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章末复习
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第 4 章 相交线和平行线
副标题：章末复习 —— 整合知识，提升能力
幻灯片 2：本章知识框架
相交线和平行线
├── 相交线
│ ├── 对顶角（定义、性质：对顶角相等）
│ ├── 邻补角（定义、性质：和为180°）
│ └── 垂线（定义、性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）
├── 平行线
│ ├── 概念（同一平面内，不相交的两条直线）
│ ├── 判定方法（同位角相等；内错角相等；同旁内角互补）
│ └── 性质（两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）
└── 三线八角（同位角、内错角、同旁内角的识别）
幻灯片 3：核心知识点 1—— 相交线
对顶角与邻补角：
对顶角：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角（有公共顶点，两边互为反向延长线），性质是对顶角相等。
邻补角：两条直线相交形成的四个角中，相邻的两个角（有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线），性质是和为 180°。
区别：对顶角无公共边，邻补角有公共边；对顶角相等，邻补角互补。
垂线：
定义：两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条是另一条的垂线。
性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短（点到直线的距离是垂线段的长度）。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 三线八角的识别
同位角：位置特征为 “截线同旁，被截线同侧”，形象如 “F” 形。
内错角：位置特征为 “截线两侧，被截线之间”，形象如 “Z” 形。
同旁内角：位置特征为 “截线同旁，被截线之间”，形象如 “U” 形。
识别技巧：先确定截线（与两条直线都相交的直线），再根据位置特征判断角的类型，避免混淆不同截线形成的角。
幻灯片 5：核心知识点 3—— 平行线的判定与性质
类别
条件
结论
应用场景
判定
同位角相等
两直线平行
由角的关系判断直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
性质
两直线平行
同位角相等
由直线平行求角的度数或关系
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
联系与区别：判定是 “由角定平行”，性质是 “由平行定角”，两者互为逆过程，均依赖 “三线八角” 的位置关系。
幻灯片 6：典型例题 1—— 相交线相关计算
题目：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB，∠EOD=30°，求∠AOC 的度数。
图形：AB 与 CD 相交于 O，OE 垂直 AB 于 O，∠EOD=30°。
解答：
∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°（垂直定义）。
∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=∠AOE-∠EOD=90°-30°=60°，∴∠AOC=60°。
答案：60°
幻灯片 7：典型例题 2—— 平行线的判定
题目：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证 AB∥CD。
图形：直线 EF 截 AB 于 E，截 CD 于 F，∠1=∠AEF，∠2=∠EFD，∠3=∠BEF，∠4=∠EFC。
解答：
∵∠1=∠2，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）。
∵∠3=∠4，∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）。
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）。
结论：AB∥CD
幻灯片 8：典型例题 3—— 平行线的性质应用
题目：如图，AB∥CD，∠B=70°，∠D=30°，求∠E 的度数。
图形：AB∥CD，BE 交 CD 于 F，∠B=70°，∠D=30°，∠E 是∠BEF。
解答：
∵AB∥CD，∴∠B=∠EFD=70°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠EFD 是△EFD 的外角，∴∠EFD=∠E+∠D（外角性质）。
∴∠E=∠EFD-∠D=70°-30°=40°。
答案：40°
幻灯片 9：典型例题 4—— 判定与性质综合应用
题目：如图，AD∥BC，∠A=∠C，求证 AB∥CD。
图形：AD、BC 为截线，AB、CD 为被截线，AD∥BC，∠A=∠C。
解答：
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°。
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
结论：AB∥CD
幻灯片 10：易错点分析
对顶角识别错误：将邻补角当作对顶角，忽略 “两边互为反向延长线” 的特征。
规避：画图标注角的两边，判断是否符合对顶角定义。
垂线性质混淆：忘记 “在同一平面内” 的前提，或误将 “垂线段” 当作 “距离”。
规避：强调平面内的限制，明确距离是垂线段的长度（数量）。
三线八角判断失误：未明确截线，导致角的类型判断错误（如将不同截线的角归为同位角）。
规避：先确定截线，再按 “截线位置 + 被截线位置” 的标准判断。
判定与性质混用：如用 “两直线平行，同位角相等” 证明平行，或用 “同位角相等，两直线平行” 求角。
规避：标注条件类型（“角的关系” 或 “平行”），区分 “由角定平行”（判定）和 “由平行定角”（性质）。
幻灯片 11：章末测试题（精选）
