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4.2.1 平行线
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：4.2.1 平行线
副标题：认识同一平面内直线的特殊位置关系
幻灯片 2：学习目标
理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
掌握平行线的表示方法，能正确读写平行线。
学会用直尺和三角尺画平行线，培养动手操作能力。
掌握平行线的基本事实（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）及其推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），并能运用它们解决简单问题。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的平行线
展示图片：铁轨（两条铁轨可以看作平行线）、黑板的上下边缘、练习本上的横线、电梯的扶手、高速公路上的分隔线。
提问：这些图片中的直线有什么共同特点？它们与相交直线有什么不同？
引入：在同一平面内，两条直线除了相交之外，还有一种特殊的位置关系 —— 平行。本节课我们就来学习平行线的相关知识。
幻灯片 4：平行线的概念
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
关键词解析：
“在同一平面内”：这是平行线概念的前提，如果两条直线不在同一平面内，即使不相交，也不能称为平行线（如异面直线，小学阶段暂不涉及）。
“不相交”：两条直线没有公共点，这是平行线的核心特征。
反例说明：
两条相交的直线（有一个公共点）不是平行线。
不在同一平面内的两条不相交的直线（如正方体的一条棱和与它不相交的另一条棱）不是平行线。
图形展示：画出两条平行线 a 和 b，标注 “a 与 b 不相交”。
幻灯片 5：同一平面内两条直线的位置关系
分类：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
相交：两条直线有且只有一个公共点。
平行：两条直线没有公共点。
注意：“重合” 的两条直线通常看作一条直线，不视为独立的位置关系。
图示：用表格形式展示相交和平行的图形、特征对比：
位置关系
图形
公共点数量
相交
两条直线交叉，有一个交点
1 个
平行
两条直线不相交，无交点
0 个
幻灯片 6：平行线的表示方法
表示符号：平行用符号 “∥” 表示。
表示方法：
直线 a 与直线 b 平行，记作 “a∥b”，读作 “a 平行于 b”。
直线 AB 与直线 CD 平行，记作 “AB∥CD”，读作 “AB 平行于 CD”。
示例：在图中画出直线 l 和直线 m，标注 “l∥m”，并读作 “l 平行于 m”。
幻灯片 7：平行线的画法
工具：直尺和三角尺。
步骤（过直线外一点画已知直线的平行线）：
放：把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边。
推：沿着直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的直角边过直线外的已知点。
画：沿着三角尺的这条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。
图示：用动画分步展示画法，标注每一步的操作要点。
说明：过直线上一点画已知直线的平行线的方法类似，但此时画出的平行线与已知直线重合（通常视为同一条直线），因此一般研究过直线外一点画平行线。
幻灯片 8：平行线的基本事实
基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
关键词解析：
“经过直线外一点”：强调点的位置在直线外，如果点在直线上，无法画出与该直线平行的直线（会重合）。
“有且只有一条”：“有” 表示存在性（至少有一条），“只有” 表示唯一性（最多有一条）。
图形展示：直线 l 外有一点 P，画出过 P 且与 l 平行的直线 a，说明这样的直线只有一条。
生活实例：经过直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行，如经过铁轨外一点，只能画出一条与铁轨平行的直线。
幻灯片 9：平行线基本事实的推论
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
符号表示：如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c。
图形展示：画出直线 a、b、c，其中 a∥b，b∥c，标注 “a∥c”。
说明：这个推论也称为平行线的传递性，它表明平行线具有传递关系。
实例：如果直线 a 平行于直线 b，直线 b 平行于直线 c，那么直线 a 一定平行于直线 c，就像如果甲和乙同岁，乙和丙同岁，那么甲和丙同岁一样。
幻灯片 10：例题 1—— 判断平行线
题目：如图，在同一平面内，直线 AB、CD、EF 中，哪两条直线是平行线？请说明理由。
图形：AB 与 CD 不相交，AB 与 EF 相交，CD 与 EF 相交。
解答过程：
根据平行线的定义，在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
图中 AB 与 CD 不相交，因此 AB∥CD；AB 与 EF、CD 与 EF 都相交，不是平行线。
结论：AB∥CD。
幻灯片 11：例题 2—— 应用基本事实画图
题目：如图，点 P 在直线 l 外，点 Q 在直线 l 上，过点 P 画直线 l 的平行线，过点 Q 画直线 l 的平行线，能画出几条？
图形：直线 l，点 P 在 l 外，点 Q 在 l 上。
解答过程：
过点 P 画直线 l 的平行线，根据基本事实，能画出 1 条。
