资源简介

(共29张PPT)
1.2　数　轴
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.2 数轴
—— 认识数轴及其应用
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
在日常生活中，我们常常需要用直线上的点来表示位置，比如温度计上的刻度表示温度，直尺上的刻度表示长度。那么，能不能用一条直线上的点来表示有理数呢？如果可以，这样的直线需要满足哪些条件呢？这节课我们就来学习数轴。
第三页：数轴的定义
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：
原点：在直线上取一点表示数\(0\)，这个点叫做原点。
正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，用箭头表示。
单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示\(1\)，\(2\)，\(3\)，…；从原点向左，用类似方法依次表示\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，…。
第四页：数轴的画法
画数轴的步骤：
画直线：画一条水平的直线（也可以是竖直的直线）。
定原点：在直线上选取一点作为原点，用点\(O\)表示，并在原点处标上\(0\)。
规定正方向：通常向右为正方向，在直线的右端画上箭头表示。
选单位长度：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上\(1\)，\(2\)，\(3\)，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次标上\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，…。
注意：单位长度一旦确定，就不能随意改变。
第五页：有理数在数轴上的表示
正数：在原点的右边，距离原点几个单位长度，就表示正几。
例如：表示\(3\)的点在原点右边，距离原点\(3\)个单位长度。
负数：在原点的左边，距离原点几个单位长度，就表示负几。
例如：表示\(-2\)的点在原点左边，距离原点\(2\)个单位长度。
0：用原点表示。
实例：
在数轴上表示出\(4\)，\(-1.5\)，\(0\)，\(\frac{1}{2}\)，\(-3\)。
步骤：先画出数轴，找到原点，然后根据各数的特点在数轴上找到对应的点并标注。
第六页：数轴上的点与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
数轴上的点并不都表示有理数，还可以表示无理数（如\(\pi\)），但我们目前只研究有理数在数轴上的表示。
数轴上表示正数的点都在原点的右边，，表示负数的点都在原点的左边，原点表示\(0\)。
第七页：利用数轴比较有理数的大小
规则：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
具体表现：
正数都大于\(0\)，负数都小于\(0\)，正数大于一切负数。
两个正数比较大小，在数轴上位置靠右的数更大。
两个负数比较大小，在数轴上位置靠左的数更小（即绝对值大的负数反而小）。
实例：
在数轴上表示出\(-3\)，\(2\)，\(-1\)，\(0\)，并比较它们的大小。
数轴上从左到右的顺序为：\(-3\)，\(-1\)，\(0\)，\(2\)。
所以，\(-3 < -1 < 0 < 2\)。
第八页：例题解析（一）
例题 1：画出数轴，并在数轴上表示下列各数：\(5\)，\(-3\)，\(0\)，\(2.5\)，\(-4.5\)，\(\frac{3}{2}\)。
解：（1）画出一条水平直线，确定原点\(O\)，标上\(0\)。
（2）规定向右为正方向，画上箭头。
（3）选取适当的单位长度（如\(1\)个单位长度表示\(1\)）。
（4）在数轴上找到对应的点：
\(5\)在原点右边\(5\)个单位长度处。
\(-3\)在原点左边\(3\)个单位长度处。
\(0\)在原点处。
\(2.5\)在原点右边\(2.5\)个单位长度处。
\(-4.5\)在原点左边\(4.5\)个单位长度处。
\(\frac{3}{2}=1.5\)在原点右边\(1.5\)个单位长度处。
第九页：例题解析（二）
例题 2：利用数轴比较下列各组数的大小：
（1）\(-2\)和\(3\)；（2）\(-1.5\)和\(-4\)；（3）\(0\)和\(-1\)。
解：（1）在数轴上，\(-2\)在原点左边，\(3\)在原点右边，右边的数比左边的数大，所以\(-2 < 3\)。
（2）在数轴上，\(-1.5\)在\(-4\)的右边，右边的数比左边的数大，所以\(-1.5 > -4\)。
（3）在数轴上，\(0\)在\(-1\)的右边，所以\(0 > -1\)。
第十页：课堂练习
填空题：
数轴的三要素是______、、。
在数轴上，表示\(-5\)的点在原点的______边，距离原点______个单位长度；表示\(7\)的点在原点的______边，距离原点______个单位长度。
比较大小：\(-3\)\(-1\)；\(0\)\(-2\)；\(4\)______\(6\)。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 数轴上的原点表示\(0\)，原点左边的数表示正数，右边的数表示负数 B. 数轴上的点只能表示整数 C. 数轴上表示\(-2\)的点与表示\(2\)的点距离是\(2\)个单位长度 D. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示
在数轴上，到原点的距离等于\(3\)个单位长度的点表示的数是（ ）
A. \(3\) B. \(-3\) C. \(3\)或\(-3\) D. 无法确定
第十一页：课堂小结
数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。
数轴的画法：按画直线、定原点、规定正方向、选单位长度的步骤进行。
有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
利用数轴比较有理数大小：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于\(0\)，负数小于\(0\)，正数大于负数。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.2 第 1、2、3 题。
画出数轴，并在数轴上表示下列各数：\(-4\)，\(1.5\)，\(0\)，\(-2.5\)，\(3\)，\(-\frac{1}{2}\)。
利用数轴比较下列各组数的大小：
（1）\(-5\)和\(-1\)；（2）\(2\)和\(-3\)；（3）\(0\)和\(5\)。
数轴上点\(A\)表示的数是\(-3\)，点\(B\)表示的数是\(5\)，则点\(A\)和点\(B\)之间的距离是多少个单位长度？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解数轴的概念，知道数轴的三要素,掌握数轴的画法.
2.能用数轴上的点表示有理数,以及已知有理数在数轴上描点，初步体会数形结合思想,培养几何直观.
学习目标
我们在现实生活中，这种用刻度表示数量的方式随处可见。
课堂导入
想一想 某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的站点如图所示，相邻两站点之间的距离均为2 km.如果你在实验学校站点处，怎样说明其他站点的位置呢？
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
一起探究
活动1
(1）实验学校以东和以西有什么站点？
人民公园、新华书店在实验学校以西，
科技馆、花园小区在实验学校以东.
（2）假如不看图，怎样说明才能让人明确其他站点的位置和远近？
人民公园、新华书店分别在实验学校以西4km和2km处，科技馆、花园小区分别在实验学校以东2km和4km处.
小提示：要注意参照点的选择、距离和方向
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
西
东
人民公园
新华书店
实验学校
科技馆
花园小区
活动2
以学校为参照点，并用0表示该点，规定学校以东的位置用正数表示，学校以西的位置用负数表示，以1千米为单位长度，请你在图中用有理数标出所有站点的位置。
0
2
4
-2
-4
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
西
东
人民公园
新华书店
实验学校
科技馆
花园小区
活动3
在学校东3千米处是华龙超市，学校西1千米处是东方商场，请你在图中标出他们的位置及其对应的有理数。
0
2
4
-2
-4
3
1
-1
-3
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
B
观察如图所示的温度计，回答下列问题：
（1）点A表示多少摄氏度？点B呢？点C呢？
（2）温度计刻度的正负是怎样规定的 以什么为基准
（3）每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点
A
C
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
0
活动 把温度计平放，我们能从中发现什么？
零下
零上
分刻度
思考 你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗
数轴的概念
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到下面的数轴.
原点
正方向
单位长度
数轴的三要素
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
数轴的概念
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
数轴的画法
1.画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
0
2.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
3.选择适当的长度为单位长度.(单位长度要保持一致)

