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4.2.2 平行线的判定
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：4.2.2 平行线的判定
副标题：利用角的关系判断直线平行
幻灯片 2：学习目标
掌握平行线的三种判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
能运用这些判定方法解决简单的几何问题，判断两条直线是否平行。
经历从角的关系到直线平行的推理过程，培养逻辑推理能力和几何直观。
幻灯片 3：复习回顾 —— 同位角、内错角、同旁内角
展示图形：两条直线被第三条直线所截形成的 “三线八角” 图，标注∠1（同位角）、∠2（内错角）、∠3（同旁内角）。
提问：图中的∠1 与∠5 是同位角，它们的位置有什么特点？∠3 与∠6 是内错角，位置有什么特点？∠3 与∠5 是同旁内角，位置有什么特点？
引入：上节课我们学行线的概念，本节课我们将学习如何根据角的关系来判定两条直线是否平行。
幻灯片 4：平行线的判定方法 1—— 同位角相等，两直线平行
基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。
符号表示：如图，若∠1 = ∠2，则 a∥b（a、b 被 c 所截，∠1 与∠2 是同位角）。
图形展示：画出 “三线八角” 图，标注∠1 = ∠2，并用箭头指示 a∥b。
实例：木工师傅用角尺在工件上画平行线，就是利用了 “同位角相等，两直线平行” 的原理，确保画出的直线与已知直线平行。
幻灯片 5：平行线的判定方法 2—— 内错角相等，两直线平行
推导过程：
已知：两条直线 a、b 被 c 所截，∠3 = ∠4（内错角）。
因为∠3 与∠1 是对顶角，所以∠3 = ∠1（对顶角相等）。
又因为∠3 = ∠4，所以∠1 = ∠4（等量代换）。
根据 “同位角相等，两直线平行”，可得 a∥b。
结论：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。
符号表示：若∠3 = ∠4，则 a∥b。
图形展示：在 “三线八角” 图中，标注∠3 = ∠4，指示 a∥b。
幻灯片 6：平行线的判定方法 3—— 同旁内角互补，两直线平行
推导过程：
已知：两条直线 a、b 被 c 所截，∠5 + ∠6 = 180°（同旁内角互补）。
因为∠5 与∠1 是邻补角，所以∠5 + ∠1 = 180°（邻补角互补）。
又因为∠5 + ∠6 = 180°，所以∠1 = ∠6（同角的补角相等）。
根据 “同位角相等，两直线平行”，可得 a∥b。
结论：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
符号表示：若∠5 + ∠6 = 180°，则 a∥b。
图形展示：在 “三线八角” 图中，标注∠5 + ∠6 = 180°，指示 a∥b。
幻灯片 7：三种判定方法的对比
判定方法
角的类型
角的关系
结论
方法 1
同位角
相等
两直线平行
方法 2
内错角
相等
两直线平行
方法 3
同旁内角
互补（和为 180°）
两直线平行
说明：三种方法都是通过角的关系来判定直线平行，核心是将角的数量关系转化为直线的位置关系。
幻灯片 8：例题 1—— 用同位角判定平行
题目：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠1 = 50°，∠2 = 50°，AB 与 CD 平行吗？为什么？
图形：EF 截 AB、CD，∠1 与∠2 是同位角。
解答过程：
因为∠1 = 50°，∠2 = 50°，所以∠1 = ∠2。
根据 “同位角相等，两直线平行”，可得 AB∥CD。
结论：AB∥CD。
幻灯片 9：例题 2—— 用内错角判定平行
题目：如图，直线 a、b 被直线 c 所截，∠3 = ∠4，求证 a∥b。
图形：c 截 a、b，∠3 与∠4 是内错角。
解答过程：
已知∠3 = ∠4，∠3 与∠1 是对顶角，所以∠3 = ∠1（对顶角相等）。
因此∠1 = ∠4（等量代换）。
根据 “同位角相等，两直线平行”，可得 a∥b（也可直接用 “内错角相等，两直线平行”）。
结论：a∥b。
幻灯片 10：例题 3—— 用同旁内角判定平行
题目：如图，直线 AD、BC 被直线 AB 所截，∠DAB + ∠ABC = 180°，判断 AD 与 BC 是否平行，并说明理由。
图形：AB 截 AD、BC，∠DAB 与∠ABC 是同旁内角。
解答过程：
因为∠DAB + ∠ABC = 180°，且它们是 AD、BC 被 AB 所截形成的同旁内角。
根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得 AD∥BC。
结论：AD∥BC。
幻灯片 11：课堂练习 1—— 基础判定
题目：如图，∠1 = ∠2，能判定哪两条直线平行？为什么？
图形：∠1 与∠2 是直线 a、b 被 c 所截的同位角。
答案：a∥b，因为同位角相等，两直线平行。
幻灯片 12：课堂练习 2—— 综合判定
题目：如图，∠A + ∠D = 180°，AB 与 CD 平行吗？为什么？
图形：AD 截 AB、CD，∠A 与∠D 是同旁内角。
答案：AB∥CD，因为同旁内角互补，两直线平行。
幻灯片 13：课堂练习 3—— 多种方法判定
题目：如图，∠5 = ∠6，∠7 = ∠8，判断直线 l1 与 l2 是否平行。
图形：l3 截 l1、l2，∠5 与∠6 是内错角，∠7 与∠8 是同位角。
答案：平行，可用 “内错角相等” 或 “同位角相等” 判定。
幻灯片 14：易错点分析
常见错误：
判定时混淆角的类型，如将内错角当作同位角使用，导致推理错误。
