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章末复习
第1章 有理数
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第 1 章 有理数 章末复习
副标题：系统梳理知识，巩固提升能力
幻灯片 2：复习目标
梳理有理数的相关概念，包括正数、负数、数轴、相反数、绝对值、有理数的分类等，明确各概念之间的联系与区别。
熟练掌握有理数的各种运算（加、减、乘、除、乘方）及混合运算的顺序和法则，能准确、快速地进行计算。
理解科学记数法、近似数的概念，能正确表示和运用。
会使用计算器进行有理数的计算，提高运算效率。
能运用有理数的知识解决实际问题，体会数学与生活的联系。
幻灯片 3：知识框架图
有理数
├── 基本概念
│ ├── 正数与负数
│ ├── 有理数的分类（整数、分数）
│ ├── 数轴（三要素：原点、正方向、单位长度）
│ ├── 相反数（a的相反数是-a）
│ └── 绝对值（|a|≥0，正数的绝对值是本身，负数的是相反数，0的是0）
├── 运算
│ ├── 加法（法则：同号、异号、与0相加）
│ ├── 减法（法则：减去一个数等于加它的相反数）
│ ├── 乘法（法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个数相乘）
│ ├── 除法（法则：除以非0数等于乘它的倒数；同号得正，异号得负）
│ ├── 乘方（定义：n个相同因数的积；符号法则）
│ └── 混合运算（顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；有括号先算括号内）
├── 扩展内容
│ ├── 科学记数法（a×10 ，1≤a<10，n是正整数）
│ └── 近似数（精确到哪一位；有效数字）
└── 工具使用：计算器（基本操作，进行各类运算）
幻灯片 4：要点回顾 —— 基本概念
正数与负数：大于 0 的数是正数，在正数前加 “-” 的数是负数，0 既不是正数也不是负数。它们可表示具有相反意义的量。
有理数的分类：
按定义：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
按性质：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。
绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 | a|。互为相反数的两个数绝对值相等。
幻灯片 5：要点回顾 —— 运算（1）
加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数相加得 0；一个数与 0 相加，仍得这个数。
减法法则：a - b = a + (-b)，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
加减法统一：有理数的加减混合运算可统一成加法运算，写成省略加号和括号的形式。
幻灯片 6：要点回顾 —— 运算（2）
乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，都得 0。
多个不为 0 的数相乘，负因数的个数是奇数时，积为负；是偶数时，积为正。
除法法则：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×(1/b)（b≠0）。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
幻灯片 7：要点回顾 —— 运算（3）
乘方：
定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，记作 a ，其中 a 是底数，n 是指数，结果叫幂。
符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算，从左到右依次进行。
如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。
幻灯片 8：要点回顾 —— 扩展内容与工具
科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10 的形式（其中 1≤a<10，n 是正整数）。n 的值等于原数的整数位数减 1。
近似数：
精确到哪一位：看四舍五入到哪一位。
有效数字：从左边第一个非 0 数字起，到末位数字止的所有数字。
计算器：熟悉数字键、运算符号键、功能键（如 CE/C、x 、± 等）的使用，按运算顺序输入可进行各类计算。
幻灯片 9：例题 1—— 概念辨析
题目：下列说法正确的是（ ）
A. 有理数就是正数和负数 B. 互为相反数的两个数的绝对值相等
C. 数轴上原点两侧的数互为相反数 D. 绝对值等于本身的数是正数
解答过程：
A 选项错误，有理数包括正数、0 和负数。
B 选项正确，互为相反数的两个数到原点的距离相等，即绝对值相等。
