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3.3 立体图形的表面展开图
第3章 图形的初步认识
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：3.3 立体图形的**：从立体到平面的 “展开” 之旅
幻灯片 2：学习目标
理解立体图形表面展开图的概念，知道将立体图形展开成平面图形的过程。
掌握正方体、圆柱、圆锥等常见立体图形表面展开图的特征。
能识别给定的平面图形是否是某个立体图形的表面展开图，能画出简单立体图形的表面展开图，培养空间想象能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 包装中的数学
展示图片：未展开的牙膏盒（长方体）、展开后的牙膏盒包装纸、未展开的罐头盒（圆柱）、展开后的罐头盒包装纸。
问题：在包装这些物品时，包装纸的形状与物品的表面有什么关系？如何将立体的包装盒转化为平面的包装纸？
引入：像这样将立体图形的表面沿着棱剪开，展开成一个平面图形，这个平面图形就是该立体图形的表面展开图。本节课我们就来探索立体图形的表面展开图。
幻灯片 4：表面展开图的概念
定义：将立体图形沿着它的一些棱剪开后，所得到的平面图形叫做这个立体图形的表面展开图。
说明：
展开图是平面图形，由立体图形的各个面组成。
同一个立体图形，剪开的棱不同，得到的表面展开图可能不同（但形状特征一致）。
展开图经过折叠后，能还原成原来的立体图形。
示例：一个正方体沿着不同的棱剪开，可得到不同形状的表面展开图，但都由 6 个正方形组成。
幻灯片 5：正方体的表面展开图
特征：由 6 个大小完全相同的正方形组成，这 6 个正方形通过边相连。
常见类型：
“一四一” 型：中间一行 4 个正方形，上下各 1 个正方形（共 6 种）。
“一三二” 型：中间一行 3 个正方形，上行 1 个，下行 2 个（共 3 种）。
“二二二” 型：每行 2 个正方形，共 3 行，呈阶梯状（1 种）。
“三三” 型：每行 3 个正方形，共 2 行（1 种）。
注意：不是所有由 6 个正方形组成的平面图形都是正方体的表面展开图，如 “田” 字形、“凹” 字形的图形不能折叠成正方体。
示意图：展示上述 4 种类型的展开图，并标注类型名称。
动手操作：用 6 个相同的正方形纸片拼接成不同的平面图形，尝试折叠成正方体，验证是否为正方体的表面展开图。
幻灯片 6：圆柱的表面展开图
特征：由两个大小相同的圆和一个长方形组成。
各部分对应关系：
两个圆分别是圆柱的上底面和下底面。
长方形的一边长等于圆柱的高，另一边长等于底面圆的周长（即长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高）。
展开与折叠：
展开：沿着圆柱的一条高剪开侧面，得到一个长方形和两个圆。
折叠：将长方形的一边与一个圆的圆周重合，围成圆柱的侧面，另一个圆作为底面，还原成圆柱。
示意图：左侧两个等大的○，右侧一个 （ 的长 =○的周长），标注各部分名称。
幻灯片 7：圆锥的表面展开图
特征：由一个圆和一个扇形组成。
各部分对应关系：
圆是圆锥的底面。
扇形的半径等于圆锥的母线长（从圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段），扇形的弧长等于底面圆的周长。
展开与折叠：
展开：沿着圆锥的一条母线剪开侧面，得到一个扇形和一个圆。
折叠：将扇形的弧与圆的圆周重合，围成圆锥的侧面，还原成圆锥。
示意图：一个○和一个扇形（扇形的弧长 =○的周长），标注各部分名称。
幻灯片 8：棱柱的表面展开图（以三棱柱为例）
特征：由两个全等的三角形和三个长方形组成。
各部分对应关系：
两个三角形是三棱柱的上底面和下底面。
三个长方形是三棱柱的侧面，长方形的长等于三棱柱的高，宽分别等于三角形的三条边长。
展开与折叠：
展开：沿着三棱柱的侧棱剪开，得到两个三角形和三个长方形。
折叠：将三个长方形分别与三角形的三条边重合，围成三棱柱的侧面，还原成三棱柱。
示意图：两个全等的△和三个 （ 的长 = 三棱柱的高，宽 =△的边长），标注各部分名称。
幻灯片 9：棱锥的表面展开图（以四棱锥为例）
特征：由一个四边形和四个三角形组成。
各部分对应关系：
四边形是四棱锥的底面。
四个三角形是四棱锥的侧面，每个三角形的一条边与四边形的一条边重合，四个三角形有一个公共顶点（四棱锥的顶点）。
展开与折叠：
展开：沿着四棱锥的侧棱剪开，得到一个四边形和四个三角形。
折叠：将四个三角形的底边分别与四边形的四条边重合，使四个三角形的公共顶点重合，还原成四棱锥。
示意图：一个□和四个△（△的底边 =□的边长，△有公共顶点），标注各部分名称。
幻灯片 10：判断平面图形是否为立体图形的表面展开图
方法：
观察平面图形的组成部分，是否与立体图形的面的数量和形状一致（如正方体的展开图必须有 6 个正方形，圆柱的必须有 2 个圆和 1 个长方形）。
想象将平面图形折叠，看是否能还原成相应的立体图形。
