资源简介

(共27张PPT)
1.1.2有理数的分类
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.1.2 有理数
—— 认识有理数的概念与分类
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
上节课我们学习了具有相反意义的量，知道可以用正数和负数来表示它们。在我们学过的数中，除了正数和负数，还有 0。那么这些数之间有什么关系呢？它们可以归为哪些类别呢？这节课我们就来学习有理数的相关知识。
第三页：有理数的定义
定义：整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0 和负整数。例如：1、2、0、-1、-3 等都是整数。
分数包括正分数和负分数。例如：\(\frac{1}{2}\)、\(3.5\)（即\(\frac{7}{2}\)）、\(-\frac{3}{4}\)、\(-0.2\)（即\(-\frac{1}{5}\)）等都是分数。
说明：
所有整数都可以看作是分母为 1 的分数，如 5 可以看作\(\frac{5}{1}\)，-3 可以看作\(-\frac{3}{1}\)，所以从本质上看，有理数都可以表示为分数的形式（\(\frac{m}{n}\)，其中 m、n 是整数，且 n≠0）。
第四页：有理数的分类（一）
按有理数的定义分类：
有理数
├── 整数
│ ├── 正整数（如：1，2，3，…）
│ ├── 0
│ └── 负整数（如：-1，-2，-3，…）
└── 分数
├── 正分数（如：\(\frac{1}{2}\)，\(3.5\)，\(\frac{5}{3}\)，…）
└── 负分数（如：\(-\frac{1}{3}\)，\(-0.6\)，\(-\frac{7}{4}\)，…）
第五页：有理数的分类（二）
按有理数的性质（正数、0、负数）分类：
有理数
├── 正有理数
│ ├── 正整数（如：1，2，3，…）
│ └── 正分数（如：\(\frac{1}{2}\)，\(3.5\)，\(\frac{5}{3}\)，…）
├── 0
└── 负有理数
├── 负整数（如：-1，-2，-3，…）
└── 负分数（如：\(-\frac{1}{3}\)，\(-0.6\)，\(-\frac{7}{4}\)，…）
第六页：实例分析（一）
将下列各数填入相应的集合内：
-5，3.7，0，\(\frac{3}{4}\)，-3.14，100，\(-\frac{2}{3}\)，-9
整数集合：{-5，0，100，-9，…}
分数集合：{ 3.7，\(\frac{3}{4}\)，-3.14，\(-\frac{2}{3}\)，… }
正有理数集合：{ 3.7，\(\frac{3}{4}\)，100，… }
负有理数集合：{ -5，-3.14，\(-\frac{2}{3}\)，-9，… }
分析：
整数包括正整数、0 和负整数，所以 - 5、0、100、-9 属于整数。
分数包括正分数和负分数，3.7 是正分数，\(\frac{3}{4}\)是正分数，-3.14 是负分数，\(-\frac{2}{3}\)是负分数。
正有理数包括正整数和正分数，所以 3.7、\(\frac{3}{4}\)、100 属于正有理数。
负有理数包括负整数和负分数，所以 - 5、-3.14、\(-\frac{2}{3}\)、-9 属于负有理数。
第七页：实例分析（二）
判断下列说法是否正确，并说明理由：
有理数包括正数、0 和负数。
分析：不正确。因为正数中的无限不循环小数（如 π）不是有理数，所以有理数不能简单地说成包括正数、0 和负数，而应是整数和分数的统称。
整数都是有理数。
分析：正确。因为有理数包括整数和分数，所以整数属于有理数。
分数都是有理数。
分析：正确。分数是有理数的一部分，所以分数都是有理数。
0 是最小的有理数。
分析：不正确。有理数包括负有理数，负有理数都小于 0，所以 0 不是最小的有理数。
第八页：注意事项
有理数的分类标准要统一，不能同时按两种不同的标准进行分类。
0 是有理数，它既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。
所有的整数和分数都是有理数，无限不循环小数（如 π）不是有理数。
正整数和 0 统称为非负整数；负整数和 0 统称为非正整数。
第九页：课堂练习
填空题：
有理数包括______和______。
整数包括______、和。
分数包括______和______。
在数\(-3\)，\(0\)，\(\frac{1}{5}\)，\(3.14\)，\(-\frac{2}{7}\)，\(5\)中，属于正整数的是______，属于负分数的是______。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 有理数就是正数和负数 B. 有理数是指整数、分数、正数、负数和 0 C. 分数包括正分数、负分数和 0 D. 整数包括正整数、负整数和 0
下列各数中，不属于有理数的是（ ）
A. \(-3.14\) B. 0 C. π D. \(\frac{2}{3}\)
第十页：课堂小结
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
有理数的两种分类方式：
按定义分为整数和分数，其中整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。
按性质分为正有理数、0、负有理数，其中正有理数包括正整数、正分数；负有理数包括负整数、负分数。
0 是有理数，既不是正数也不是负数；所有整数和分数都是有理数，无限不循环小数不是有理数。
分类时要注意标准统一，不重复、不遗漏。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.1 第 3、4、5 题。
把下列各数分别填入相应的大括号内：
-12，\(\frac{3}{5}\)，-0.4，0，\(6.7\)，\(-\frac{5}{6}\)，18，-100
正整数集合：{…}
负整数集合：{ … }
正分数集合：{ … }
负分数集合：{ … }
有理数集合：{ … }
写出 3 个既是整数又是负数的数；写出 3 个既是分数又是正数的数。
思考：有没有最大的有理数？有没有最小的有理数？为什么？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解正数与负数的实际意义.
