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3.6.2 角的比较和运算
第3章 图形的初步认识
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：3.6.2 角的比较和运算
副标题：掌握角的大小比较，学会角的和差计算
幻灯片 2：学习目标
熟练掌握角的两种比较方法（叠合法和度量法），能准确判断两个角的大小关系。
理解角的和、差概念，能进行简单的角的和差运算。
知道角的平分线的定义，能运用角的平分线的性质解决问题，培养几何推理能力。
幻灯片 3：复习回顾
角的概念：由两条有公共端点的射线组成的图形，或一条射线绕端点旋转形成的图形。
角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
引入：上节课我们学习了角的基本概念和度量，本节课我们将学习如何比较角的大小以及进行角的运算。
幻灯片 4：角的比较方法 —— 叠合法
操作步骤：
将两个角的顶点重合。
使两个角的一条边重合。
观察另一条边的位置关系。
结果判断：
若另一条边也重合，则这两个角相等，记作∠A = ∠B。
若∠A 的另一条边在∠B 的内部，则∠A < ∠B。
若∠A 的另一条边在∠B 的外部，则∠A > ∠B。
示例：用两个不同大小的角（如 30° 和 60°）演示叠合过程，直观展示比较结果。
幻灯片 5：角的比较方法 —— 度量法
操作步骤：
用量角器分别测量出两个角的度数。
比较两个角的度数大小。
结果判断：度数大的角大，度数小的角小。
示例：测量∠1=50°，∠2=70°，则∠1 < ∠2。
注意：测量时要正确使用量角器，确保度数准确。
幻灯片 6：角的和与差
角的和：两个角的和是指把两个角叠合在一起，组成的一个新角，这个新角的度数等于两个角的度数之和。
示例：∠A=30°，∠B=40°，则∠A + ∠B=70°，可以用图形表示为一个 70° 的角是由 30° 和 40° 的角组成的。
角的差：两个角的差是指从一个较大的角中减去一个较小的角，得到的一个新角，这个新角的度数等于两个角的度数之差。
示例：∠C=80°，∠D=30°，则∠C - ∠D=50°，图形表示为从 80° 的角中去掉 30° 的角，剩下的部分是 50° 的角。
表示方法：∠A + ∠B = ∠C，∠C - ∠A = ∠B 等。
幻灯片 7：角的平分线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
几何表示：若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。
图形表示：在∠AOB 中，画出射线 OC，使∠AOC = ∠BOC，标注 OC 为角平分线。
说明：角的平分线是一条射线，它在角的内部。
幻灯片 8：角的平分线的画法
方法 1：用量角器：
量出已知角的度数。
计算出它的一半的度数。
从角的顶点出发，画出一条射线，使它与角的一边形成的角等于计算出的度数。
方法 2：用圆规和直尺（尺规作图）：
以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点。
分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角的内部交于一点。
从角的顶点出发，过这个交点画射线，这条射线就是角的平分线。
幻灯片 9：例题 1—— 角的比较
题目：已知∠α=55°，∠β=55°30′，比较∠α 和∠β 的大小。
解答过程：
因为 55° < 55°30′，所以∠α < ∠β。
结论：∠α < ∠β。
幻灯片 10：例题 2—— 角的和差运算
题目：已知∠AOB=120°，∠AOC=40°，且 OC 在∠AOB 内部，求∠BOC 的度数。
解答过程：
因为 OC 在∠AOB 内部，所以∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 120° - 40° = 80°。
结论：∠BOC=80°。
幻灯片 11：例题 3—— 角的平分线的应用
题目：已知 OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB=80°，求∠AOC 的度数。
解答过程：
因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = \(\frac{1}{2}\)×80° = 40°。
结论：∠AOC=40°。
幻灯片 12：课堂练习 1—— 角的比较
题目：比较下列各组角的大小：
（1）30°15′和 30.15°
（2）90° 和 89°59′
答案：（1）30°15′ > 30.15°（因为 30.15°=30°9′）；（2）90° > 89°59′。
