资源简介

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4.2.3 平行线的性质
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：4.2.3 平行线的性质
副标题：探索平行线被截形成的角的关系
幻灯片 2：学习目标
掌握平行线的三条性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
能运用平行线的性质解决角度计算和简单的推理问题。
区分平行线的性质与判定，理解它们之间的联系与区别，培养逻辑思维能力。
幻灯片 3：复习回顾 —— 平行线的判定
展示表格：
判定方法
条件
结论
方法 1
同位角相等
两直线平行
方法 2
内错角相等
两直线平行
方法 3
同旁内角互补
两直线平行
提问：这些判定方法中，条件和结论分别是什么？如果已知两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角会有什么关系呢？
引入：本节课我们将反过来研究 —— 当两条直线平行时，被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角有什么性质。
幻灯片 4：平行线的性质 1—— 两直线平行，同位角相等
探究活动：
画出两条平行线 a、b，被第三条直线 c 所截，标注同位角∠1 和∠2。
用量角器测量∠1 和∠2 的度数，记录测量结果。
改变截线 c 的位置，再次测量同位角的度数，观察数据变化。
性质总结：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
符号表示：∵a∥b，∴∠1=∠2（∠1 与∠2 是同位角）。
图形展示：标注 a∥b，∠1=∠2，用箭头指示角的关系。
幻灯片 5：平行线的性质 2—— 两直线平行，内错角相等
推导过程：
已知：a∥b，c 是截线，∠1 与∠2 是内错角。
由 a∥b，得∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量代换）。
性质总结：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
符号表示：∵a∥b，∴∠1=∠2（∠1 与∠2 是内错角）。
图形展示：标注 a∥b，∠1=∠2（内错角），展示推导逻辑链。
幻灯片 6：平行线的性质 3—— 两直线平行，同旁内角互补
推导过程：
已知：a∥b，c 是截线，∠1 与∠2 是同旁内角。
由 a∥b，得∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠3+∠2=180°（邻补角互补），∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
性质总结：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
符号表示：∵a∥b，∴∠1+∠2=180°（∠1 与∠2 是同旁内角）。
图形展示：标注 a∥b，∠1+∠2=180°，用弧线标注角的和为平角。
幻灯片 7：平行线的性质与判定的区别与联系
区别：
类别
条件
结论
用途
判定
角的关系
直线平行
判定两直线是否平行
性质
直线平行
角的关系
由平行求角的度数或关系
联系：
两者都涉及同位角、内错角、同旁内角与平行线的关系。
判定是性质的逆过程，性质是判定的逆推理。
口诀记忆：“判定是由角定平行，性质是由平行定角”。
幻灯片 8：例题 1—— 利用同位角性质计算
题目：如图，a∥b，c 是截线，∠1=50°，求∠2 的度数。
图形：a∥b，∠1 与∠2 是同位角。
解答过程：
∵a∥b（已知），∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1=50°（已知），∴∠2=50°。
结论：∠2=50°。
幻灯片 9：例题 2—— 利用内错角性质推理
题目：如图，AB∥CD，BC 平分∠ABD，∠1=60°，求∠2 的度数。
图形：AB∥CD，BC 交 AB 于 B，交 CD 于 C，∠1 是∠ABC，∠2 是∠BCD。
解答过程：
∵AB∥CD（已知），∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵BC 平分∠ABD（已知），∠1=60°，∴∠ABC=∠1=60°。
∴∠2=60°。
结论：∠2=60°。
幻灯片 10：例题 3—— 利用同旁内角性质综合计算
题目：如图，AD∥BC，∠B=50°，∠D=130°，AB 与 CD 平行吗？为什么？
图形：AD 是截线，分别交 AB、CD 于 A、D；BC 是截线，分别交 AB、CD 于 B、C。
解答过程：
∵AD∥BC（已知），∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠B=50°（已知），∴∠A=180°-50°=130°。
∵∠D=130°（已知），∴∠A=∠D。
∵∠A 与∠D 是 AB、CD 被 AD 所截的内错角，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
结论：AB∥CD。
幻灯片 11：课堂练习 1—— 基础计算
题目：如图，l1∥l2，∠α=120°，则∠β=（ ）°。
图形：l1∥l2，∠α 与∠β 是同旁内角。
答案：60（∵l1∥l2，∴∠α+∠β=180°，∠β=60°）。
幻灯片 12：课堂练习 2—— 性质与判定综合
题目：如图，∠1=∠2，∠3=100°，求∠4 的度数。
图形：∠1 与∠2 是同位角（判定 a∥b），∠3 与∠4 是同旁内角（性质求角）。
解答过程：
∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。
∵a∥b（已证），∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠3=100°（已知），∴∠4=80°。
答案：80°。
幻灯片 13：课堂练习 3—— 实际应用
题目：一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后仍与原来的方向平行，若第一次拐弯的角度是 70°，则第二次拐弯的角度是多少？
