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2.4.4.整式的加减
第2章 整式及其加减
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：2.4.4 整式的加减
副标题：—— 整式运算的综合应用
幻灯片 2：学习目标
掌握整式加减的运算法则，能熟练进行整式的加减运算。
理解整式加减的实质是合并同类项，明确运算的一般步骤。
能运用整式的加减解决简单的实际问题，提高运算能力和应用意识。
幻灯片 3：情境引入
问题：一个长方形的长为 (3x + 2y)，宽为 (2x - y)，这个长方形的周长是多少？
分析：长方形的周长 = 2×（长 + 宽），即 2 [(3x + 2y) + (2x - y)]。要计算这个式子，需要先去括号，再合并同类项，这就是整式的加减运算。
引入：整式的加减是整式运算的重要内容，它以去括号和合并同类项为基础，本节课我们就来学习整式的加减。
幻灯片 4：整式加减的运算法则
法则：整式的加减实质上就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。
解读：
整式加减的核心是合并同类项，所有运算最终都要转化为同类项的合并。
有括号时，必须先按照去括号法则去掉括号，再进行同类项的合并，不能直接合并。
示例：计算 (2x + 3x) + (x - 2x)。
先去括号（括号外是正号，去括号后符号不变）：2x + 3x + x - 2x。
再合并同类项：(2x + x ) + (3x - 2x) = 3x + x。
幻灯片 5：整式加减的一般步骤
步骤：
去括号：如果整式中有括号，根据去括号法则先去掉括号。
找同类项：在去括号后的式子中，找出所有的同类项。
合并同类项：按照合并同类项的法则，将同类项合并成一项。
整理结果：合并同类项后，按一定的顺序（如降幂排列）整理结果，使式子简洁。
示例：计算 (5a - 3ab) - (2a + ab - b )。
去括号：5a - 3ab - 2a - ab + b 。
找同类项：5a 与 - 2a ，-3ab 与 - ab，b 。
合并同类项：(5a - 2a ) + (-3ab - ab) + b = 3a - 4ab + b 。
整理结果：3a - 4ab + b （已按 a 的降幂排列）。
幻灯片 6：例题 1—— 整式的加法运算
题目：计算 (3x - 2x + 1) + (2x + 3x - 4)。
解答过程：
去括号：3x - 2x + 1 + 2x + 3x - 4。
找同类项：3x 与 2x ，-2x 与 3x，1 与 - 4。
合并同类项：(3x + 2x ) + (-2x + 3x) + (1 - 4) = 5x + x - 3。
结论：结果为 5x + x - 3。
幻灯片 7：例题 2—— 整式的减法运算
题目：计算 (4m - 2n ) - (3m + 4n - m)。
解答过程：
去括号：4m - 2n - 3m - 4n + m。
找同类项：4m 与 - 3m ，-2n 与 - 4n ，m。
合并同类项：(4m - 3m ) + (-2n - 4n ) + m = m - 6n + m。
整理结果（按 m 的降幂排列）：m + m - 6n 。
结论：结果为 m + m - 6n 。
幻灯片 8：例题 3—— 整式的混合加减运算
题目：计算 3 (a - 2ab) - 2 (ab - b ) + 4a 。
解答过程：
去括号：3a - 6ab - 2ab + 2b + 4a 。
找同类项：3a 与 4a ，-6ab 与 - 2ab，2b 。
合并同类项：(3a + 4a ) + (-6ab - 2ab) + 2b = 7a - 8ab + 2b 。
结论：结果为 7a - 8ab + 2b 。
幻灯片 9：例题 4—— 整式加减的实际应用
题目：一个三角形的第一条边长为 (2x + y)，第二条边长比第一条边长小 (x - y)，第三条边长是第一条边长与第二条边长的和的一半，求这个三角形的周长。
解答过程：
第二条边长：(2x + y) - (x - y) = 2x + y - x + y = x + 2y。
第三条边长：\(\frac{1}{2}\)[(2x + y) + (x + 2y)] = \(\frac{1}{2}\)(3x + 3y) = \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y。
周长 = 第一条边长 + 第二条边长 + 第三条边长：
(2x + y) + (x + 2y) + (\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y)
= 2x + y + x + 2y + \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y
= (2x + x + \(\frac{3}{2}\)x) + (y + 2y + \(\frac{3}{2}\)y)
= \(\frac{9}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)y。