过点 Q 画直线 l 的平行线，由于点 Q 在 l 上，画出的直线与 l 重合，因此只能看作 1 条（即直线 l 本身）。
结论：过点 P 能画 1 条，过点 Q 能画 1 条（与 l 重合）。
幻灯片 12：例题 3—— 应用推论判断平行关系
题目：已知直线 a∥b，直线 c∥b，那么直线 a 与直线 c 的位置关系是什么？为什么？
解答过程：
根据平行线的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
因为 a∥b，c∥b，所以 a∥c。
结论：a∥c。
幻灯片 13：课堂练习 1—— 基本概念判断
题目：判断下列说法是否正确：
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线。
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（3）如果直线 m∥n，n∥p，那么 m∥p。
答案：（1）错误（线段有端点，不相交的线段所在直线可能相交）；（2）错误（应是过直线外一点）；（3）正确。
幻灯片 14：课堂练习 2—— 画图操作
题目：在如图所示的方格纸中，过点 A 画直线 BC 的平行线。
图形：方格纸中有直线 BC 和点 A。
解答提示：利用方格的边作为直尺，结合三角尺画出平行线。
答案：画出的平行线如图所示（根据实际画图结果）。
幻灯片 15：课堂练习 3—— 应用推论
题目：如图，直线 a、b、c 在同一平面内，a∥b，b 与 c 相交，那么 a 与 c 的位置关系是什么？
解答过程：
假设 a 与 c 不相交，即 a∥c，因为 a∥b，根据推论，b∥c，这与 “b 与 c 相交” 矛盾，因此 a 与 c 相交。
答案：相交。
幻灯片 16：易错点分析
常见错误：
忽略 “在同一平面内” 这个前提，认为空间中不相交的两条直线也是平行线，实际上它们可能是异面直线。
对平行线的基本事实理解错误，说成 “过一点有且只有一条直线与已知直线平行”，漏掉 “直线外” 这个关键条件，导致错误。
画平行线时，未用直尺紧靠三角尺，导致画出的直线与已知直线不平行。
规避方法：
牢记平行线概念中的 “在同一平面内”，这是小学和初中阶段研究平行线的重要前提。
背诵基本事实时，强调 “直线外一点”，明确点的位置不能在已知直线上。
画平行线时，严格按照 “放、靠、推、画” 的步骤操作，确保三角尺移动时不偏移，画图后可通过观察是否相交验证是否平行。
幻灯片 17：课堂小结
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线。
位置关系：同一平面内，两条直线要么相交，要么平行。
表示方法：用 “∥” 表示，如 a∥b。
画法：用直尺和三角尺，按 “放、靠、推、画” 步骤操作。
基本事实及推论：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（a∥b，b∥c，则 a∥c）。
幻灯片 18：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2 题（判断平行线、用符号表示平行线）。
过直线 l 外一点 P，画直线 l 的平行线，并用符号表示。
提升作业：
在同一平面内，有三条直线 a、b、c，若 a∥b，b 与 c 相交，那么 a 与 c 的位置关系是什么？请说明理由。
举例说明生活中平行线的应用，至少 3 个例子。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
掌握平行线的公理及推论.
学习目标
重点
理解平行线的定义
掌握平行线的画法
难点
两条直线相交（其中垂直是相交的特殊情形）
生活中两条直线除了相交以外，还有什么情形呢？
想一想
前面我们学的两条直线具有怎样位置关系？
情景引入
生活中两条直线除了相交以外，我们还可以看到下面情况的两条直线
思考 如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.想象一下，在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
a
b
c
a
b
c
a
b
c
探索新知
在木条转动过程中，存在直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行.记作a∥b.
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；
（3）平行线指的是两条直线,而不是两条射线或两条线段．
a
b
c
平行线的概念
我们通常用“//” 表示平行.
C
B
A
D
a ∥ b
AB ∥ CD
a
b
读作：“AB 平行于 CD”　
读作：“a平行于b ” 　
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行与相交两种.
平行线的表示方法
平行线的画法：
（1）落
（2）靠
（3）推
（4）画
平行线的画法、平行公理及推论
把三角板的一边落在已知直线上
紧靠三角板的另一边放一直尺
沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的那一边过已知点
沿三角板过已知点的边画直线，这条线即为已知直线的平行线
a
(3)经过点P能画出几条直线与直线a平行？
(4)过点D画一条直线与直线a平行，与(3)中所画的直线平行吗？
·
P
·
D
(1)经过点P 能画出几条直线？
无数条
1条
b
(2)与直线a平行的直线有几条？
无数条
平行
做一做
平行公理
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
·
A
·
B
·
·
C
D
a
b
试一试
画一条直线 b 与直线 a 平行，再向上推三角板，画另一条直线 c，也与直线 a 平行.