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 对顶角互补 B. 垂线段比斜线段短 C. 内错角相等 D. 不相交的两条直线是平行线
如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2=（ ）
A. 50° B. 130° C. 40° D. 100°
填空题：
点 P 到直线 l 的距离是 5cm，过点 P 画直线 l 的平行线，这样的直线有（ ）条。
∠α 的对顶角是 55°，则∠α 的邻补角是（ ）°。
解答题：
如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠D，求证∠B=∠C。
幻灯片 12：测试题答案与解析
选择题：
B（解析：对顶角相等，A 错；内错角相等需前提平行，C 错；平行线需同一平面内，D 错）。
B（解析：∠1 的同位角与∠2 互补，∠2=180°-50°=130°）。
填空题：
1（解析：过直线外一点有且只有一条平行线）。
125（解析：∠α=55°，邻补角 = 180°-55°=125°）。
解答题：
∵∠1+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵∠A=∠D，∴∠D=∠C，∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行），∴∠B=∠C（两直线平行，同位角相等）。
幻灯片 13：复习建议
梳理体系：结合知识框架，默写相交线、平行线的核心概念、性质和判定，确保每个知识点清晰。
专项突破：针对易错点（如三线八角识别、判定与性质混淆）进行集中练习，总结解题技巧。
综合应用：多做判定与性质结合的证明题，规范推理步骤（“∵条件，∴结论”），培养逻辑链。
画图辅助：复杂题目中，用不同颜色标注角和直线，明确截线与被截线，通过图形直观分析关系。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
相交线和平行线
相交线
对顶角相等
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
平行线
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
本章回顾
1.对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线，这样的两个角互为对顶角.（如图中∠1和∠2）
对顶角的性质：对顶角相等.
注意：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
2.邻补角：两条直线相交所形成的4个角中，有公共点且有一条公共边的两个角是邻补角（如图中∠1和∠2）
邻补角的性质：同角的补角相等.
1
2
4
3
∠1和∠2互补， ∠1和∠4互补
所以∠2= ∠4（同角的补角相等）
3.垂线性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
（1）垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.
联系：具有垂直于已知直线的共同特征 (垂直的性质).
（2）两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
4.平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥ b.
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：
①相交；②平行.
（2）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）.
5.平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
注意：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性.
（2）平行具有传递性，即如果 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c.
6.如何判别同位角、内错角、同旁内角
方法：判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.
如图，判断下列各对角的位置关系：
(1)∠1与∠2；
(2)∠1与∠7；
(3)∠1与∠BAD；
(4)∠2与∠6；
(5)∠5与∠8.
∠5与∠8对顶角.
∠1与∠2是同旁内角；
∠1与∠7是同位角；
∠1与∠BAD是同旁内角；
∠2与∠6是内错角；
（1）同位角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（2）内错角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（3）同旁内角互补，两直线平行（在同一平面内）；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
补充：
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
7.平行线的判定
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）；
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）；
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）.
8.平行线的性质
如图，点A 、B、C在同一条直线上，∠1 = 53°，∠2 = 37°，则 CD 与 CE 垂直吗？
CD与CE垂直
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠BEF = 40°，∠CEF = 85°，则 ∠AED =_______°.
125
第1题图
第2题图
A 组
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，EF 平分 ∠AED，∠DEF = 55°，则 ∠BEC =________°
如图，某地为了加快乡村振兴，要从村庄 Р 修一条村道，使村民自村庄 Р 出发到公路的距离最短，试画出这条村道，并说明理由.