结论：这个三角形的周长是\(\frac{9}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)y。
幻灯片 10：例题 5—— 先化简再求值
题目：先化简，再求值：2 (x y + xy ) - 2 (x y - 1) - 2xy - 2，其中 x = -2，y = 2。
解答过程：
化简：
2x y + 2xy - 2x y + 2 - 2xy - 2
= (2x y - 2x y) + (2xy - 2xy ) + (2 - 2)
= 0 + 0 + 0 = 0。
求值：当 x = -2，y = 2 时，原式 = 0。
结论：化简结果为 0，值为 0。
幻灯片 11：课堂练习 1—— 整式的加减运算
题目：计算：
（1）(5a + 2a - 1) + (3a - a + 4)
（2）(2x - 3x + x) - (x - 2x + 3x)
答案：（1）5a + 2a - 1 + 3a - a + 4 = 8a + a + 3；（2）2x - 3x + x - x + 2x - 3x = x - x - 2x。
幻灯片 12：课堂练习 2—— 整式的混合加减
题目：计算：2 (3x - y) - 3 (x + 2y) + 5y。
答案：6x - 2y - 3x - 6y + 5y = 3x - 3y。
幻灯片 13：课堂练习 3—— 先化简再求值
题目：先化简，再求值：3a b - [2ab - 2 (ab - \(\frac{3}{2}\)a b)] + 2ab，其中 a = 3，b = -\(\frac{1}{3}\)。
答案：化简得 3a b - (2ab - 2ab + 3a b) + 2ab = 3a b - 2ab + 2ab - 3a b + 2ab = -2ab + 4ab。当 a = 3，b = -\(\frac{1}{3}\)时，-2×3×(-\(\frac{1}{3}\)) + 4×3×(-\(\frac{1}{3}\)) = -2×3×\(\frac{1}{9}\) - 4 = -\(\frac{2}{3}\) - 4 = -\(\frac{14}{3}\)。
幻灯片 14：课堂练习 4—— 实际应用
题目：一个长方形的长为 (5x + 3)，宽比长小 (2x - 1)，求这个长方形的面积。
答案：宽为 (5x + 3) - (2x - 1) = 5x + 3 - 2x + 1 = 3x + 4。面积 = (5x + 3)(3x + 4) = 15x + 20x + 9x + 12 = 15x + 29x + 12（注：此处涉及多项式乘法，若未学可保留乘积形式，但按整式加减要求，先求宽再表示面积）。
幻灯片 15：易错点分析
常见错误：
去括号时符号处理错误，尤其是括号外是负数的情况，导致后续合并同类项出错。例如，计算 (3x - 2) - (x - 1) 时，错误地去括号为 3x - 2 - x - 1，正确应为 3x - 2 - x + 1。
合并同类项时漏项或系数计算错误，特别是系数为负数或分数时。例如，合并 3x - 5x 时，错误地得到 2x ，正确应为 - 2x 。
整式加减运算顺序错误，未先去括号就进行合并同类项。例如，计算 3 + (2x - 1) 时，错误地合并为 5x - 1，正确应先去括号为 3 + 2x - 1 = 2x + 2。
化简求值时，未先化简直接代入，导致计算繁琐且容易出错。
规避方法：
去括号时严格遵循法则，括号外是负数，括号内各项符号都要改变，可分步进行，先确定符号再去括号。
合并同类项时，逐一找出同类项，标记清楚，系数相加时仔细计算，可先确定符号再算绝对值。
牢记整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项，不可颠倒顺序。
化简求值时，坚持 “先化简，再代入” 的原则，简化计算过程，提高准确性。
幻灯片 16：课堂小结
整式加减的实质：合并同类项，有括号先去括号。
运算步骤：去括号→找同类项→合并同类项→整理结果。
应用：可解决实际问题，进行化简求值等。
关键：正确去括号和准确合并同类项，这是整式加减运算的基础。
幻灯片 17：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2、3 题（整式的加减运算，化简求值）。
提升作业：已知 A = x - 2x + 1，B = 2x - 3x - 1，求 A - 2B，并求当 x = -1 时 A - 2B 的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算；
2.能用整式加减运算解决实际问题.
复习回顾
1.合并同类项的法则是什么
把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
一相加，两不变.
2.去括号的法则是什么
括号前面是“+”号，括号里各项都不改变正负号；
括号前面是“﹣”号，括号里各项都改变正负号.
探索新知
做一做：某中学合唱团出场时第1排站了n位同学，从第2排起每排都比前一排多1位同学，一共站了4排，则该合唱团一共有_____位同学参加演唱.
要解决以上问题，我们可以先解决以下问题：
（1）第二排，第三排，第四排各站了多少名学生
n+1，n+2，n+3.