幻灯片 13：课堂练习 2—— 角的和差运算
题目：已知∠1=35°，∠2=55°，求∠1 + ∠2 的度数，它是什么角？
答案：∠1 + ∠2=35° + 55°=90°，是直角。
幻灯片 14：课堂练习 3—— 角的平分线的应用
题目：已知 OD 是∠AOB 的平分线，∠AOD=35°，求∠AOB 的度数。
答案：因为 OD 是∠AOB 的平分线，所以∠AOB=2∠AOD=2×35°=70°。
幻灯片 15：易错点分析
常见错误：
进行角的比较时，忽略度、分、秒的进制，直接比较数值，如认为 30.5°=30°5′，导致比较错误。
角的和差运算中，单位不统一就进行计算，如将 30° 和 20′直接相加得到 50°。
对角的平分线概念理解错误，认为角的平分线是线段或直线，实际上角的平分线是射线。
规避方法：
比较角的大小时，先统一单位，将度、分、秒按 60 进制进行转换后再比较。
进行角的和差运算时，要保证度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，满 60 进 1，借 1 当 60。
牢记角的平分线的定义，明确它是一条射线，在角的内部，将角分成两个相等的角。
幻灯片 16：课堂小结
角的比较方法：叠合法和度量法。
角的运算：包括角的和与差，运算时要注意单位统一和进制转换。
角的平分线：把一个角分成两个相等角的射线，具有∠AOC=∠BOC=\(\frac{1}{2}\)∠AOB 的性质。
幻灯片 17：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2、3 题（角的比较、和差运算、角的平分线应用）。
已知∠A=70°，∠B=50°，求∠A + ∠B 和∠A - ∠B 的度数。
提升作业：
已知∠AOB=150°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，求∠BOD 的度数。
一个角的补角是它的 3 倍，求这个角的度数（补角：和为 180° 的两个角）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢？
探索新知
O
A
B
D
E
F
C
G
H
观察如图所示的三个角，哪一个最大？
∠AOB与∠CGH的大小关系不太明显. 那么如何比较，才能得到准确的结果呢？
叠合法
O
A
B
C
G
H
G(O)
H(B)
如图所示,把一个角放到另一个角上,使它们的顶点重合,其中的一边也重合,并使两个角的另一边都在重合的这一条边的同侧.
∠CGH＞∠AOB 或 ∠AOB＜∠CGH
度量法
O
A
B
C
G
H
D
E
F
读数为60°
读数为36°
读数为65°
∠CGH＞∠AOB＞∠DEF
45°
45°
30°
60°
一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接画出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以画出其他一些特殊的角.
75°
15°
角的大小与它的开口大小有关.
如下图，∠2＞∠1，以两个角的顶点为圆心，相同长为半径作弧
2
1
开口越大，角越大，圆弧与角两边的交点之间的线段也越长.
做一做
如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB.
A
O
B
A
O
B
O′
A′
（1）作射线O′A′；
作法：
（2）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D；
C
D
A
O
B
O′
A′
C
D
（3）以点O′为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O′A′于点C′ ；
（4）以点C′为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D′ ；
C′
D′
（5）经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所要求作的角.
B′
作法：
人们将利用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺规作图”.
A
A
B
O
过点A作直线
过点A、B作直线
以点O为圆心作圆
角的运算：
我们可以对角进行简单的加减运算，两个角相加或相减得到的和或差也是角.
设有两个角∠1和∠2（∠1＞∠2），如图：
当∠2的另一边在∠1 的外部时，
它们的另两边所成的角就是∠1与∠2的和.
当∠2的另一边在∠1 的内部时，
它们的另两边所成的角就是它们的差.
如图，用量角器和直尺在纸上画∠AOB=84°，然后沿点О对折，使边OA和OB重合，那么折痕把角分成了大小相等的两部分.