C 选项错误，数轴上原点两侧且到原点距离相等的数才互为相反数。
D 选项错误，绝对值等于本身的数是正数和 0。
答案：B
幻灯片 10：例题 2—— 运算计算
题目：计算：
（1）\((-12) + 15 + (-8) + 7\)
（2）\((-3)^2\times(-\frac{2}{3}) - 4\div(-\frac{1}{2})\)
解答过程：
（1）运用加法交换律和结合律：\([(-12) + (-8)] + (15 + 7) = (-20) + 22 = 2\)。
（2）先算乘方：\(9\times(-\frac{2}{3}) - 4\times(-2) = -6 + 8 = 2\)。
答案：（1）2；（2）2。
幻灯片 11：例题 3—— 科学记数法与近似数
题目：
（1）用科学记数法表示 13000000。
（2）近似数 3.04×10 精确到哪一位？有几个有效数字？
解答过程：
（1）13000000 的整数位数是 8，n=7，所以表示为\(1.3\times10^7\)。
（2）3.04×10 =304000，4 在千位，所以精确到千位；有效数字是 3、0、4，共 3 个。
答案：（1）\(1.3\times10^7\)；（2）千位，3 个。
幻灯片 12：例题 4—— 实际应用
题目：某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负。某天自 A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5。
（1）收工时距 A 地多远？
（2）若每千米耗油 0.2 升，从 A 地出发到收工时共耗油多少升？
解答过程：
（1）将所有数相加：\((+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)=41\)（千米）。
（2）先求总路程（各数绝对值之和）：\(10 + 3 + 4 + 2 + 8 + 13 + 2 + 12 + 8 + 5 = 67\)（千米），耗油量：\(67\times0.2 = 13.4\)（升）。
答案：（1）41 千米；（2）13.4 升。
幻灯片 13：课堂练习 1—— 概念与运算
题目：
（1）-5 的相反数是______，绝对值是______。
（2）计算：\(-2^2 + (-3)\times(-4) - (-1)^3\)。
答案：（1）5，5；（2）\(-4 + 12 - (-1) = 9\)。
幻灯片 14：课堂练习 2—— 科学记数法与近似数
题目：
（1）将 5670000 用科学记数法表示为______。
（2）近似数 2.8 万精确到______位，有______个有效数字。
答案：（1）\(5.67\times10^6\)；（2）千，2。
幻灯片 15：课堂练习 3—— 实际应用
题目：某商店一周的收入、支出情况如下表（收入为正）：
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
收支（元）
+1500
-200
-300
+400
-500
+600
-100
这一周商店的总利润是多少元？
答案：\(1500 - 200 - 300 + 400 - 500 + 600 - 100 = 1400\)（元）。
幻灯片 16：易错点总结
概念类：
混淆相反数和倒数的概念。
对绝对值的性质理解不清，如认为 | a|=a 一定成立（忽略 a 为负数的情况）。
有理数分类时遗漏 0。
运算类：
符号错误，如异号两数相加、乘除时符号判断错误。
运算顺序错误，尤其是乘方与乘除、加减的顺序。
对\(-a^n\)与\((-a)^n\)区分不清，导致乘方计算错误。
其他：
科学记数法中 a 的范围错误或 n 的值计算错误。
近似数的精确度判断错误，尤其是带单位或用科学记数法表示的数。
幻灯片 17：总结与寄语
总结：本章主要学习了有理数的概念、运算及相关应用，核心是掌握各种运算的法则和顺序，理解相关概念的内涵。
寄语：有理数是初中数学的基础，希望同学们通过本次复习，查漏补缺，熟练运用所学知识解决问题，为后续学习打下坚实的基础。
幻灯片 18：作业布置
基础作业：完成章末复习题 A 组（巩固基础知识和基本运算）。
提升作业：完成章末复习题 B 组（综合运用知识解决复杂问题）。
拓展作业：结合生活实际，编一道运用有理数知识解决的应用题并解答。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识结构
有理数的运算
正数
负数
相反意义的量
0
有理数
数轴
有理数的大小比较
相反数
绝对值
加减法
乘除法
乘方
法则
运算律
交换律
结合律
分配律
有理数
相关概念
有理数
数轴
相反数
绝对值
倒数
概念：整数和分数统称为有理数
分类
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
规定了原点、正方向、单位长度的直线
只有正负号不同的两个数称互为相反数.
规定 0 的相反数是 0 .