图形：模拟公路拐弯，两次拐弯形成 “Z” 形或 “U” 形。
解答过程：
分两种情况：
两次拐弯方向相反（如先右拐 70°，再左拐 70°），第二次拐弯 70°。
两次拐弯方向相同（如先右拐 70°，再右拐 110°），第二次拐弯 110°。
答案：70° 或 110°。
幻灯片 14：易错点分析
常见错误：
混淆性质与判定，如将 “两直线平行，同位角相等” 说成 “同位角相等，两直线平行”。
忽略 “两直线平行” 的前提，直接使用性质，如对不平行的直线应用 “同位角相等”。
计算同旁内角时，误将 “互补” 当作 “相等”，导致结果错误。
规避方法：
做题时先明确是 “由平行求角”（用性质）还是 “由角定平行”（用判定），标注关键条件。
应用性质前，务必确认两条直线是否平行，无平行条件时不能使用。
记忆同旁内角性质时，结合 “平角 = 180°” 理解 “互补” 的含义，避免与内错角、同位角的 “相等” 混淆。
幻灯片 15：课堂小结
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
与判定的区别：性质是 “平行→角的关系”，判定是 “角的关系→平行”。
应用要点：明确前提（两直线平行），选择对应性质，结合已知条件推理计算。
幻灯片 16：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2、3 题（性质的直接应用）。
如图，AB∥CD，∠A=75°，∠C=40°，求∠E 的度数（提示：过 E 作平行线）。
提升作业：
已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C。
总结平行线性质与判定在解题中的综合应用技巧，举例说明。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判
断角相等或互补；
能够根据平行线的性质进行简单的推理.
重点
难点
复习旧知
根据右图，填空：
①如果∠1＝∠C，
　那么＿＿∥＿＿（ 　　　　　 　 ）
② 如果∠1＝∠B
那么＿＿∥＿＿（ 　　 　　 　 ）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，那么＿＿∥＿＿（ 　　 ）
AB
CD
EC
BD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
EC
BD
同旁内角互补，两直线平行
E
A
C
D
B
1
2
3
4
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问：通过上题可知平行线的判定方法是什么？
思考：反过来如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
复习旧知
新课探究
翻开你的数学练习横格本，每一页上都有许多互相平行的横线条，随意画一条斜线与这些横线条相交，找出其中任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角，你有什么发现？
2
1
∠1=∠2
试一试
平行线的性质探究
活动 如图所示如果直线a与直线b平行，那么直线l与直线a、b分别交于点O与点P，其中的同位角∠1与∠2必定相等吗？
1
2
a
b
l
O
P
平行线的性质探究
如图，如果我们以点O为顶点，画另一个角∠1′，使∠1′=∠2，这样就画出了过点O的另一条直线a′.由于∠1′=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”的基本事实，可以得到a′ ∥ b
1
2
a
b
l
a′
1′
O
P
经过点O有两条直线a、a′与b平行
经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
矛盾
所以 ∠1与∠2一定相等
平行线的性质1
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简写成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
l
书写格式：
∵ a∥b（已知）
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
如图，已知a//b,那么 2与 3相等吗？为什么
b
1
2
a
l
3
解： ∵ a∥ b (已知),
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1=∠3 (对顶角相等),
∴ ∠2=∠3 (等量代换).
b
1
2
a
l
3
平行线的性质2
性质：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简写成：两直线平行，内错角相等.
书写格式：
∵ a∥b（已知）
∴ ∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
如图，已知a//b，那么 2与 4有什么关系呢？为什么
b
1
2
a
l
4
思 考
∴ 2+ 4=180°（等量代换）.
解： ∵a//b （已知）
∴ 1= 2（两直线平行，同位角相等）
∵ 1+ 4=180°（邻补角的性质）
平行线的性质3
性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简写成：两直线平行，同旁内角互补.
书写格式：
∵ a∥b（已知）,
∴ ∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
b
1
2
a
l
4
总结
平行线的性质：
1.两直线平行，同位角相等；
2.两直线平行，内错角相等；
3.两直线平行，同旁内角互补。
思考
平行线的性质与判定有什么区别呢？
线的关系
角的关系
两直线平行
线的关系
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
角的关系
判定
平行线的性质
平行线的判定
性质
例题分析
例4 如图，已知直线 a∥ b，∠1=50°，求∠2的度数.
