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章末复习
第3章 图形的初步认识
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第 3 章 图形的初步认识 —— 章末复习
副标题：梳理知识脉络，强化应用能力
幻灯片 2：本章知识框架
图形的初步认识
├── 立体图形与平面图形
│ ├── 立体图形（柱体、锥体、球等）
│ ├── 平面图形（三角形、四边形、圆等）
│ └── 立体图形与平面图形的转化（视图、展开图）
├── 点、线、角
│ ├── 点和线（概念、表示、线段长短比较）
│ ├── 角（概念、表示、度量、比较、运算）
│ └── 余角和补角（定义、性质、计算）
└── 基本性质与应用
├── 直线的性质（两点确定一条直线）
├── 线段的性质（两点之间线段最短）
└── 角的平分线、线段中点的性质
幻灯片 3：核心知识点 1—— 立体图形与平面图形
立体图形：
分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球。
特征：各部分不都在同一平面内，有立体感。
平面图形：
分类：多边形（三角形、四边形等）、圆、扇形等。
特征：各部分都在同一平面内。
转化关系：
立体图形→视图：主视图、俯视图、左视图（从不同方向看立体图形得到平面图形）。
立体图形→表面展开图：沿着棱剪开立体图形得到平面图形（如正方体展开图有 11 种）。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 视图与表面展开图
三视图：
绘制原则：长对正、高平齐、宽相等。
应用：根据三视图还原立体图形，判断立体图形的形状和尺寸。
表面展开图：
常见立体图形的展开图：
圆柱：2 个圆 + 1 个长方形（长方形的长 = 底面圆周长）。
圆锥：1 个圆 + 1 个扇形（扇形弧长 = 底面圆周长）。
棱柱：2 个多边形 + 若干长方形。
棱锥：1 个多边形 + 若干三角形（三角形有公共顶点）。
幻灯片 5：核心知识点 3—— 点、线、角的概念
点：表示位置，无大小，用大写字母表示（如点 A）。
线：
线段：有 2 个端点，可测量长度，用端点字母或小写字母表示（如线段 AB、线段 a）。
射线：有 1 个端点，向一端无限延伸，用端点和射线上一点表示（如射线 OA）。
直线：无端点，向两端无限延伸，用直线上两点或小写字母表示（如直线 AB、直线 l）。
角：
定义：由两条有公共端点的射线组成（静态）；一条射线绕端点旋转形成（动态）。
表示：三个大写字母、一个大写字母（顶点唯一）、数字、希腊字母（如∠AOB、∠1、∠α）。
度量：单位为度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
幻灯片 6：核心知识点 4—— 线段与角的比较和运算
线段：
比较方法：叠合法（重合端点，看另一端位置）、度量法（测量长度比较）。
运算：线段的和、差（如 AC=AB+BC 或 AC=AB-BC）。
中点性质：若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=1/2AB。
角：
比较方法：叠合法（重合顶点和一边，看另一边位置）、度量法（测量度数比较）。
运算：角的和、差（如∠AOC=∠AOB+∠BOC）。
平分线性质：若 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。
幻灯片 7：核心知识点 5—— 基本性质与应用
直线性质：两点确定一条直线（应用：固定物体至少需 2 个点）。
线段性质：两点之间线段最短（应用：求最短路径）。
余角和补角：
定义：互余（和为 90°）、互补（和为 180°）。
性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
计算：余角 = 90°-∠α（∠α<90°）；补角 = 180°-∠α（∠α<180°）。
幻灯片 8：典型例题 1—— 立体图形的视图与展开图
题目：如图是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是（ ），它的表面展开图由（ ）组成。
（三视图：主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带点的圆）
解答：
由三视图特征可知，该立体图形是圆锥。
表面展开图由 1 个圆（底面）和 1 个扇形（侧面）组成。
答案：圆锥；1 个圆和 1 个扇形。
幻灯片 9：典型例题 2—— 线段的计算
题目：已知线段 AB=10cm，点 C 是 AB 上一点，BC=4cm，点 M 是 AC 的中点，求线段 AM 的长度。
解答：
AC=AB-BC=10-4=6cm。
因为 M 是 AC 中点，所以 AM=1/2AC=3cm。
答案：3cm。
幻灯片 10：典型例题 3—— 角的运算与余补角
题目：已知∠A=50°，∠B 是∠A 的补角，∠C 是∠B 的余角，求∠C 的度数。
解答：
∠B=180°-∠A=180°-50°=130°。
∠C=90°-∠B？（错误，∠B=130°>90°，无余角，修正思路：题目应为∠B 是∠A 的余角）
修正后：∠B=90°-50°=40°，∠C=90°-∠B=50°。
答案：50°（按修正后逻辑）。