乘积是 1 的两个数互为倒数
一个正数的绝对值是它本身
0 的绝对值是 0
一个负数的绝对值是它的相反数
怎样比较有理数的大小？
利用数轴比较
利用法则比较
利用绝对值比较
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数
两个负数，绝对值大的反而小
符号 计算绝对值
加法 同号取
异号取
减法 减去一个数等于 乘法 同号取
异号取 除法 同号取
异号取 除以一个不等于 0 的数等于 相同的符号
绝对值相加
负
绝对值相乘
绝对值大的符号
绝对值相减
正
正
绝对值相除
加上这个数的相反数
乘以这个数的倒数
负
填写以下运算法则：
交换律：a+b＝b+a
结合律：(a+b)+c＝a+(b+c)
加法
乘法
运算律
交换律：ab＝ba
结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律：a(b+c)＝ab+ac
有理数的运算律有哪些？
有理数的混合运算应按照怎样的顺序进行？
1．先做乘方，再做乘除，最后做加减；
2．同级运算，按照从左至右的顺序进行；
3．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．
计算：
20+(-2)×10 +1 =
(20-1)×0 ÷(2+8) =
(20-1)× +20+(-2)×10 =
1÷( -33÷9) =
做一做
1
0
科学记数法是什么？
取近似数的方法有哪些？
一个绝对值大于 10 的数可以记成 的形式，其中
n 是正整数．像这样的记数法叫做科学记数法．
四舍五入法、进一法、去尾法
释疑解惑
1．为什么要引入负数？举出实例说明正数和负数在表示相反意义的量时的作用．
现实生活中存在很多个有相反意义的量，如：向东5米与向西5米，零上2℃与零下2℃，收入100元与支出100元，低于海平面150米与高出海平面800米……用正数表示其中一种量，负数表示和它相反意义的量，这样既简单又明白．例如吐鲁番盆地的海拔高度为-154.31m，表示吐鲁番盆地的海拔高度是低于海平面154.31m．
2．数的范围从正整数、0和正分数扩充到有理数后，增加了哪些数？减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？
增加了负整数、负分数，解决了原来“小数不能减去大数”的问题，现在任何有理数都可以进行减法运算．
3．怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样用数轴解释绝对值和相反数？
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不是都表示有理数，这一点，以后我们将要学习．数轴是一条特殊的直线，是规定了正方向、原点和单位长度的直线．原点、正方向、单位长度也称数轴的三要素，缺一不可．
数轴上与原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数．
4．有理数的加法与减法有什么关系？乘法与除法呢？
有理数的减法可以转化为加法，转化的桥梁是相反数，减去一个数等于加上这个数的相反数，同样，除法可以转化为乘法，转化的桥梁是倒数，除以一个数（不为0），等于乘这个数的倒数．有理数的混合运算都可以转化为加法与乘法．
随堂练习
例1 填空：
（1）在知识竞赛中，如果 +10分表示加10分，那么扣20分可表示成_______；
（2）某人转动转盘，如果沿逆时针转5圈记作 +5圈，那么沿顺时针转12圈可表示成_______；
（3）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准0.02g记作 +0.02g，那么 -0.03g表示_______________ .
-20分
-12圈
低于标准0.03g
例2 填空：
（1）若m，n互为相反数，则m+n ＝______；
（2）-2006的倒数是________；
（3）-（-3）= ______；
（4）-|-2|的倒数是_______.
0
3
例3 如图，数轴上两点所表示的两数（ ）
A.和为正数 B.和为负数
C.积为正数 D.积为负数
D
例4 下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A.1＋（-2） B.1-（-2）
C.1×（-2） D.1÷（-2）
C
例5 如果a<0,b>0,a+b<0，那么下列关系式中正确的是（ ）
A.a>b>-b>-a B.a>-a>b>-b
C.b>a>-b>-a D.-a>b>-b>a
D
-1
3
-2
-a>b
例7 神舟六号飞船，在平安飞行115小时23分后重返神州. 用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是______________秒 （精确到千位）.
分析：a×10x中a的取值范围是1≤a<10，底数10的指数n等于所表示的整数位数减去1.
4.15×105
115×60×60+23×60=415380≈415000（秒）
例8 (-8)2014+(-8)2013能被下列数整除的是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
C
=(-8)2013×[(-8)+1]
=(-8)2013×(-7)
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 有理数及其分类
1.［2025安阳模拟］小东在妈妈的微信零钱明细中看到，收入2 000元
被记作元，则 元表示_____________.
支出1 600元
返回
2.有下列说法：①有理数的个数是无限的；②整数包括正整数和负整数；
③正有理数和负有理数统称有理数；④负分数是有理数.其中正确说法
的序号是______.