如果 b∥a，c∥a，那么b∥c．
推论:
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
直线 b 与直线 c 有什么关系？
几何语言表达：
c
b
a
平行公理的推论（平行线的传递性）
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
∵ a//c , c//b (已知)
∴ a//b (如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
1.下列说法正确的是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行
D.不相交的两条直线是平行线
C
随堂及练
2. 下面说法中正确的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条；
②因为 a∥ b，c∥ d，所以 a∥ d；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 0 个　　 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
A
3.使用直尺、量角器和三角板，在如图所示的某平面图上找出互相平行的道路和互相垂直的道路. 【教材P183 练习 第1题】
互相垂直的道路：
清华路与新民大街、新疆街、长庆路百汇路垂直
桂林路与新民大街、新疆街、长庆路百汇路垂直
互相平行的道路：
新民大街、新疆街、长庆路百汇路互相平行；
清华路与桂林路互相平行
4. 根据下列语句，利用所给三角形ABC 画出图形：【教材P184练习 第2题】
（1）过三角形ABC 的顶点 C，画出平行于 AB 的直线 MN；
（2）过三角形ABC 的边 AB 的中点 D，画出平行于 AC 的直线， 交 BC 于点 E .
如图所示
5.如图，两条直线a、b相交于点O，如果直线a∥直线c，那么直线b能与直线c平行么？为什么？ 【教材P184练习 第3题】
a
b
c
直线b不能与直线c平行
因为过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
O
知识点1 平行线及其表示
1.有下列生活实例：
①路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操队的纵队； 米跑道线；⑤
平直的火车铁轨.
其中大致能看成平行线的有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
C
A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.垂直
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3.［2025南阳期末］如图，已知四条直线，，，
中的一条与挡板另一侧的直线 平行，请判断该直线是
( )
B
A. B. C. D.
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知识点2 平行线的画法
4.如图，已知直线外一点，过
点画直线，使 ，借助直
尺和三角板有如下操作：①固定直
尺，并沿 方向移动三角板，使
C
A.①②③④ B.②④③① C.②④①③ D.④③②①
斜边经过点；②用三角板的斜边紧贴直线 ；③沿三角板斜边画直线
；④用直尺 紧靠三角板的一条直角边.
其正确操作顺序是( )
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5.（8分）如图，已知方格纸上有两条线段
, ，根据下列要求完成以下操作：
（1）过点作的平行线 ；
解：如图.
（2）连结，取中点，过点作的平行线与交于点 .
解：如图.
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知识点3 平行线的基本事实及其推论
6.过直线外一点作 的平行线，可以作( )
A
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
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7.［2025郑州开学考］如图，，过点画，则与
的位置关系是______，理由是____________________________________
_______________________.
平行
如果两条直线都和第三条直线平行，那
么这两条直线也互相平行
（第7题）
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8.如图，，，则，， 三点共线，理由是______________
_______________________________.
过直线外一点
有且只有一条直线与这条直线平行
（第8题）
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9.（8分）如图，点，分别是直线 外两点.
（1）过点画直线，过点画直线 ；
解：如图所示.
（2）与 有怎样的位置关系？为什么？
解： .理由如下∶
因为， ，
所以 .
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10.下列说法错误的是( )
A
A.若两条直线不垂直，则这两条直线平行
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.若，，，则
D.同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它也和另一
条相交
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11. ［2025太原月考］如图，若将一张长方形纸片沿图
示方向对折两次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A
A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.相交但不垂直
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（第12题）
12. 如图，经过直线外一点 的4条直线中，与
直线 相交的直线至少有( )
B
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
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13.［教材习题 变式］观察如图所示的长方体，回答下列问题.
（第13题）
（1）用符号表示两棱的位置关系：___ ，
___，___，___ .
//
//
（2）与 所在的直线不相交，它们______
平行线（填“是”或“不是”）.由此可知，只有在
__________内，两条不相交的直线才是平行线.
不是
同一平面
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14.（12分）如图所示，在内有一点 .
（1）过画 ；
解：如图所示.
（2）过画 ；
解：如图所示.
（3）用量角器量一量与相交形成的角与 的大小有怎样关系？
解：如图，与相交的角有,,, ，
经测量， , ,所以 与
相交形成的角与 相等或互补.
返回
15.（4分）甲：同一平面内，互不重合的三条直线的交点有0个，因为
，如图①.
乙：同一平面内，互不重合的三条
直线的交点只有1个，因为，，
交于同一点 ，如图②.
以上说法谁对谁错？为什么？
解：甲、乙说法都错.
理由：除了两人说的，还有两种情况：
（1），与, 相交，如图①，此时有2个交点；
（2），，两两相交（不包括，， 交于一点的情
况），如图②，此时有3个交点.
所以同一平面内，互不重合的三条直线的交点有0个或1个
或2个或3个.
返回
平行线
定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
画法
一落；二靠；三移；四画
基本事实
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
课堂小结
谢谢观看！

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