（2）一排到四排总共站了多少名学生
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
这个整式怎么化简？
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
解：n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
=n+n+1+n+2+n+3
去括号
=(n+n+n+n)+(1+2+3)
交换、结合
=4n+6
合并同类项
思考：从这个整式的化简过程中，你发现了什么？
结合已有的知识和经验，你能总结出整式加减运算的一般步骤吗？
整式加减的一般步骤：
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）观察有无同类项；
（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
（4）合并同类项.
概括：先去括号，再合并同类项.
注意：整式加减运算的结果仍然是整式.
求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差.
解：(x2-7x-2)-(-2x2+4x-1)
例9
=x2-7x-2+2x2-4x+1
=3x2-11x-1
先去括号
再合并同类项
为什么先用括号括起来？
注意：整式加减的结果应是最简形式.
既不含同类项，也不含括号.
计算：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3)
例10
解：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3)
=-2y3+3xy2-x2y-2xy2+2y3
=xy2-x2y
例11
先化简，再求值：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2，
其中x=1，y=-1.
解：2x2y-3xy2+4x2y-5xy2
=(2x2y+4x2y)-(3xy2+5xy2)
=6x2y-8xy2
当x=1，y=-1时，
原式=6×12×(-1)-8×1×(-1)2=-14.
（1）化：利用整式加减的运算步骤将整式化简；
（2）代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子；
（3）算：根据有理数的运算法则进行计算.
整式化简求值的步骤：
例12
设abcd是一个四位数，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个数可以被3整除.为什么？
解：abcd=1000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d )
显然 999a+99b+9c能被3整除.
因此，如果a+b+c+d能被3整除，那么abcd就能被3整除.
用字母表示数，通过数与式的运算，还可以进行简单的代数推理，说明一些数学结论的道理.
1.填空：
课堂练习
（1）3x-(-2x)=_____________；
（2）-2x2-3x2=_____________；
（3）-4xy-(-2xy)=_____________；
5x
-5x2
-2xy
【选自教材P111 练习 第1题】
2.计算：
（1）2x2y3+(-4x2y3)-(-3x2y3)；
（2）(3x2+x-5)-(4-x+7x2)；
解：原式=2x2y3-4x2y3+3x2y3
=(2-4+3)x2y3
=x2y3
解：原式=3x2+x-5-4+x-7x2
=3x2-7x2+x+x-5-4
=-4x2+2x-9
【选自教材P111 练习 第2题】
（3）(8xy-3y2)-5xy-2(3xy-2x2).
解：原式=8xy-3y2-5xy-6xy+4x2
=4x2+8xy-5xy-6xy-3y2
=4x2-3xy-3y2
3.先化简，再求值：
（1）2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2)，其中a= ，b=3；
解：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2)
=2a2-b2+2b2-a2-a2-2b2
=2a2-a2-a2+2b2-b2-2b2
=-b2
当a= ，b=3时，原式=-32=-9.
【选自教材P112 练习 第3题】
（2）5(3x2y-xy2)-(xy2+3x2y)，其中x= ，y=-1.
解：5(3x2y-xy2)-(xy2+3x2y)
=15x2y-5xy2-xy2-3x2y
=15x2y-3x2y-(5xy2+xy2)
=12x2y-6xy2
当x= ，y=-1时，原式=12× ×(-1)-6× ×(-1)2=-6.
【选自教材P112 练习 第3题】
4.为建设美丽乡村，某村规划修建一个“凹形”小广场（平面图形如图所示）.
（1）求小广场的周长（用含m、n的代数式表示）；
（2）当m=8m，n=5m时，求小广场的面积.
解:（1）2(2m+2n)+2n=4m+6n，所以小广场的周长为4m+6n.
4.为建设美丽乡村，某村规划修建一个“凹形”小广场（平面图形如图所示）.
（1）求小广场的周长（用含m、n的代数式表示）；
（2）当m=8m，n=5m时，求小广场的面积.
解:（2）2m·2n-n(2m-m-0.5m)=3.5mn，所以小广场的面积为3.5mn.
当m=8m，n=5m时，3.5mn=3.5×8×5=140（m2）.
因此，小广场的面积为140m2.
阅读材料
用分离系数法进行整式的加减运算
合并同类项
整式的加减
“合并”各同类项的系数
把各同类项的系数进行加减
关键
+）
计算 (x3-2x2-5) +(x-2x2-1)及(x3-2x2-5) - (x-2x2-1).
x3 -2x2 -5
-2x2 +x -1
+）
x3 -4x2 +x -6
x3 -2x2 -5
-2x2 +x -1
-）
x3 -x -4
简化
1 -2 +0 -5
-2 +1 -1
1 -4 +1 -6
1 -2 +0 -5
-2 +1 -1
-）
1 +0 -1 -4
所以，(x3-2x2-5)+(x-2x2-1)=x3-4x2+x-6；
(x3-2x2-5) - (x-2x2-1)=x3-x-4.