①④
返回
3.把下列各数填入相应的大括号内：
，，，，， ，
，0.
正分数集：{__________________…}；
整数集：{________________…}；
负有理数集：{_____________________…}；
非负数集：{_____________________________…}.
，，
，，0
，，
，，，，0
返回
考点2 数轴、相反数、绝对值、倒数
4.下列说法中，正确的序号为______.
的相反数是；一定是负数； 既没有倒数也没有相反
数；④绝对值大于它本身的数是负数.
①④
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5.有理数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，这三个数中绝对
值最大的是___.
返回
6.填空：
（1） ___；
（2） ____；
（3） 的倒数是__；
（4） ____.
2
7.5
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7.已知是数轴上的一点，且点到原点的距离为1，把点 沿数轴向右
移动3个单位长度得到点，则点 表示的数是______.
4或2
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考点3 有理数的大小比较
8.下列四个数中，比 小的数是( )
D
A.0 B. C. D.
返回
9.［2025忻州期末］如果，， ，那么下列比较大小
中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
10.比较大小（填“ ”“”或“ ”）
（1）___ ；
（2）___ .
返回
11.（4分）某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，
题目在背景屏幕上显示如图，请回答图中的问题.
解：，，最小的正整数是1， 的最小
值是，0的相反数是0，比大的数是 .将这些数在数轴上表示出来，
如图.
所以 .
返回
考点4 有理数的运算
12.下列各组数中，结果相等的是( )
A
A.和 B.和 C.和 D.和
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13.数轴上，，三点表示的有理数分别为，，，若 ，
， ，则下列数轴符合题意的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
14.已知，互为相反数，，， 互为倒数，则
的值为___.
0
返回
15.［2025郑州期末］若，则 内填的运算符号是___.
返回
16. 定义两种新运算“ ”和“”： ，
，则 _____.
返回
17.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）.
经过 ，这种细菌由1个可分裂为____个.
64
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18.（12分）［2025南阳期末］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
返回
19.（12分）小亮家新换了一辆新能源汽车，他连续记录了一周每天行
驶的路程（如下表）.以为标准，超过记为“ ”，不足
记为“-”，刚好 记为“0”.
星期 一 二 三 四 五 六 日
0
（1）小亮家本周行驶的路程最多的一天比最少的一天多____ .
（2）小亮家的汽车本周一共行驶了_____ .
50
400
[解析] 点拨： .
（3）已知汽油车每行驶 需用汽油7升，油价为7.5元/升，而新能
源汽车每行驶 耗电15度，每度电0.8元，换成新能源汽车后这一
周的行驶费用比原来节省多少钱？
解：汽油车的费用为 （元），
新能源汽车的费用为（元），
（元）.
答：换成新能源汽车后这一周的行驶费用比原来节省162元.
返回
考点5 科学记数法与近似数
20.下列说法正确的是( )
D
A.近似数2.8和2.80表示的意义一样 B.6.7万精确到万位
C.0.680精确到百分位 D.300精确到个位
返回
21.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为
是计算机系统算力的一种度量单位 ，整体投产后，
累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到
，则 的值为_________.
返回
22.地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示约为 ，则
原数是_________.
110 000
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23.一个小数“四舍五入”得到的近似数是 ，这个小数最小是_____，
最大是_____.
6.75
6.84
返回
二、思想方法演练
思想1 转化思想
24.若，均为有理数，且，则 _____.
返回
思想2 数形结合思想
25.（8分）如图，以 为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的
点，，刚好对着直尺上的刻度2，8和10.设点，， 所表示的数
的和是，该数轴的原点为 .
（1）点到点之间有____个单位长度；若点表示的数是，则点
表示的数为____；
16
15
（2）若点，所表示的数互为相反数，直接写出此时数轴的原点 对
应直尺上的刻度，并求此时 的值.
思想3 分类讨论思想
解：因为点，所表示的数互为相反数，所以数轴的原点 对应直尺上
的刻度5.
此时点，，所表示的数分别是 ，6，10，因此
.
返回
26.有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若 ，则下
列结论中正确的是( )
B
A. B. C. D.
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