做一做
A
O
B
C
角平分线
42°
42°
角的平分线：
A
O
B
C
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
随堂练习
1. 先观察下列各组角，其中哪一个角较大？然后用量角器量一量每个角，看看你的观察结果是否正确.
（1）
（2）
120°
130°
65°
70°
【教材P160 练习 第1题】
2．请利用三角尺中的角估计下列角的度数，并按大小顺序用“>”号连接这四个角.
∠3＞∠2＞∠1＞∠4
【教材P160 练习 第2题】
3. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOC = 55°．画出∠BOC的平分线OD，并计算∠AOD的度数.
∠BOC＝180°－55°＝125°
∠BOD＝∠COD＝62.5°
D
∠AOD＝55°＋62.5°＝117.5°
【教材P161 练习 第3题】
4.已知∠AOB，利用尺规作图作一个角，使它等于
已知角的2倍.
A
O
B
【教材P161 练习 第4题】
知识点1 角的比较
1. 用“叠合法”比较与 的大小，正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如图，在正方形网格中有 和 ，则 和 的大小关系是
( )
A
（第2题）
A. B.
C. D.无法确定
返回
3.［2025宁德期末］如图①②所示，把一副三角板先后放在 上，
则 的度数可能是( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
返回
知识点2 用尺规作角
4.如图，用直尺和圆规作 的过程中，弧③是( )
D
（第4题）
A.以为圆心， 长为半径画弧
B.以为圆心， 长为半径画弧
C.以为圆心， 长为半径画弧
D.以为圆心， 长为半径画弧
返回
5.如图，尺规作图保留了作图痕迹 ，我们
得到的 ，那么 _____.
（第5题）
返回
知识点3 角的度量与换算
6.［2025长春期末］如图，把两块三角板拼在一起，则 等于
( )
B
（第6题）
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图， ， ，
则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.［教材习题 变式］计算：
（1） ________；
（2） ___________;
（3） ___________.
返回
知识点4 角平分线
9.下列条件能说明是 的平分线的是( )
D
A.
B.
C.
D.在内部
返回
（第10题）
10.如图，是的平分线，若 ，
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
11.［2025重庆期末］如图，已知点是直线上一点， ，
平分，则 的度数为_____.
（第11题）
返回
12.（4分）如图，，分别是和 的平分线，
， ，求 的度数.
解：因为平分， ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
又因为平分 ，
所以 .
返回
（第13题）
13.如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些
特殊角.在下列选项中，不能画出的角度是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第14题）
14.如图，的方向是北偏东 ， 的方向是北偏
西 ，平分，则 的方向是( )
D
A.北偏东 B.东偏北
C.东偏北 D.北偏东
返回
15. 以的顶点为端点引射线，使 ，
若 ，则 的度数为___________.
或
返回
16.（4分）如图，已知 和 ，利用尺规作 ，使
.
解：如图， 即为所求作的角.
返回
17.（8分）如图，已知 ， ，
平分，平分 .
（1）求 的度数；
解：因为 ， ，
所以 .
因为平分，平分，所以 ，
，所以 .
（2）若 ，其他条件不变，求 的度数.
解：因为 ， ，所以
.
因为平分，平分 ，所以
， ，
所以 .
返回
18.（12分） 如图①，老师拿一张长方形纸片折叠一
角，得到折痕 ，同学们发现折痕有角平分线的作用.
（1）若 ，则 ______；
（2）希望小组将长方形纸片按图②方式折叠，,为折痕，点 ，
，恰好在同一条直线上，求 的度数；
解：依题意，得 ，
，
所以 .
（3）智慧小组将长方形纸片按图③方式折叠，， 为折痕，若
，请直接写出 的度数.
解：的度数为 .
[解析] 点拨：由折叠得, .因为
，所以
.所以
.所以
.
返回
课堂小结
角的比较和运算
角的比较
度量法
叠合法
角的运算
代数型的角的加减运算（两个角的度数进行加减运算）
几何型的角的加减运算（根据图形之间的关系，进行角的加减运算）
角的平分线
谢谢观看！

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