类项：
（1）2a2b-3a2b+
解：2a2b-3a2b+
三项都是同类项
（2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
解：a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3
=a3+b3
=a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3
合并同类项的步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项的符号；
2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起；
3.根据合并同类项的法则合并同类项；
4.写出合并后的结果.
一找
二移
三合
四写
解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1
例4
求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3.
先合并同类项
=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1
=2x2-1
当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17.
试一试，把x=-3直接代入多项式求值. 比较一下，哪个解法更简便？
先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便.
例5
如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少 如果长方形的长为 a m呢
a
a
a
a
解：我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为 a m，求窗框所需材料的长度.
如果长方形的长为a m，那么它的宽为 a m.由图不难知道，窗框所需材料的长度为
=(9+6+π)a
=(15+π)a（m）.
a
a
要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可.
例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料的长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.4
=18.14×0.4
=7.256
≈7.3(m).
所以，当长方形的长为 0.4m时，窗框所需材料的长度约为7.3m.
a
a
当a=0.5时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.5
=18.14×0.5
=9.07
≈9.1(m).
当a=0.6时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.6
=18.14×0.6
=10.884
≈10.9(m).
所以，当长方形的长为 0.5m时，窗框所需材料的长度约为9.1m；当长方形的长为 0.6m时，窗框所需材料的长度约为10.9m.
随堂练习
1.如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是______.
0
2.下列等式成立的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.a2+2a2=3a4
C.5y3-3y3=2y3 D.3x3-x2=2x
C
【选自教材P105 练习 第1题】
3.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项：
（1）3x-2x2+5+3x2-2x-5
解：3x-2x2+5+3x2-2x-5
=3x-2x-2x2+3x2+5-5
=(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5)
=x+x2
【选自教材P105 练习 第2题】
（2）a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
（3） 6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
解：a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3+a2b-a2b+ab2-ab2-b3
=a3+(a2b-a2b)+(ab2-ab2)-b3
=a3-b3
解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
=6a2-6a2-5b2+5b2+2ab
=(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab
=2ab
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
（1）解： 7x2-3x2-2x-2x2+5+6x
=7x2-3x2-2x2-2x+6x+5
=(7-3-2)x2+(-2+6)x+5
=2x2+4x+5
当x=-2时，原式=2×(-2)2+4×(-2)+5=5.
【选自教材P105 练习 第3题】
（2）解：5a-2b+3b-4a-1
=5a-4a-2b+3b-1
=(5-4)a+(-2+3)b-1
=a+b-1
当a=-1， b=2时，原式=(-1)+2-1=0.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
（3）解：2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1
=2x2-2x2-3xy-2xy+5xy+y2-2y+1
=(2-2)x2+(-3-2+5)xy+y2-2y+1
=y2-2y+1
当x = ，y =-1时，原式=(-1)2-2×(-1)+1=4.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
5.某环保组织有三个工作组，这三个组参加了植树造林活动，其中甲组植树x棵，乙组的植树棵数比甲组的2倍少5，丙组的植树棵数比甲组的一半多10.
（1）这三个组一共植树多少棵
（2）当甲组植树40棵时，这三个组一共植树多少棵
解：（1）根据题意，得乙组植树(2x-5)棵，丙组植树 ( x+10)棵，
所以这三个组一共植树x+2x-5+ x+10=(1+2+ )x+(-5+10)= x+5（棵）.
（2）当x=40时， x+5= ×40+5=145（棵），所以这三个组一共植树145棵.
知识点 合并同类项及其应用
1.合并同类项 时，依据的运算律
是( )
C
A.乘法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.乘法结合律
返回
2.［2024常州中考］计算 的结果是( )
B
A.2 B. C. D.
返回
3.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.在,,, 中，有两个是同类项,它们的和是______.
返回
5.某场电影成人票25元/张，学生票15元/张，均卖出 张，共得票款
______元.
返回
6.（12分）［教材 例3变式］合并同类项：
（1） ;
解：
.
（2） ;
解： .
（3） .
解：
返回
7.（4分）［教材P练习T 变式］求多项式
的值，其中 .
解： .
当时，原式 .
返回
8.若单项式与的和仍为单项式，则 ( )
D
A. B.3 C.4 D.
返回
9.若代数式的值与的取值无关，则 ___.
3
返回
10.已知，为正整数，若多项式 合并同类项
后只有两项，则 的值为______.
6或4
返回
11.把 看成一个整体，式子
可以化简为_____________
________.
返回
12.（8分） 如图是一个长方形游乐场，其宽是 ，长
是 .其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地.已知半
圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽是，游泳区的长是 .
（1）长方形游乐场的面积为______
，休息区的面积为_______ .
（用含有 的式子表示）
.
（2）若长方形游乐场的宽为 ，绿化草地每平方米需要费用20元，
求这个游乐场中绿化草地的费用. 取3
解：根据题意，得，所以 .
绿化草地的面积为 平方米，
当时， ，
所以这个游乐场中绿化草地的费用约为 （元）.
返回
课堂小结
同类项
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
合并同类项
①系数相加
②字母及其指数不变
一找
二移
三合
四写
步骤
法则
谢谢观看！

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