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(共38张PPT)
3.6.3 余角和补角
第3章 图形的初步认识
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：3.6.3 余角和补角
副标题：理解余角与补角的概念，掌握其性质
幻灯片 2：学习目标
理解余角和补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角或补角。
掌握余角和补角的性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等），并能运用性质解决问题。
能进行余角和补角的计算，培养逻辑推理和运算能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 特殊的角的关系
展示图片：一副直角三角尺（其中一个三角尺的两个锐角分别为 30° 和 60°，另一个为 45° 和 45°）。
提问：观察这两个三角尺，每个三角尺的两个锐角之和是多少度？平角是 180°，如果一个角是 120°，那么另一个角是多少度时，它们的和是 180°？
引入：在角的运算中，有两种特殊的角的关系非常重要，那就是余角和补角。本节课我们就来学习余角和补角。
幻灯片 4：余角的定义
定义：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。
几何表示：若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1 与∠2 互为余角，即∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。
示例：∠A = 30°，∠B = 60°，因为 30° + 60° = 90°，所以∠A 与∠B 互为余角。
说明：
互为余角的两个角只与它们的度数之和有关，与位置无关。
一个角的余角可以有多个，但它们的度数都相等（因为 90° 减去这个角的度数是固定的）。
幻灯片 5：补角的定义
定义：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。
几何表示：若∠3 + ∠4 = 180°，则∠3 与∠4 互为补角，即∠3 是∠4 的补角，∠4 也是∠3 的补角。
示例：∠C = 110°，∠D = 70°，因为 110° + 70° = 180°，所以∠C 与∠D 互为补角。
说明：
互为补角的两个角同样只与度数之和有关，与位置无关。
一个角的补角也可以有多个，且度数相等（180° 减去这个角的度数是固定的）。
幻灯片 6：余角和补角的性质
性质 1（余角）：同角或等角的余角相等。
几何表示：
若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3（同角的余角相等）。
若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4（等角的余角相等）。
性质 2（补角）：同角或等角的补角相等。
几何表示：
若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2 = ∠3（同角的补角相等）。
若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4（等角的补角相等）。
示例：若∠α = 50°，则∠α 的余角是 40°；若∠β = 50°，则∠β 的余角也是 40°，体现等角的余角相等。
幻灯片 7：余角和补角的计算
求一个角的余角：若已知角为 x°，则它的余角为（90 - x）°（x° < 90°）。
求一个角的补角：若已知角为 x°，则它的补角为（180 - x）°（x° < 180°）。
示例：
60° 的余角是 90° - 60° = 30°。
120° 的补角是 180° - 120° = 60°。
幻灯片 8：例题 1—— 判断互余或互补
题目：判断下列各组角是否互为余角或补角：
（1）∠1 = 30°，∠2 = 60°
（2）∠3 = 100°，∠4 = 80°
（3）∠5 = 75°，∠6 = 25°
解答过程：
（1）∠1 + ∠2 = 30° + 60° = 90°，所以∠1 与∠2 互为余角。
（2）∠3 + ∠4 = 100° + 80° = 180°，所以∠3 与∠4 互为补角。
（3）∠5 + ∠6 = 75° + 25° = 100°，既不互余也不互补。
结论：（1）互为余角；（2）互为补角；（3）都不是。
幻灯片 9：例题 2—— 求角的余角或补角
题目：
（1）求 58° 角的余角和补角。
（2）一个角的补角是它的 3 倍，求这个角的度数。
解答过程：
（1）余角：90° - 58° = 32°；补角：180° - 58° = 122°。
（2）设这个角的度数为 x°，则它的补角为（180 - x）°，根据题意得 180 - x = 3x，解得 x = 45。
结论：（1）余角 32°，补角 122°；（2）这个角是 45°。
幻灯片 10：例题 3—— 余角和补角性质的应用
题目：已知∠A 与∠B 互为余角，∠A 与∠C 互为补角，且∠B = 25°，求∠C 的度数。
解答过程：
因为∠A 与∠B 互为余角，所以∠A = 90° - ∠B = 90° - 25° = 65°。
因为∠A 与∠C 互为补角，所以∠C = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°。
结论：∠C = 115°。
幻灯片 11：课堂练习 1—— 基本计算
题目：
（1）70° 的余角是（ ）°，补角是（ ）°。
（2）一个角的余角是 35°，这个角是（ ）°，它的补角是（ ）°。
答案：（1）20，110；（2）55，125。
幻灯片 12：课堂练习 2—— 性质应用
题目：已知∠1 与∠2 互为余角，∠3 与∠4 互为余角，且∠1 = ∠3，求证∠2 = ∠4。
证明过程：
因为∠1 与∠2 互为余角，所以∠1 + ∠2 = 90°，即∠2 = 90° - ∠1。
因为∠3 与∠4 互为余角，所以∠3 + ∠4 = 90°，即∠4 = 90° - ∠3。
又因为∠1 = ∠3，所以∠2 = ∠4。
幻灯片 13：课堂练习 3—— 综合应用
题目：一个角的补角比它的余角的 3 倍多 10°，求这个角的度数。
解答过程：
设这个角的度数为 x°，则它的补角为（180 - x）°，余角为（90 - x）°。
根据题意得：180 - x = 3（90 - x） + 10。
解方程：180 - x = 270 - 3x + 10，2x = 100，x = 50。
答案：这个角是 50°。
幻灯片 14：易错点分析
常见错误：
对余角和补角的定义理解不透彻，认为只有两个锐角才能互余，实际上只要两角之和为 90° 就互余，与角的类型无关（但钝角没有余角）。
混淆余角和补角的性质，在应用时出现逻辑错误，如错误认为 “同角的余角与补角相等”。
计算一个角的余角或补角时，忽略角的度数范围，如求 100° 的余角，而 100° 大于 90°，没有余角。
规避方法：
牢记余角和补角的定义，重点关注两角之和是否为 90° 或 180°，而非角的具体类型。
区分余角和补角的性质，通过几何表示和实例理解 “同角或等角的余角相等” 与 “同角或等角的补角相等” 的不同适用场景。
计算前先判断角是否有对应的余角或补角：锐角（小于 90°）才有余角，锐角、直角、钝角（小于 180°）才有补角。
幻灯片 15：课堂小结
余角和补角的定义：
互余：两角之和为 90°。
互补：两角之和为 180°。
性质：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
计算：
余角 = 90° - 已知角（已知角 < 90°）。