分离系数法
将参与运算的整式按同
一个字母进行降幂排列
使两个整式的
各同类项对齐
现在让我们一起尝试用上面的方法解决下列计算问题：
(1) (2x2-x-3) +(5-4x+x2)；
(2) (3y3-5y2-6) - (y-2+3y2).
3x2 -5x +2
+）
2 -1 -3
1 -4 +5
3 -5 +2
(1) 解
3y3 -8y2-y -4
-）
3 -5 +0 -6
3 +1 -2
3 -8 -1 -4
(2) 解
所以，(2x2-x-3) +(5-4x+x2)=3x2-5x+2；
(3y3-5y2-6)-(y-2+3y2)=3y3-8y2-y-4.
知识点1 整式的加减
1.若，，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
2.化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
返回
3.若一个多项式加上，结果是 ，则这个多项
式为_______.
返回
4.三个连续奇数，如果中间的数是为正整数 ，那么这三个数
的和是________.
返回
5.［2025吉林期末］
是小芳
做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面
（阴影部分），那么被墨水遮住的一项应是_____.
返回
6.（8分）［教材习题 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
7.（4分）［教材P练习T 变式］化简求值：
.其中， .
解：原式 ，
当， 时.
原式 .
返回
知识点2 整式的加减的实际应用
8.［2025晋城月考］某校图书馆周三下午有 位同学，七年
级组织位同学来图书馆阅读，后来有 位同学因上课
要离开，那么图书馆内还剩下的同学数为______.
返回
9.某校七年级三个班的学生在植树节这天共义务植树 棵，七
（1）班植树棵，七（2）班植树的棵数比七（1）班的两倍少 棵，则
七（3）班植树的棵数为_________棵.（用含， 的最简式子表示）
返回
10.（12分）某中学要建一长方形停车场，其中一面靠墙，其他三面用
护栏围起来，已知长方形停车场的长（靠墙一边的长）为 米，
宽比长少 米.
（1）求护栏的总长度；
解：宽为 米，
护栏的总长度为 米.
（2）若， ，每米护栏造价70元，求建此停车场所需护栏
的总价.
解：当，时， ，
则建此停车场所需护栏的总价为 （元）.
返回
11.已知是五次多项式，是四次多项式，则 的次数是( )
B
A.1 B.5 C.4 D.无法确定
返回
12.设，，那么与 的大小关系是
( )
C
A. B. C. D.无法确定
返回
13. 一个两位数的十位数字为，个位数字为 ，若把它
的个位数字与十位数字对调，将得到一个新的两位数，则一定能整除新
数与原数的和的数为( )
C
A.7 B.9 C.11 D.13
返回
14.某商店在甲批发市场以每包 元的价格进了60包茶叶，又在乙批发市
场以每包元的价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包
元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店的盈亏情况为( )
A
A.盈利元 B.亏损 元
C.盈利 元 D.没盈利也没亏损
返回
15.［2025重庆期末］若多项式
化简后不含项，则 的值是__.
返回
16.（4分）已知， ，求代数式
的值
解：原式，当 ，
时，原式 .
返回
17.（4分）一位同学做一道题:已知两个多项式，,计算 .他误将
“”写成“”，求得的结果是 .已知
，求正确答案.
解：由题意知
，
则 .
返回
18.（12分） 如果，那么我们称与 是关于
10的“圆满数”.
（1）7与___是关于10的“圆满数”， 与______是关于10的“圆满数”
（用含 的代数式表示）；
3
（2）若，，判断与 是否是
关于10的“圆满数”，并说明理由；
解：与是关于10的“圆满数”.理由：因为 ，
，所以
，
所以与 是关于10的“圆满数”.
（3）若，，且与是关于10的“圆满数”，与
都是正整数，求 的值.
解：因为，，且与 是关于10的“圆满数”，
所以，所以，即 ，因为
，都为正整数，所以，或，或， 或
， .
综上， 的值为3或4或5或8.
返回
课堂小结
1.整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项.
2.整式加减的最后结果中：
（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
（3）不能出现带分数，带分数要化成假分数.
3.整式求值的一般步骤：
（1）整式化简；
（2）代入数值计算；
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.
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