忽略 “两条直线被第三条直线所截” 的前提，对非截线形成的角应用判定方法。
同旁内角的关系记成 “相等”，而非 “互补”，导致判断错误。
规避方法：
判定前先明确哪两条直线被哪条直线所截，确定角的类型（同位角、内错角、同旁内角）。
牢记三种判定方法中角的关系：同位角和内错角是 “相等”，同旁内角是 “互补”，可通过画图对比记忆。
推理过程中，每一步都要依据相应的判定方法或性质，确保逻辑严谨。
幻灯片 15：课堂小结
判定方法：
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
核心思路：通过角的数量关系（相等或互补）判定直线的位置关系（平行）。
幻灯片 16：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2 题（用不同方法判定平行）。
如图，∠1 = 70°，∠2 = 70°，判断 a 与 b 是否平行，说明理由。
提升作业：
如图，∠B + ∠C = 180°，∠A = ∠C，求证 AB∥CD。
结合生活实例，说明如何利用平行线的判定方法解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判
断两条直线是否平行；
能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
重点
难点
复习引入
问题1 两条不重合的直线的位置关系有哪几种？
问题2 怎样的两条直线平行？
问题3 上节课我们学了平行线的哪些内容？
相交（包括垂直）和平行两种.
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.
思考一下
由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？
●
一、落
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
利用同位角判定两条直线平行
b
a
（1）我们在画图过程中，什么角始终保持相等？
（2）直线a，b位置关系如何？
思考
●
1
2
1
2
a
b
A
B
由上面的操作过程，你能发现判定两直线
平行的方法吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简写成：同位角相等，两直线平行.
书写格式：
因为∠1=∠2(已知)，
所以l1∥ l2（同位角相等，两直线平行）.
1
2
l2
l1
A
B
判定方法1
(1) 图中若∠1=55°，∠2=55°直线AB与CD平行吗？为什么
所以AB//CD.（同位角相等，两直线平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
练一练
解：AB与CD平行.
因为∠1=∠2=55°（已知）
(2)如图，∠1=55°，∠2=125°，直线AB与CD平行吗 为什么
所以AB与CD （同位角相等，两直线平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
解：AB与CD平行.
因为∠2=125°（已知）
又因为∠1=55°
所以∠ANF=180°-∠2=55°
所以∠ ANF = ∠1
除了同位角，我们能否依据内错角或同旁内角判定两直线平行呢？
如图，由∠3=∠2，可推出a//b吗？如何推出？
所以 a//b（同位角相等，两直线平行）.
2
b
a
1
3
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
解： 因为 ∠ 3= ∠ 2（已知），
∠ 1= ∠ 3（对顶角相等），
所以 ∠ 1= ∠ 2（等量代换）
两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简写成：内错角相等，两直线平行.
2
b
a
1
3
因为 ∠3=∠2(已知)，
所以 a∥ b（内错角相等，两直线平行）.
书写格式：
判定方法2
如图，由∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗？
2
b
a
1
c
3
因为 ∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠3=180°（邻补角定义）
解：能
所以 ∠2=∠3（同角的补角相等）
所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简写：同旁内角互补，两直线平行.
2
b
a
1
3
书写格式：
因为 ∠1+∠2=180°（已知），
所以 a∥ b（同旁内角互补，两直线平行）.
判定方法3
平行线的判定方法:
1.同位角相等，两直线平行；
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补，两直线平行。
总结
我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段，以及作一个角等于已知角的方法．那么，如何过已知直线外一点作该直线的平行线呢
由平行线的判定方法，你自然会想到在直线AB和直线外一点P处，设法如图那样构造一对相等的同位角∠1和∠ 2，那样就可以作出所需要的平行线了.
由此，你能发现利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线的方法吗
思考
A
B
P
2
1
如图，已知直线AB，以及直线AB外一点P, 试利用尺规作图按下列作法准确地过点Р作直线AB的平行线:
(1)在直线AB上取一点Q，经过点Р和点Q，作直线MN;
(2)作∠MPD = ∠PQB，并使得∠MPD与∠PQB是一对同位角;
(3)反向延长射线PD，得到直线CD .
直线CD就是过点Р所要求作的直线AB的平行线.