补角 = 180° - 已知角（已知角 < 180°）。
幻灯片 16：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2 题（判断互余互补、计算余角补角）。
一个角的度数是 36°，求它的余角和补角的度数。
提升作业：
已知∠α 和∠β 互为补角，且∠α 比∠β 大 30°，求∠α 和∠β 的度数。
如图，点 O 在直线 AB 上，OC 是∠AOD 的平分线，∠DOB = 90°，求证∠COD 与∠BOD 互余。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
探索新知
1
2
α
β
用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
1
2
α
β
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
简称互余.
1
2
α
β
如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
1
2
反过来，如果两个角互余，
1
那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角.
α
β
3
4
同样，如果两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补.
∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互为补角.
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
归纳总结
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角.
∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′
随堂练习
1. 说出图中互余和互补的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互补的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
【教材P162 练习 第1题】
2．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
延长AO，测量∠AOB的补角即可.
提示：也可延长BO.
【教材P162 练习 第2题】
3 如图，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角等于该角
补角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的补角
【教材P162 练习 第3题】
知识点1 余角和补角的定义
1.若 ，则 的补角为( )
D
A. B. C. D.
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2.若，则 的余角为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2025成都期末］若两个角互补，则( )
D
A.这两个角都是锐角
B.这两个角都是钝角
C.这两个角一定一个是锐角，一个是钝角
D.以上答案都不对
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4.［教材P162练习T1变式］如图，，， 三点在同一条直线上，
.
（1） 的余角是_______，补角是_______；
（2）若 ，则 ______.
返回
5.若一个角的余角的3倍比这个角的补角多 ，则这个角的度数为_____.
返回
6.（8分）［教材P162练习T3变式］如图， ， 平分
， .
（1）与互余吗？与 互补吗？试说明理由.
解：与互余.与 互补.理由如下:
因为 ，平分 ，
所以 .
又因为,所以 ，
所以 ,即与 互余.
因为 ，
所以与 互补.
（2）利用尺规作图，作一个角等于 的补角.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图， 即为所求.
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知识点2 余角和补角的性质
7. 若 , ，则与 的大小关系
是_________，理由是________________；若 ，且
， ，则与 的大小关系是______
___，理由是________________.
同角的余角相等
等角的补角相等
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（第8题）
8.［2025周口期末］如图，将一副三角板的直角
顶点重合摆放在桌面上，若 ，则
等于( )
B
A. B. C. D.
（第9题）
9.如图，直线,相交于点， ，那么
______.
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10.（8分）如图， ， .
（1）的余角为______________； 的补角为______________.
，
，
（2）与有怎样的数量关系，为什么？与 有怎
样的数量关系，为什么？
解：因为， ， ，
所以 .
因为 .
所以 ，
.
又因为 ，
所以 .
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11.［2025莆田期末］如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中 和
不一定相等的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12.如图，射线的方向为南偏东 ，且 平分
，则射线 的方向为( )
B
A.南偏西 B.南偏西 C.南偏西 D.西偏南
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13.已知两个角的度数比是，差是 ，则这两个角的关系是( )
B
A.互余 B.互补
C.既不互余也不互补 D.不能确定
返回
14.［2025长春期末］如果 和 互补，且 ，下列表示
的余角的式子中不正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第15题）
15.如图，点在直线上， ，
下列说法错误的是( )
D
A.与相等 B.与 互余
C.与互补 D.与 互补
返回
16.（8分）［2025驻马店期末］如图，是直线上一点， 为任意一
条射线，平分，平分 .
（1）图中的补角是_______________； 的余角是_________
______.
，
，
（2）与 具有怎样的数量关系？说明理由.
解： .理由：
因为平分，平分，所以 ，
，所以
，
即与的数量关系是 .
返回
17.（8分）如图，，， 三点在同一直线
上，与 互补.
（1）若 ，求 的度数；
解：因为，，三点在同一直线上，所以 ，
所以与 互补.
又因为与 互补，
所以 .
（2）已知平分，若射线在的内部，且满足 与
互余，试探究与 之间有怎样的数量关系，并说明理由.
解： .理由：
设 ，
因为平分 ，
所以 .
因为与 互余，
所以 ，
所以 .
由（1）易得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
返回
课堂小结
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
谢谢观看！

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