资源简介

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4.1.1 对顶角
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：4.1.1 对顶角
副标题：认识对顶角的特征，掌握对顶角的性质
幻灯片 2：学习目标
理解对顶角的概念，能准确识别图形中的对顶角。
掌握对顶角的性质（对顶角相等），并能运用该性质解决简单的角度计算问题。
通过观察、操作和推理，培养空间观念和逻辑思维能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 相交线中的角
展示图片：两条相交的直线（如十字路口的两条道路、剪刀张开时的两片刀刃）。
提问：两条直线相交会形成几个角？这些角之间有什么关系？
引入：两条直线相交时，会形成具有特殊位置关系的角，其中对顶角是非常重要的一种。本节课我们就来学习对顶角。
幻灯片 4：对顶角的概念
相交线：如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
对顶角的定义：两条直线相交时，有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
图形展示：画出直线 AB 和 CD 相交于点 O，形成∠AOC、∠BOD、∠AOD、∠BOC，标注∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠AOD 与∠BOC 是对顶角。
特征分析：
有公共顶点（如∠AOC 和∠BOD 的顶点都是 O）。
两边互为反向延长线（∠AOC 的两边是 OA 和 OC，∠BOD 的两边是 OB 和 OD，其中 OA 和 OB 互为反向延长线，OC 和 OD 互为反向延长线）。
幻灯片 5：对顶角的识别
步骤：
确定两条相交直线，找到它们的交点（公共顶点）。
观察角的两边，看是否互为反向延长线。
符合 “有公共顶点且两边互为反向延长线” 的两个角就是对顶角。
示例：
图中直线 EF 和 GH 相交于点 P，形成∠EPG、∠EPF、∠FPH、∠GPH。其中∠EPG 和∠FPH 是对顶角（有公共顶点 P，PE 与 PF 互为反向延长线，PG 与 PH 互为反向延长线）；∠EPF 和∠GPH 是对顶角。
易错点：不要把有公共顶点但两边不是反向延长线的角误认为对顶角，如上述图中的∠EPG 和∠EPF，虽然有公共顶点 P，但两边不是反向延长线，不是对顶角。
幻灯片 6：对顶角的性质
性质内容：对顶角相等。
推理过程：
如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O。
因为∠AOC 和∠AOD 组成平角，所以∠AOC + ∠AOD = 180°（平角的定义）。
因为∠AOD 和∠BOD 组成平角，所以∠AOD + ∠BOD = 180°（平角的定义）。
因此，∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD（等量代换），两边同时减去∠AOD，可得∠AOC = ∠BOD（对顶角相等）。
结论：对顶角的度数相等，这是对顶角的重要性质，在角度计算中经常用到。
幻灯片 7：例题 1—— 识别对顶角
题目：如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，指出图中的所有对顶角。
图形：三条直线相交于一点 O，形成多个角。
解答过程：
直线 AB 和 CD 相交于 O，对顶角为∠AOC 与∠BOD，∠AOD 与∠BOC。
直线 AB 和 EF 相交于 O，对顶角为∠AOE 与∠BOF，∠AOF 与∠BOE。
直线 CD 和 EF 相交于 O，对顶角为∠COE 与∠DOF，∠COF 与∠DOE。
结论：图中的对顶角有∠AOC 与∠BOD、∠AOD 与∠BOC、∠AOE 与∠BOF、∠AOF 与∠BOE、∠COE 与∠DOF、∠COF 与∠DOE。
幻灯片 8：例题 2—— 利用对顶角性质计算角度
题目：如图，直线 a、b 相交于点 O，∠1 = 50°，求∠2、∠3、∠4 的度数。
图形：直线 a、b 相交于 O，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角，∠1 与∠2 互为邻补角。
解答过程：
因为∠1 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠1 = 50°（对顶角相等）。
因为∠1 与∠2 组成平角，所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 50° = 130°。
因为∠2 与∠4 是对顶角，所以∠4 = ∠2 = 130°（对顶角相等）。
结论：∠2 = 130°，∠3 = 50°，∠4 = 130°。
幻灯片 9：例题 3—— 对顶角性质的综合应用
题目：如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，∠AOE = 35°，求∠BOD 的度数。
图形：直线 AB、CD 相交于 O，OE 是∠AOC 的平分线。
解答过程：
因为 OE 平分∠AOC，所以∠AOC = 2∠AOE = 2×35° = 70°（角平分线的定义）。
因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠BOD = ∠AOC = 70°（对顶角相等）。
结论：∠BOD = 70°。
幻灯片 10：课堂练习 1—— 识别对顶角
题目：如图，下列各组角中，是对顶角的是（ ）
A. ∠1 与∠2 B. ∠1 与∠3 C. ∠2 与∠3 D. ∠2 与∠4