示例 1：判断下列平面图形是否是正方体的表面展开图：
图 1：由 6 个正方形组成，呈 “一四一” 型→是。
图 2：由 5 个正方形组成→不是（正方体有 6 个面）。
图 3：由 6 个正方形组成，但呈 “田” 字形→不是（无法折叠成正方体）。
示例 2：判断下列平面图形是否是圆柱的表面展开图：
图 1：有 2 个圆和 1 个长方形，长方形的长等于圆的周长→是。
图 2：有 1 个圆和 1 个长方形→不是（圆柱有 2 个底面圆）。
幻灯片 11：例题 1—— 识别正方体的表面展开图
题目：下列平面图形中，是正方体表面展开图的是（ ）
A. （“凹” 字形，6 个正方形） B. （“一四一” 型，6 个正方形） C. （5 个正方形）
解答过程：
A 选项是 “凹” 字形，无法折叠成正方体，不是。
B 选项是 “一四一” 型，由 6 个正方形组成，能折叠成正方体，是。
C 选项只有 5 个正方形，正方体有 6 个面，不是。
结论：选 B。
幻灯片 12：例题 2—— 根据展开图判断立体图形
题目：一个平面图形由一个圆和一个扇形组成，这个平面图形可能是哪个立体图形的表面展开图？
解答过程：
圆锥的表面展开图由一个圆（底面）和一个扇形（侧面）组成，符合该平面图形的特征。
结论：这个平面图形可能是圆锥的表面展开图。
幻灯片 13：例题 3—— 画出圆柱的表面展开图
题目：已知一个圆柱的底面半径是 2cm，高是 5cm，画出它的表面展开图，并标注相关尺寸。
解答过程：
圆柱的表面展开图由 2 个圆（底面）和 1 个长方形（侧面）组成。
圆的半径是 2cm，直径是 4cm。
长方形的宽等于圆柱的高 5cm，长等于底面圆的周长（2πr = 2×π×2 = 4π cm）。
示意图：两个半径 2cm 的○，一个长 4π cm、宽 5cm 的 ，标注尺寸。
幻灯片 14：课堂练习 1—— 识别表面展开图
题目：
（1）下列平面图形中，是圆锥表面展开图的是（ ）（选项：A. 1 个圆和 1 个三角形 B. 1 个圆和 1 个扇形 C. 2 个圆和 1 个长方形）
（2）下列平面图形中，不能折成正方体的是（ ）（选项：A. “三三” 型 B. “田” 字形 C. “一四一” 型）
答案：（1）B；（2）B。
幻灯片 15：课堂练习 2—— 根据展开图求尺寸
题目：一个正方体的表面展开图是由 6 个边长为 3cm 的正方形组成，这个正方体的棱长是多少？表面积是多少？
答案：正方体的棱长等于正方形的边长，即 3cm；表面积是 6 个正方形的面积之和，6×3×3 = 54cm 。
幻灯片 16：课堂练习 3—— 动手操作
题目：用硬纸板制作一个正方体的表面展开图（“一四一” 型），并将其折叠成正方体。
要求：测量正方形的边长，计算正方体的棱长和表面积。
幻灯片 17：易错点分析
常见错误：
认为所有由 6 个正方形组成的平面图形都是正方体的表面展开图，忽略 “田” 字形、“凹” 字形等特殊情况（这些图形无法折叠成正方体）。
绘制圆柱的表面展开图时，长方形的长与底面圆的周长不匹配，导致展开图无法还原成圆柱。
识别棱锥的展开图时，忽略侧面三角形必须有公共顶点这一特征，将多个三角形和一个多边形随意组合视为棱锥的展开图。
规避方法：
记忆正方体表面展开图的常见类型和不能构成展开图的图形（如 “田”“凹” 字形），通过实际折叠操作加深印象，验证哪些图形能折成正方体。
绘制圆柱展开图时，明确长方形的长等于底面圆的周长（C = 2πr 或 C = πd），确保尺寸对应，可先计算周长再标注长度。
识别棱锥展开图时，重点关注侧面三角形是否有公共顶点，这是棱锥展开图的重要特征，没有公共顶点的多个三角形和多边形组合不是棱锥的展开图。
幻灯片 18：课堂小结
表面展开图的概念：立体图形沿着棱剪开后得到的平面图形，能还原成原立体图形。
常见立体图形的表面展开图：
正方体：6 个全等的正方形，有 “一四一”“一三二”“二二二”“三三” 等类型。
圆柱：2 个全等的圆和 1 个长方形（长方形的长 = 底面圆周长）。
圆锥：1 个圆和 1 个扇形（扇形的弧长 = 底面圆周长）。
三棱柱：2 个全等的三角形和 3 个长方形。
四棱锥：1 个四边形和 4 个有公共顶点的三角形。
核心能力：通过观察和想象，判断平面图形与立体图形的对应关系，理解立体与平面之间的转化，提升空间观念。
幻灯片 19：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2、3 题（识别表面展开图，判断立体图形，画出简单展开图）。
写出正方体、圆柱、圆锥表面展开图的组成部分。
提升作业：
一个圆锥的底面直径是 6cm，母线长是 5cm，画出它的表面展开图，并计算扇形的半径和弧长。
用硬纸板制作一个圆柱的表面展开图（底面半径 1cm，高 3cm），并折叠成圆柱，测量其高和底面直径是否与设计一致。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
情境导入
要包装一个长方体形状的物体，需要根据它的表面展开图来裁剪纸张.