幻灯片 11：综合应用题 —— 图形的转化与计算
题目：一个正方体的表面展开图如图所示，其中一个面标有 “数” 字，与 “数” 字所在面相对的面上的字是什么？（展开图：“数” 在中间一行左数第 2 个，周围分别是 “学”“好”“玩”“乐”“趣”，呈 “一四一” 型）
解答：
正方体展开图中，相对的面不相邻。“一四一” 型中，中间一行与上下行的面分别相对。
“数” 在中间一行，与之相对的是 “趣”（假设上下行分别是 “学” 和 “趣”）。
答案：趣。
幻灯片 12：易错点总结
视图还原错误：仅凭单个视图判断立体图形（如主视图是长方形，可能是圆柱或棱柱）。
规避：结合三个视图综合判断，注意不同立体图形的视图特征差异。
线段中点位置错误：认为中点可以在线段延长线上（实际中点必在线段上）。
规避：牢记中点定义，画图时明确中点在原线段上。
余补角计算错误：忽略角的范围（如求钝角的余角）。
规避：计算前判断：锐角才有余角，小于 180° 的角才有补角。
单位换算错误：度分秒换算时用十进制（正确应为六十进制）。
规避：1°=60′，1′=60″，换算时按 “满 60 进 1，借 1 当 60” 操作。
幻灯片 13：章末测试题（精选）
选择题：
下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）
A. 田字形 B. 一四一型 C. 凹字形
点 P 是线段 AB 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. AP=PB B. AB=2AP C. AP=2AB
填空题：
30.2°=（ ）°（ ）′；75°30′的余角是（ ）°。
两点之间的所有连线中，（ ）最短，它的长度叫做两点间的（ ）。
解答题：
一个角的余角比它的补角的 1/3 还小 10°，求这个角的度数。
幻灯片 14：测试题答案与解析
选择题：
B（解析：田字形和凹字形无法折叠成正方体）。
C（解析：P 是中点，则 AP=PB=1/2AB，AB=2AP）。
填空题：
30°12′；14.5°（解析：30.2°=30°+0.2×60′=30°12′；75°30′=75.5°，余角 = 90-75.5=14.5°）。
线段；距离。
解答题：
设这个角为 x°，则 90-x=1/3 (180-x)-10，解得 x=60。答案：60°。
幻灯片 15：复习建议
梳理知识：结合知识框架，回顾每个知识点的定义、性质和应用，形成体系。
强化练习：针对易错点（如视图还原、单位换算）进行专项练习，熟练掌握解题方法。
动手操作：通过折叠正方体展开图、用三角尺拼角等实践活动，提升空间想象能力。
总结方法：归纳线段和角的计算技巧（如利用中点、平分线转化关系）、余补角的解题步骤，提高解题效率。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识结构
图形的初步认识
立体图形
平面图形
投影
中心投影
平行投影
表面展开图
两点之间线段最短
两点确定一条直线
视图
点和线
角
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
整合归纳
从不同方向看立体图形与立体图形的展开图都体现了立体图形与平面图形的相互转化，这需要一定的空间想象能力和动手操作能力，并熟悉立体图形与平面图形相互转化时的对应关系.
立体图形与平面图形的相互转化
类型1 从不同方向看立体图形
1. 如图是某几何体从正面看，从左面看和从上面看得到的图形，则其侧面积为（ ）
A. 6 B. 4π
C. 6π D. 12π
直径为2
高为3
2π×3＝6π
C
类型2 几何图形的展开与折叠
2. 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为（ ）
B
线段、角的有关计算
在线段或角的计算问题中，要注意中点，等分点，角的平分线，等分线及和、差、倍、分关系，将要求的线段或角转化为已知线段或角的关系式，从而求解.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
解：因为AB＝4.8cm，C是AB的中点，
所以AC＝BC＝ AB＝2.4cm，
CE＝ AC＝0.8cm.
因为D是CB的中点，
所以CD＝ BC＝1.2cm.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
当点E在点C左侧时，如图①，则 DE＝CE＋CD＝2 cm.
当点E在点C右侧时，如图②，则 DE＝CD－CE＝0.4 cm.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
解：因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC .
所以∠AOB＝∠COD.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为∠AOB∶∠AOC＝2∶9，
所以∠AOB＝ ∠AOC ＝ .
所以∠COD＝20°.
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋20°＝110°.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOE＝ ∠AOD ＝ .
所以∠BOE＝∠AOE－∠AOB＝55°－20°＝35°.