图形：两条直线相交形成四个角，标注为∠1、∠2、∠3、∠4（∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角）。
答案：B、D
幻灯片 11：课堂练习 2—— 角度计算
题目：直线 AB 和 CD 相交于点 O，若∠AOD = 120°，则∠BOC = （ ）°，∠AOC = （ ）°。
答案：120；60
幻灯片 12：课堂练习 3—— 综合应用
题目：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC = 30°，OE⊥AB（OE 垂直于 AB），求∠EOD 的度数。
图形：直线 AB、CD 相交于 O，OE 垂直 AB 于 O，形成直角∠AOE 和∠BOE。
解答过程：
因为 OE⊥AB，所以∠AOE = 90°（垂直的定义）。
因为∠AOC = 30°，所以∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 30° = 60°。
因为∠COE 与∠DOE 组成平角，所以∠EOD = 180° - ∠COE = 180° - 60° = 120°。
答案：120°
幻灯片 13：易错点分析
常见错误：
对顶角识别错误，把不是两边互为反向延长线的角当成对顶角，如认为相邻的两个角是对顶角。
忽略对顶角的性质成立的前提是 “两条直线相交”，在非相交直线形成的角中错误应用对顶角相等的性质。
在计算角度时，忘记结合平角的定义（180°），仅依赖对顶角性质，导致无法求出相关角的度数。
规避方法：
识别对顶角时，严格按照定义判断：必须有公共顶点，且两边互为反向延长线，两者缺一不可，可通过画图标注角的两边来辅助判断。
应用对顶角性质时，先确认两个角是由两条相交直线形成的对顶角，再使用 “对顶角相等” 进行计算。
解决角度计算问题时，灵活结合对顶角性质和平角、直角的定义，理清角之间的和差关系。
幻灯片 14：课堂小结
对顶角的概念：两条直线相交时，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。
对顶角的性质：对顶角相等。
核心应用：识别对顶角，利用对顶角相等进行角度计算。
幻灯片 15：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2 题（识别对顶角、利用性质计算角度）。
直线 AB 和 CD 相交于点 O，∠AOB 的对顶角是哪个角？若∠AOC = 55°，求∠BOD 的度数。
提升作业：
如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠AOF = 3∠FOB，且∠AOC = 90°，求∠EOC 的度数。
证明：对顶角的平分线在同一条直线上。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下图剪刀剪开纸片过程中有关角的变化. 你能说出其中的原理么
此时如果把剪刀抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？
试一试在笔记本中画出来
新课导入
相交线：如图，两条直线AB、CD都经过同一个点O，我们就说这两条直线相交于点O，点O是他们的交点。
角 ∠1与∠2 ∠1与∠3
位置关系
数量关系
相邻
互补
相邻
互补
B
1
2
3
A
C
D
O
4
新知探究
思考：大家仔细观察所画的图形，两条直线相交时形成四个角，这几个角都有什么样的位置关系呢？
想一想：
图中∠1的邻补角为_______
图中∠4的邻补角为________
如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1和∠2
C
1
2
3
A
B
D
O
4
∠2，∠3
∠2，∠3
邻补角的概念
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在着某种关系呢？
1
2
3
A
B
C
D
O
4
∠1和∠4
∠2和∠3
问：图中∠1的对顶角是______. 图中∠2的对顶角是______.
如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.
1
2
3
A
B
C
D
O
4
反向延长线
∠4
∠3
对顶角的概念
下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：
对顶角是由两条相交直线构成的；
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
牛刀小试
C
O
A
B
D
4
3
2
1
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中∠1与∠3这两个角的大小保持怎样的关系
对顶角的性质
猜想： ∠1=∠3
A
B
O
C
D
4
3
2
1
例1：直线AB与CD相交于O点(如图)，∠1=30°,那么∠2，∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
解：因为直线AB与CD相交于O点,
由此我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
结论：两条直线相交对顶角相等
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°
∠2=180°-∠1=180°-30°=150°
例2 如图4.1.3，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED的度数.