垂线段最短
110
第3题图
第4题图
如图，经过直线 a 外一点 P 的 4 条直线中，与直线 a 平行的直线是________.
PB
如图，如果 AB // CD，那么 ∠A 与∠C________.
互补
第5题图
第6题图
如图，如果∠1 =∠3，那么直线 a 与 b 平行吗？当∠2与∠3 满足什么关系时，直线 a 与 b 平行？
直线 a 与 b平行
满足互补关系时直线 a 与 b 平行
8.如图，a、b、c、d均为直线. 如果希望a∥b，那么需要∠1至∠5中哪两个角相等？如果希望c∥d，那么需要∠1至∠5中哪两个角互补？
b
a
c
d
5
4
1
2
3
如果a∥ b则∠3=∠4
如果c∥ d则∠1与∠4互补
B 组
9.如图，已知平行直线 a、b 被直线 l 所截. 如果∠1 = 75°，那么∠2=_____°，∠3 =_____°，∠4 =_____°，∠5 =______°，∠6=______°，∠7=____°，∠8=____°.
105
75
105
75
105
75
105
l
10.如图，直线 a // b，∠3 = 85°，求 ∠1、∠2 的度数，阅读下面的解答过程，并填空 (理由或数学式).
解 : ∵a // b （ ），
∴∠1 = ∠4（ ）.
∴∠4 = ∠3（ ），
∠3 = 85°（ ）
∴ ∠1=（ ）（等量代换）.
又∵∠2 +∠3 = 180°，
∴∠2 =（ ）（等式的性质）.
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
已知
85°
95°
11.如图，已知 AC⊥AE，BD⊥BF，∠1 = 35°，∠2 = 35°，则 AC 与BD 平行吗？AE 与 BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解 ∵∠1 = 35°（ ），∠2 = 35°（ ） ，
∴ ∠1 = ∠2（ ），
∴（ ）//（ ）（ ）.
又∵ AC⊥ AE（ ），
∴∠EAC = 90°，
∴∠EAB = ∠EAC+∠1 =（ ）（等式的性质）.
同理可得 ∠FBG = ∠FBD +∠2 =（ ）.
∴∠EAB =（ ）（等量代换），
∴（ ）//（ ）（ ）.
已知
等量代换
AC
BD
同位角相等，两直线平行
已知
125°
125°
∠FBG
AE
BF
同位角相等，两直线平行
已知
12.如图，如果 AB // CD，∠B = 37°，∠D = 37°，那么 BC 与 DE 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解: ∵AB // CD（ ） ，
∴∠B = （ ）（ ）.
∵∠B =∠D = 37°（ ），
∴（ ） = ∠D（ ） ，
∴BC // DE（ ）.
已知
∠C
两直线平行，内错角相等
已知
∠C
等量代换
内错角相等，两直线平行
13.如图，我们知道，2 条直线相交只有 1 个交点，3 条直线两两相交最多能有 3 个交点，4 条直线两两相交最多能有 6 个交点，5 条直线两两相交最多能有 10 个交点，6 条直线两两相交最多能有 15 个交点……n 条直线两两相交呢？
n(n-1)个交点
C 组
14.潜望镜中，两面镜子互相平行放置. 你知道为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行吗？
1
2
3
4
5
6
所以两条光线平行（内错角相等，两直线平行）
解： ∵∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵∠5=180°-∠1-∠2
∠6=180°-∠3-∠4
∴∠5=∠6
15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢
此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.
你知道其中的原因吗 你是否还能发现其他图形呢 画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论.