试一试
B
A
C
D
M
Q
P
N
例题讲解
例1 如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°, ∠2=115° ，直线a、b平行吗？为什么
1
2
a
l
b
∵ ∠1=115°（已知）
∠2=115°（已知）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∴ a∥ b（内错角相等，两直线平行）
解：直线a、b平行
我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”
演绎推理是一种从一般到特殊的推理，借助于一些公认的基本事实及由此推导得出结论，通过判断，说明最后结论的正确.
例2 如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°, AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
A
B
C
D
解：AB与CD平行
∵ ∠B=60°（已知） ∠C=120°（已知）
∴ ∠B+∠C=180°（已知）
∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）
根据已知条件，无法判定AD与BC是否平行.
例3 如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，点D、F为垂足，试判断CD与EF是否平行.
解：
∵CD⊥AB（已知） ，EF⊥AB（已知），
∴∠ADC=∠AFE=90°.
∴CD∥ EF（同位角相等，两直线平行）
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
A
B
E
F
C
D
随堂练习
1.根据题图，在下列解答中，填上适当的理由：【教材P188 练习 第1题】
A
D
C
B
1
∴AB∥CD（ ）
（1）∵∠B=∠1（已知）
（2）∵∠D =∠1（已知）
∴ AD∥ BC（ ）
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
2.根据题图，在下列解答中，填空： 【教材P188 练习 第2题】
（1）∵∠BAD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）
（2）∵∠BCD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）
A
B
C
D
AD
BC
AB
DC
3.根据图中给出的条件，指出互相平行的直线和互相垂直的直线 【教材P188 练习 第3题】
50°
40°
40°
40°
a
b
c
d
e
解：
a∥ b，c∥ d，
a⊥e，b⊥e
4.如图，已知∠1=∠3， AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由？
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行).
解： CD∥ AB
证明过程如下：
∵ AC平分∠DAB（已知），
∴ ∠1=∠2（角平分线定义）.
又∵ ∠1= ∠3（已知），
∴ ∠2=∠3（等量代换），
知识点1 同位角相等，两直线平行
（第1题）
1.如图，, 是利用三角板和直尺所画的平行线，下列
选项能说明 的条件是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.如图，由 ，可以推出___//___.
（第2题）
返回
知识点2 内错角相等，两直线平行
3.如图， ，要使，则 的度数是( )
D
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4.如图,已知 ，则_________.
（第4题）
返回
5.［2024兰州中考改编］如图，小明在地图上量得 ，由此判断
幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是____________________
_____.
内错角相等，两直线
平行
（第5题）
返回
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
6.如图，一个弯形管道的拐角 ， ，管
道， 的关系是_________，依据是__________________________.
同旁内角互补，两直线平行
（第6题）
返回
7.如图，要使 ，只需添加一个条件，这个条件是________________.
（第7题）
返回
（第8题）
8.［教材P练习T变式］如图，已知 ，
，试说明： .
解： （已知），
_____（____________）.
（已知），
_________ ______，
（__________________________）.
对顶角相等
同旁内角互补，两直线平行
返回
知识点4 过直线外一点作已知直线的平行线的尺规作法
9.（4分）如图，是边上的一点，用尺规作出直线 ，使
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图所示， 即为所求.
返回
知识点5 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
10.在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线 ，
则直线与 的位置关系是______.
平行
返回
11.如图，木工师傅用角尺画平行线和 的依据是___________________
_________________________.
同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行
返回
12.如图，下列推理不正确的是( )
B
A.，
B.，
C.，
D.，
返回
13.［2025成都期末］如图，大头针把3根平放在桌上的细直木条分别固
定在、处，并使木条可以绕点、转动，若 ，
，只转动木条使其与平行，则木条 转动的度数至少是
( )
B
A. B. C. D.
返回
14. 在如图所示的四种
沿 进行折叠的方法中，不一定能判断
纸带两条边， 互相平行的是( )
C
A.如图①，展开后测得
B.如图②，展开后测得且
C.如图③，测得
D.在图④，展开后测得
返回
15.（8分）如图，在中，
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（1）在上截取一点，使，连结 ；
解：如图所示.
（2）过点作的平行线交于点 .
解：如图所示.
返回
16.（4分）如图，已知于点，于点， .试
说明： .
解：， ，
同理， ， ，即
.
，， .
返回
17.（4分）如图,已知平分, 平分
,且与互余.试说明： .
解：与互余, .
平分,平分 ,
, ，
， .
返回
18. 如图，一副三角板叠放在一起，其中点、 重合，
若固定三角板，改变三角板的位置（其中 点位置始终不变）.
（1）当_________ 时， ；
30或150
[解析] 点拨：如图①，当
时，；如图②，当
时， .
（2）当__________________ 时，三角板 有一条边与直角
边 平行.
15或45或135或165
返回
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b
相等, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b 互补, 两直线平行 ∵ (已知) ∴a∥b
a
b
c
1
2
4
3
课堂小结
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
谢谢观看！

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