A
B
C
D
E
图4.1.3
解：因为直线AB、CD相交于点E，所以∠AEC与∠BED是对顶角。
根据对顶角相等，得∠BED= ∠AEC=50°
(3) 若 1: 2 = 2:7，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________.
(2) 若∠2是∠1的 3倍，则∠1，∠2，∠3，∠4的度
数分别为________________________.
(1) 若∠1+∠3= 60 ，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
1.根据图形回答下列问题：
随堂练习
2.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB；
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°,
∠COB=180°-∠AOC=130°.
3.下列各图中的∠1与∠2是不是对顶角？【教材P172 练习 第1题】
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
4.如图，∠1与∠2是对顶角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，则∠A=____° 【教材P172 练习 第3题】
1
2
145
5.如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线IJ、KL分别与直线MN相交于点O、P，说出各图中的对顶角. 【教材P172 练习 第2题】
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE与∠DFB， ∠AFD与∠EFB， ∠CGE与∠DGB， ∠CGD与∠BGE
解:(2) ∠MOI与∠JON， ∠MOJ与∠IOP， ∠MPL与∠KPN， ∠MPK与∠LPN
知识点1 邻补角的定义与性质
1.［2024开封期末］下列各图中，与 互为邻补角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［教材例1变式］如图，直线与相交于点， 的邻补
角是_______________；若 ，则 的度数为______.
和
返回
知识点2 对顶角的定义
3.［2025商丘期末］下面四幅图中，与 是对顶角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向
发生了改变，这就是折射现象.图中与 ______（填“是”或“不是”）
对顶角.
不是
返回
5.如图，直线、、相交于点， 的对顶角是_______，
的对顶角是_______.
返回
知识点3 对顶角的性质
6.如图，直线、相交于点，则推导出“ ”的依据是
( )
C
（第6题）
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
返回
（第7题）
7.［2025太原期中］如图，我们把剪刀的两边抽象成
两条相交的直线，若 ，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 如图，为了测量古塔外墙底角 的度数，王明设
计了如下方案：作，的延长线，，量出 的度数，就
得到了 的度数，王明这样做的依据是____________.
对顶角相等
返回
9.［教材P练习T变式］如图，两条直线交于点 ，若
，则 的度数为______.
返回
10.（4分）如图，直线，相交于点，平分 .若
，求 的度数.
解：因为平分， ，所以
.
因为，所以 .
返回
11.如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转动木条，当 增大
时，下列说法正确的是( )
C
（第11题）
A.增大 B.减少
C.减少 D.减少
返回
12.［2025长春期末］如图，直线，，相交于点 ，
______.
（第12题）
返回
13.如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点 重合，发现直线
在 刻度线上，直线在 刻度线上，则 _____.
（第13题）
返回
14. 已知直线，相交于点， ，过点 作射线
，使 ，则 ___________.
或
返回
15.如图，直线，，两两相交，与互余，，则
_____， ______.
（第15题）
返回
16.（8分）如图，直线和相交于点， 把
分成两部分，且， 平分
.
（1）若 ，求 ；
解：由对顶角相等，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，求 .
解：由平分 ，
得 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 , ，
所以 .
返回
17. 观察下列图形，回答各题.
（1）图①中，共有___对对顶角，可以看成等于___×___；
2
2
1
（2）图②中，共有___对对顶角，可以看成等于___×___；
6
3
2
[解析] 点拨：单个角是对顶角的有3对，两个角组成复合角的对顶角有3
对，共有6对， .
（3）图③中，共有____对对顶角，可以看成等于___×___；
12
4
3
[解析] 点拨：单个角是对顶角的有4对，两个角组成复合角的对顶角有4
对，三个角组成复合角的对顶角有4对，共有12对， .
（4）探究（1） 各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有
,为整数 条直线相交于一点，则可形成_________对对顶角.
返回
课堂小结
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
名称
数量关系
对
顶
角
相
等
邻
补
角
互
补
提示：考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手!
课堂小结
谢谢观看！

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