A
B
C
D
E
F
G
(1)
∴ ∠B=∠E
A
B
C
P
M
N
O
(2)
∴ ∠B + ∠PMN=180°
（1）
∵ AB∥ DE
∴ ∠B = ∠DGC
∵ BC∥ EF
∴ ∠DGC = ∠E
（2）
∵ AB∥ PM
∴ ∠B + ∠BOP=180°
∵ BC∥ MN
∴∠PMN = ∠BOP
相等
互补
（3）相等
结论:如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
（4）互补
（3）
（4）
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 对顶角的概念及性质
1.如图，对顶角共有( )
A
（第1题）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
返回
2.如图，直线，相交于点，已知 ，把 分
成两部分，且，则 _____.
（第2题）
返回
考点2 垂线的概念及性质
3.如图，直线，相交于点，于 ，
， 的度数是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.下列选项中，过点作直线 的垂线，三角板放置正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折出过点
且与 垂直的直线，能折出这样的直线的条数为___.
1
返回
6.（4分）如图，直线、交于点，平分， ，
，求 的度数.
解：平分， ，
.
， ，
.
返回
考点3 垂线段及点与直线的距离
7.如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到 处.他们的做法是：过
点作于点，将水泵房建在了 处，这样做最节省水管长度，其
依据是____________.
垂线段最短
（第7题）
返回
8.如图，于，于，， ，
，， .
（第8题）
（1）点到直线的距离为_____ ；
（2）点到直线的距离为____ ；
（3）点到直线的距离为___ .
4.8
6
返回
考点4 同位角、内错角、同旁内角
9.［2025南阳期末］下列判断错误的是( )
C
A.与是同旁内角 B.与 是内错角
C.与是同旁内角 D.与 是同位角
返回
考点5 平行线的概念、性质与画法
10.如图，在方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：
__________________.
,
返回
11.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子 所在
的直线与地面 ______，理由是_________________________________
_____________.
相交
过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行
返回
12.已知同一平面内的三条直线，， ，下列错误的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
返回
13.（4分）［2025太原月考］如图，直线与相交于点 ，直线外
有一点，过点画，过点画，垂足为 .
解：如图所示.
返回
考点6 平行线的判定与性质
（第14题）
14.［2024重庆中考B卷］如图， ，若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
15.如图，下列推理中，不正确的是( )
D
（第15题）
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果 ，那么
D.如果 ，那么
返回
16.如图①，直线， 所成的角在画板外，小明想量出这个角的度数，
他的做法是：如图②，画，量出直线与 的夹角度数，即直线
， 所成角的度数.其依据是( )
D
A.同位角相等，两直线平行
B.同旁内角互补，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
返回
17.小明周末在家收取完晾干的衣物后，观察发现晾衣架中存在多组平
行关系，对此小明将晾衣架的侧面图抽象成如图所示的数学图形.已知
，若 ， ，则 的度数为______.
返回
18.［2025吉林期末］如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，
折痕分别为、，若，且 ，则 的度数是_____.
（第18题）
返回
（第19题）
19.把下面解答过程中的理由或数学式补充完整.如
图，,,.试说明： .
解： （已知），
______（________________________），
又 （已知），
______（__________），
（同位角相等，两直线平行），
_____（________________________），
又 （已知），
_____（等量代换），
（________________________）.
两直线平行，内错角相等
等量代换
两直线平行，同位角相等
同位角相等，两直线平行
返回
考点7 平移
20.（4分）如图，在方格纸中平移所给图形，使点移动到点 ，画出
平移后的新图形.
解：如图所示.
返回
二、思想方法演练
思想1 方程思想
21.（8分）如图，是锐角，动点在边上且沿射线 方向运动，
点在边上， .
（1）当点运动到时，与 的位置关系是__________；
（2）当时，试判断是否平分 ，并说明理由.
解：平分 .理由：
，
， .
，
设，则， ，
，解得 ，
， ，
，
，
平分 .
返回
思想2 分类讨论思想
22.（4分）［2025鹤壁期末］如图，点 在直线
上， ，射线在 内部，
当 时，，垂足为点 ，求
的度数.
解：如图①，当在 上方时，
， .
，
.
如图②，当在 下方时，
，
.
，
综上所述， 或 .
.
返回
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