∴∠2=50°（等量代换）
解：∵a∥ b（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=50°（已知）
例5 如图，在四边形 ABCD 中 ，AB // CD，∠B = 60°，求∠C 的度数. 能否求得 ∠A 的度数？
根据题目的已知条件，无法求出 ∠A 的度数.
解：∵ AB// CD (已知)
∴ ∠B+∠C = 180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵ ∠B = 60° (已知)，
∴ ∠C = 180°-∠B = 120°(等式的性质).
例6 将如图所示的方格图中的图形向右平行移动 4 格，再向上平行移动 3 格，画出平行移动后的图形.
解：如图2所示的图形，即为原图形，以及原图形向右平行移动4格，再向上平行移动3格后的图形.
从图中可以看出，原图形中的每一个顶点及每一条边都向右平行移动了4格，再向上平行移动了3格.
图1
图2
随堂练习
1.根据题图，在下列解答中，填上适当的理由: 【教材P192 练习 第1题】
（1）∵AD // BC （已知），
∴ ∠1 = ∠B（ ）；
（2）∵AB // CD (已知)，
∴ ∠1 = ∠D（ ）.
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
2. 在下列解答中，填空:【教材P192 练习 第2题】
（1）∵AD // BC (已知)，
∴( ) + ∠ABC = 180°
(两直线平行，同旁内角互补);
（2）∵ AB // CD (已知)，
∴∠ABC + ( ) = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∠BAD
∠BCD
3.如图，两条平行直线a、b被第三条直线c所截.若∠1=52°，
那么∠2=_______, ∠3=_______, ∠4=_______, 【教材P192 练习 第3题】
1
2
3
4
a
b
c
52°
128°
52°
4.如图，将方格图中的图形向右平行移动3格，再向下平行移动4格，画出平行移动后的图形. 【教材P192 练习 第4题】
5.如图，已知直线a∥ b，∠3 = 131°，求∠1、∠2的度数.
阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式). 【教材P192 练习 第5题】
解 ∵ ∠3=131°（ ）
又∵∠3=∠1 （ ）
∴ ∠1=（ ）（ ）
∵a ∥ b（ ）
∴ ∠1+ ∠2=180°（ ）
∴ ∠2=（ ）（等式的性质）.
a
b
1
3
2
已知
对顶角相等
131°
等量代换
已知
两直线平行,同旁内角互补
49°
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.如图，直线，被直线所截，， ，则 等于( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2.［2025安阳月考］如图，于点，， ，则
_____.
（第2题）
返回
3.如图，，， ，则 _____.
（第3题）
返回
知识点2 两直线平行，内错角相等
（第4题）
4.［2024河南中考］如图，乙地在甲地的北偏东
方向上，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.［2024泸州中考］把一块含 角的直角三角板
按如图方式放置于两条平行线间，若 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
6.［2024湖北中考改编］如图，一条公路的两侧铺设了， 两条平
行管道，并有纵向管道连通.若 ，则 的度数是_____.
返回
7.如图，若，，则 _____.
（第7题）
返回
（第8题）
8.［2025长春期末］如图，若， ，
， ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
9.如图，万岁山武侠城的两条小路 ，则
( )
C
（第9题）
A. B. C. D.
返回
知识点4 图形的平行移动
（第10题）
10.如图，若图形 经过平移与下方阴影部分拼成一
个长方形，则平移方式可以是( )
A
A.向右平移4个格，再向下平移4个格
B.向右平移6个格，再向下平移5个格
C.向右平移4个格，再向下平移3个格
D.向右平移5个格，再向下平移4个格
返回
11.［2024陕西中考］如图，， ，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12. 光线在不同介质中的传播速度是不同
的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于
折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平
行的.如图， ， 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
13.如图，将一长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点、 的位
置，若 ，则 _____.
（第13题）
返回
14.某兴趣小组利用几何图形画出了螳螂的简笔画，如图，已知
，， ，则 _____.
返回
15.（4分）如图，画出方格纸中的图形向右平行移动3格，再向下平行
移动4格后的图形.
解：如图所示.
返回
16.（4分）如图，，，平分 ，
， ，求 的度数.
解：， ，
， .
， .
，
.
平分 ，
.
， .
返回
17.（8分） 如图①，， 是两个互相平行的镜面，
根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为 ，
则一定有.光线是由 镜面反射得到.
（1）判断与 的位置关系，并说明理由；
解： .理由如下：
， ，
， ，
.
， ，
， .
（2）如图②，镜面上有一光源，发射的光线交反射光线于点 ，
若，猜想与 的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：
， .
， .
返回
课堂小结
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
结论
结论
已知
谢谢观看！

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