0
0
1
2
3
-1
-2
-3


新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
画数轴注意事项
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
问题1 观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？
1
2
3
A
0
1
-1
2
B
0
E
-1
0
D
-2
1
-2
0
2
-4
-6
4
C
6
×
×
×
×
√
无原点
无正方向
单位长度不统一
没有单位长度
新知探究
知识点1 数轴的概念与画法
问题2 观察下面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？
0
-1
-2
-3
1
2
3
_______在原点左边，_______在原点右边
负数
正数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
新知探究
知识点2 数轴上的点与有理数的关系
1
-3
0
2
4
-2
-4
-1
3
-3.5
2.5
所有的有理数都可以用数轴上的一个点来表示
表示正有理数的点都在原点右侧
表示负有理数的点都在原点左侧
表示0的点在原点
（每个有理数都对应数轴上的一个点）
正有理数
负有理数
原点
新知探究
知识点2 数轴上的点与有理数的关系
－5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5
解:
1
－5
4
●
●
●
●
●
－2.5
0
注意 ：①把点标在线上；②把数标在点的上方， 以便观看.
问题3 在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1，－5，－2.5， ，0
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
4
新知探究
知识点2 数轴上的点与有理数的关系
0
1 2
-2 -1
问题4 在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？
D C B A
(4)D点表示-1.5.
(1)A点表示2；
(2)B点表示0.25；
(3)C点表示-0.75；
解:
.
.
.
.
新知探究
知识点2 数轴上的点与有理数的关系
问题5 从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是 ，再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数是 .
0
-3 -2 -1 1 2 3
C
.
.
解析:如图.
左移2个
右移5个
.
B
-3
2
新知探究
知识点2 数轴上的点与有理数的关系
知识点1 数轴
1. 认识数轴需明确两点：
(1)0是 和 的分界点；
(2)数轴的“三要素”为 、 、
.
正数　
负数　
原点　
正方向　
单位
长度　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 下列数轴画法正确的是(　D　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A. 正数应在原点右边，负数应在原点左边，且按从
小到大的顺序从左往右排，故A错误；B. 负数的大小顺
序标反，应从原点向左依次标－1，－2，－3，…，故B
错误；C. 缺少原点，故C错误.
【点拨】
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [新考法·定义辨析法]关于数轴，下列说法最准确的是
(　D　)
A. 是一条直线
B. 是规定了原点、正方向的一条直线
C. 是有单位长度的一条直线
D. 是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 数轴上的点与数的对应关系
4. [母题教材P10例]如图，数轴上点 E 表示的数是(　A　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. [2023·自贡]如图，数轴上点 A 表示的数是2 023， OA ＝
OB ，则点 B 表示的数是(　B　)
A. 2 023 B. －2 023
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为 OA ＝ OB ，点 A 表示的数是2 023，所以 OB ＝
OA ＝2 023.
因为点 B 在 O 点左侧，所以点 B 表示的数为－2 023.
故选B.
【点拨】
【答案】
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 如图，数轴的单位长度为1，如果点 A 表示的数是－2，那
么点 B 表示的数是(　D　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【点拨】
根据点 A 表示的数是－2，画出数轴的原点 O ，如
图，则点 B 表示的数为2.故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
数轴
应用
用数轴上的点表示给定的有理数
根据数轴上的点读出有理数
数形结合解决问题
画法
一画：
二定：
三选：
四统一：
画直线；
定原点；
选正方向；
统一单位长度；
定义
规定了 、 和 的直线，叫做数轴.
单位长度
原点
正方向
课堂小结
谢谢观看！

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