类型3 余角和补角的有关计算
5. （1）若互余两角的差为20°，求这两个角中较小的角的补角的度数；
解：（1）设这两个角中较小的角的度数为x°，则较大的角的度数（90－x）°.
由题意，得（90－x）－x＝20.
解得x＝35，
所以补角为180°－35°＝145°.
即这两个角中较小的角的补角是145°.
（2）若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的余角的度数.
类型3 余角和补角的有关计算
解：（2）设这个角的度数为x°，则这个角的余角是（90－x）°，补角是（180－x）°.
由题意，得
90－x＝ （180－x）－4
解得x＝8，
所以余角为90°－8°＝82°.
即这个角的余角度数为82°.
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 立体图形与平面图形
1.［2025信阳期末］下列几何体中，是棱柱的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025长春期末］如图所示的图形中，属于多边形的有___个.
3
返回
考点2 投影与视图
3.下列选项中各投影是平行投影的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如图，该几何体的左视图是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三
视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是___.
5
返回
考点3 立体图形的表面展开图
6.如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
B
（第6题）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.圆锥
返回
7.下列平面图形能围成正方体的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第8题）
8.［2024济宁中考］如图是一个正方体的展开图，把展开
图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是
( )
D
A.人 B.才 C.强 D.国
返回
考点4 点与线
9.下列几何图形与相应语言描述相符的是( )
D
A.图①，延长线段到点
B.图②，点在射线 上
C.图③，直线与的延长线相交于点
D.图④，射线和线段 没有交点
返回
10.（12分）［2025濮阳期末］如图，已知， ，
， 四点，请按下列要求画图（尺规作图，保留
作图痕迹）.
（1）画直线，画射线 ；
解：如图所示.
（2）连结并延长到点，使 ；
解：如图所示.
（3）在线段上取点，使 的值最小.
解：如图所示.
返回
考点5 线段的计算
11.如图，点为线段上一点，，为的中点， ，
则 的长为( )
A
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
返回
12.在线段的延长线上取一点，使，再在 的延长线
上截取，则线段的长是线段 的长的( )
B
A. B. C. D.
返回
13.（12分）如图，为线段上一点，，，,
分别是, 的中点.
（1）的长为___ ；
6
（2）求 的长；
解：因为， ，所以
，
又因为是 的中点，
所以 .
所以 .
（3）若点在直线上，且，求 的长.
解：当点在点的右侧时， ；
当点在点的左侧时， .
综上所述，的长为或 .
返回
考点6 角
14.如图，在灯塔处测得轮船位于北偏西 的方
向上，轮船位于南偏东 的方向上，轮船 在
的平分线上，则在灯塔处观测轮船 的方向
为( )
C
A.南偏东 B.南偏东 C.北偏东 D.北偏东
返回
15.一个角和它的补角的度数比为 ，则这个角的余角的度数为_____.
返回
16.将一副三角板如图所示叠放在一起，若 ，则
______.
返回
17.（8分）
（1）如图，已知，请你借助尺规，以 为一
边，在的左侧作，使
（不写作法，保留作图痕迹）；
解：如图所示.
（2）在（1）的基础上，若 ,为 的平分线，求
的度数.
解：因为 ，，所以 ，
所以 ，
因为平分，所以 ，所以
.
返回
18.（8分）如图，是平角，， 分别
是， 的平分线．
（1）当 时，求 的度数；
解：因为，分别是， 的平分线，
所以， .
因为 ，
所以，
所以 .
（2）当 时，求 的度数.
解：因为，分别是， 的平分线，
所以, ,所以
.
所以当 时， .
返回
二、思想方法演练
思想1 数形结合思想
19.（8分）如图，已知点、在数轴上对应的数分别为和14，点 、
在线段上，且，点、分别是、 的中点.
（1）若，则线段 的长为____.
10
（2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化.如
果不变，请求出 的长；如果变化，请说明理由.
解：不发生变化，理由：因为， ，所以
，
因为、分别是、的中点，所以， ，
所以，所以 .
返回
思想2 分类讨论思想
20.（8分）如图，已知 ， 是
内的一条射线，且 .
（1） 的度数为_____；
（2）过点作射线，若，求 的度数.
解：因为，所以 .当在 内时，
；当在 外时，
.故的度数为 或 .
返回
思想3 方程思想
21.（4分）如图所示，点在线段上，是的中点，是 的中点，
若，且，求 的长.
解：因为是的中点，是 的中点，
所以, .
所以 .
又因为 ，
所以 .
由，可设,则 ,
所以,解得.所以 ,所以
.
返回
课堂小结
通过本节课的复习，你还有哪些问题？
谢谢观看！

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