2.会判断一个数是正数还是负数.
3.理解有理数的概念,能按一定的标准对有理数进行分类.
学习目标
1.零上13 ℃记作＋13 ℃，零下2 ℃可记作(　　)
A．2 B．－2 C．2 ℃ D．－2 ℃
2．如果用＋0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作(　　)
A．＋0.02克 B．－0.02克 C．0克 D．＋0.04克
3．如果水位升高5 m时水位变化记作＋5 m，那么水位下降3 m时水位变化记作________m，水位不升不降时水位变化记作________m.
D
B
-3
0
课堂导入
回顾
根据实际生活的需要，人们引进了一种数，你知道是什么数吗？结合你在实际生活中接触到的数，试举例.
电梯楼层按钮
新闻报道：某年，我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%.
课堂导入
（1）天气预报中的1，2，3，66，24，电梯按钮中的1-10，新闻报道中的1.8%；
（2）天气预报中的-5，电梯按钮中的-1，-2，新闻报道中的-2.7%.
问题1 说一说上面用到的各数的含义.
问题2 上面这两类数，分别属于什么数？
新知探究
知识点1 正数和负数
+8 848.86, + 126 800, +200等这样形式的数,都是在已学过的数(0除外)的前面加上“+”得到的，这样的数叫作正数.
-90, -154.31, - 300等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面加上“-”得到的,这样的数叫作负数.
0既不是正数，也不是负数.
有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写.
注意
新知探究
知识点1 正数和负数
－11， ，＋73，0，－2.7， ，4.8，
问题3 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里：
正数
负数
，＋73，4.8，
-11，-2.7，
新知探究
知识点1 正数和负数
海平面
珠穆朗玛峰
吐鲁番盆地
8848.86米
154.31米
高度看作0米
问题4 下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？
记为+8848.86米
记为－154.31米
新知探究
知识点1 正数和负数
0只表示没有吗
1.空罐中的金币数量;
2.温度中的0℃;
3.海平面的高度;
4.标准水位;
5.身高比较的基准;
……
思考
0是正负数的分界点.它不再简简单单的只表示没有，它具有丰富的意义，如：
0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示
新知探究
知识点1 正数和负数
问题5 里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187 cm，如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，则她们的实际身高（单位：cm）应是________________________.
197、182、187、194、185
新知探究
知识点1 正数和负数
问题6 回想一下，我们认识了哪些数？
正整数：
正分数：
负整数：
负分数：
1，2，3，…
-1，-2，-3，…
0：
既不是正数，也不是负数
新知探究
知识点2 有理数及其分类
定义：整数和分数统称为有理数.
正整数、零和负整数统称整数.
正整数：
1，2，3，…
负整数：
-1，-2，-3，…
0
正分数：
负分数：
正分数和负分数统称分数.
新知探究
知识点2 有理数及其分类
整 数
…
…
分 数
有理数的概念及分类
问题7 你能根据有理数的定义对有理数分类吗？
有理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
自然数
新知探究
知识点2 有理数及其分类
问题8 你还能用其他方法给有理数分类吗？
有理数
正数
负数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
注意：
①分类的标准不同，结果也不同；
②分类的结果应无遗漏、无重复；
③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
新知探究
知识点2 有理数及其分类
归 纳
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数。
无限不循环小数（如 π ）不是分数，就不是有理数。
新知探究
知识点2 有理数及其分类
问题8 把下列各数填在相应的集合中：
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非负有理数集合：{ }；
有理数集合：{ }.
易错警示 ：1.像 这种可以先化简成整数的数是整数不是分数；
2.π大于0是正数不是正有理数。
新知探究
知识点2 有理数及其分类
知识点1 正数和负数
1. [新考向·传承数学文化]在世界数学史上首次正式引入负数
的中国古代数学著作是(　B　)
A. 《孙子算经》 B. 《九章算术》
C. 《算法统宗》 D. 《周髀算经》
【点拨】
负数最早记载于《九章算术》(成书于公元一世纪)，
比国外早一千多年.
B
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
2. [2024·凉山州]下列各数中：5，－ ，－3，0，－25.8，
＋2，负数有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
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15
3. 在－3，－5，－1，0这四个数中，与其余三个数不同的是
(　D　)
A. －3 B. －5
C. －1 D. 0
D
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15
4. 有下列数：10，－6，＋2 ，0，－400，－2.03.其中，
正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也
不是负数.
2　
3　
0　
1
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5. 有下列各数：－3.14，24，＋17，－7 ， ，π，－
0.101，－0.2，0，－2 025，20％.其中哪些是正数？哪
些是负数？
【解】正数有24，＋17， ，π，20％，
负数有－3.14，－7 ，－0.101，－0.2，－2 025.
1
2
3
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15
知识点2 有理数及相关概念
6. [2024·衡水四中月考]下列数中既是分数又是负数的是
(　D　)
A. 5.2 B. 0
C. －2 D. －2.5
D
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7. [2023·江西]下列各数中，正整数是(　A　)
A. 3 B. 2.1
C. 0 D. －2
A
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8. 下列关于0的说法错误的是(　A　)
A. 任何情况下，0的实际意义都是什么都没有
B. 0是偶数不是奇数
C. 0不是正数也不是负数
D. 0是整数也是有理数
A
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有理数
有理数的概念
整数和分数统称为有理数.
有理数的分类
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
正、负数
0既不是正数，也不是负数
课堂小结
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