情境导入
你知道长方体的表面展开图是怎样的吗？
试一试
下图是一些多面体的表面展开图，你能说出这些多面体的名称吗
探索新知
正方体
长方体
三棱柱
将一个长方体的表面沿某些棱剪开，能展成一个平面图形吗？你能得到哪些平面图形？与同伴进行交流.
案例 1：
案例 2：
案例 3：
将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成一个平面图形吗？你能得到哪些平面图形？与同伴进行交流.
中间四个一连串，两边各一随便放.
二三紧连错一个，三一相连一随便.
两两相连各错一，
三个两排一对齐.
要找两个面对面，切记相隔一个面.
下图中都是正方体的表面展开图吗？
随堂练习
1. 下列图形是某些多面体的表面展开图，请说出这些多面体的名称.
（1）
（2）
【教材P137 练习 第1题】
长方体
三棱柱
2. 下列图形都是正方体的表面展开图吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
【教材P137 练习 第2题】
3. 一个多面体的每个面上都标注了字母，如图是该多面体的表面展开图，请根据要求回答问题：
（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？
面F
【教材P137 练习 第3题】
（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？
面C
3. 一个多面体的每个面上都标注了字母，如图是该多面体的表面展开图，请根据要求回答问题：
【教材P137 练习 第3题】
（3）如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？
面A
3. 一个多面体的每个面上都标注了字母，如图是该多面体的表面展开图，请根据要求回答问题：
【教材P137 练习 第3题】
知识点1 简单几何体的表面展开图
1.［2024常州中考］下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，沿线段 将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆
锥的侧面展开图是( )
C
A.三角形 B.正方形 C.扇形 D.圆
返回
3.［2025长春期中］下列图形中，是长方体表面展开图的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2025西安模拟］如图是某立体图形的展开图，该立体图形是( )
D
（第4题）
A.三棱柱 B.四棱柱 C.圆锥 D.圆柱
返回
5.某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是( )
A
（第5题）
A. B. C. D.
返回
6.［教材习题 变式］如图是几个立体图形的表面展开图，请写出
它们的名字.
三棱柱
五棱锥
五棱柱
圆锥
返回
知识点2 正方体的表面展开图
7.［教材P练习T 变式］将一个正方体的表面沿某些棱剪开，表面展
开图不可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
8.［2024江西中考］如图是 的正方形网格，选择一空白小正方形，
能与阴影部分组成正方体展开图的方法有( )
B
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
返回
知识点3 根据展开图找正方体的相对面
（第9题）
9.［2024广安中考］将“共建平安校园”六个汉字分别写
在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在
原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是
( )
A
A.校 B.安 C.平 D.园
返回
（第10题）
10.［2025新乡期末］一个正方体的相对面上所标的数
互为相反数，如图是正方体的表面展开图，那么
的值是( )
C
A. B. C.5 D.4
返回
11.如图，正方体的展开图中相对面上的数字之和相等，则 ___.
9
（第11题）
返回
12.如图，一个几何体的上半部分为正四棱锥，下半部分为正方体，且
有一个面涂有颜色（阴影部分）.下列图形中，是该几何体的表面展开
图的是( )
C
（第12题）
A. B. C. D.
返回
（第13题）
13.［2025信阳期末］如图是一个正方体的表面展开
图，则该正方体可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
14.［2025太原期中］如图，用高为、底面直径为的圆柱 的
侧面展开图，围成不同于圆柱的另一个圆柱，则圆柱 的体积为____
.
36
返回
15.［2025西安期末］如图是正方体的平面展开图，若 ，则在该
正方体上， 两点间的距离为___.
4
（第15题）
返回
16.如图①是一个正方体的表面展开图，该正方体从图②的位置依次翻
到第1格、第2格、第3格，这时正方体朝上的一面上的汉字是____.
（不考虑汉字的方向）
真
（第16题）
返回
17.（8分）废品回收能够节能环保，某食品包装盒回
收时需将其展开再处理，如图是一个食品包装盒的
表面展开图.
（1）包装盒的几何体名称是________；
长方体
（2）用，表示这个几何体的表面积 （侧面积与上、下底面面积之
和），并计算当，时， 的值.
解：.当， 时，
.
返回
18.（4分） 把正方体的六个面分别涂上不同的颜色，
并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况如下表：
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花的朵数 1 2 3 4 5 6
现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全
一样的四个正方体拼成一个水平放置的长
方体（如图），问：长方体的下底面共有
多少朵花？
解：由题意可得，从右数第一个正方体的下底面为白色，第二个正方体
的下底面为绿色，第三个正方体的下底面为黄色，第四个正方体的下底
面为紫色，所以长方体的下底面共有 （朵）花.
返回
课堂小结
谢谢观看！

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