资源简介

(共37张PPT)
1.3 绝对值与相反数
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.3 绝对值与相反数
—— 理解绝对值和相反数的概念及性质
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
上节课我们学习了数轴，知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。那么，数轴上的点到原点的距离有什么意义呢？还有，像 3 和 - 3 这样的数，它们在数轴上的位置有什么关系？这节课我们就来学习绝对值与相反数，解决这些问题。
第三页：绝对值的定义
定义：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值的符号：数\(a\)的绝对值记作\(\vert a \vert\)，读作 “\(a\)的绝对值”。
实例：
在数轴上，表示\(5\)的点到原点的距离是\(5\)，所以\(\vert 5 \vert=5\)。
表示\(-3\)的点到原点的距离是\(3\)，所以\(\vert -3 \vert=3\)。
表示\(0\)的点到原点的距离是\(0\)，所以\(\vert 0 \vert=0\)。
第四页：绝对值的性质
正数的绝对值是它本身。
例如：\(\vert 2 \vert=2\)，\(\vert 3.5 \vert=3.5\)。
负数的绝对值是它的相反数。
例如：\(\vert -2 \vert=2\)，\(\vert -3.5 \vert=3.5\)。
\(0\)的绝对值是\(0\)。
即\(\vert 0 \vert=0\)。
符号表示：
当\(a > 0\)时，\(\vert a \vert=a\)；
当\(a = 0\)时，\(\vert a \vert=0\)；
当\(a < 0\)时，\(\vert a \vert=-a\)。
第五页：例题解析（绝对值）
例题 1：求下列各数的绝对值：
（1）\(7\)；（2）\(-4.5\)；（3）\(0\)；（4）\(-\frac{3}{2}\)。
解：（1）因为\(7\)是正数，所以\(\vert 7 \vert=7\)。
（2）因为\(-4.5\)是负数，所以\(\vert -4.5 \vert=4.5\)。
（3）\(\vert 0 \vert=0\)。
（4）因为\(-\frac{3}{2}\)是负数，所以\(\vert -\frac{3}{2} \vert=\frac{3}{2}\)。
例题 2：已知\(\vert x \vert=5\)，求\(x\)的值。
解：因为绝对值是\(5\)的数到原点的距离是\(5\)，而数轴上到原点距离是\(5\)的点表示的数是\(5\)和\(-5\)，所以\(x = 5\)或\(x=-5\)。
第六页：相反数的定义
定义：像\(3\)和\(-3\)，\(5\)和\(-5\)这样，只有符号不同的两个数互为相反数。
特别地，\(0\)的相反数是\(0\)。
几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。
实例：
\(6\)的相反数是\(-6\)；\(-8\)的相反数是\(8\)；\(\frac{1}{2}\)的相反数是\(-\frac{1}{2}\)。
第七页：相反数的表示
数\(a\)的相反数可以表示为\(-a\)。
例如：\(5\)的相反数是\(-5\)，即\(-(5)=-5\)；\(-3\)的相反数是\(3\)，即\(-(-3)=3\)。
注意：
相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数。
“只有符号不同” 意味着两个数除了符号外，数字部分完全相同。
第八页：例题解析（相反数）
例题 3：写出下列各数的相反数：
（1）\(10\)；（2）\(-12\)；（3）\(0\)；（4）\(-\frac{5}{3}\)；（5）\(m\)。
解：（1）\(10\)的相反数是\(-10\)。
（2）\(-12\)的相反数是\(12\)。
（3）\(0\)的相反数是\(0\)。
（4）\(-\frac{5}{3}\)的相反数是\(\frac{5}{3}\)。
（5）\(m\)的相反数是\(-m\)。
例题 4：化简下列各数：
（1）\(-(+5)\)；（2）\(-(-7)\)；（3）\(-[-(+3)]\)。
解：（1）\(-(+5)\)表示\(+5\)的相反数，所以\(-(+5)=-5\)。
（2）\(-(-7)\)表示\(-7\)的相反数，所以\(-(-7)=7\)。
（3）先看内层，\(-(+3)=-3\)，所以\(-[-(+3)]=-(-3)=3\)。
第九页：绝对值与相反数的关系
互为相反数的两个数的绝对值相等。
例如：\(\vert 4 \vert=4\)，\(\vert -4 \vert=4\)，即\(\vert 4 \vert=\vert -4 \vert\)。
绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。
例如：若\(\vert a \vert=\vert b \vert\)，则\(a = b\)或\(a=-b\)。
第十页：课堂练习
填空题：
\(\vert -9 \vert=\)；\(\vert 0.6 \vert=\)；\(\vert -\frac{2}{5} \vert=\)______。
\(7\)的相反数是______；\(-3.2\)的相反数是______；______的相反数是它本身。
若\(\vert x \vert=7\)，则\(x=\)；若\(\vert -y \vert=4\)，则\(y=\)。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值等于它本身的数是正数 B. 相反数等于它本身的数是负数 C. 绝对值相等的两个数一定互为相反数 D. 互为相反数的两个数的绝对值相等
若\(a\)与\(b\)互为相反数，则下列式子成立的是（ ）
A. \(a + b=0\) B. \(a + b=1\) C. \(a - b=0\) D. \(a - b=1\)
第十一页：课堂小结
绝对值：数轴上表示数\(a\)的点到原点的距离，记作\(\vert a \vert\)。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)。
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，\(0\)的相反数是\(0\)。互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，到原点的距离相等。
绝对值与相反数的关系：互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.3 第 1、2、3、4 题。
求下列各数的绝对值和相反数：
\(15\)；\(-8\)；\(0\)；\(-\frac{3}{4}\)；\(2.8\)。
化简：
\(-(+12)\)；\(-(-9)\)；\(-[-( -6)]\)；\(-\vert -5 \vert\)。
已知\(\vert a \vert=3\)，\(\vert b \vert=5\)，且\(a\)、\(b\)互为相反数，求\(a\)、\(b\)的值。
思考：若\(\vert x - 2 \vert + \vert y + 3 \vert=0\)，求\(x\)和\(y\)的值（提示：绝对值具有非负性）。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.借助数轴理解绝对值和相反数的意义，体会数形结合思想.
2.掌握求有理数的绝对值和相反数的方法,会对含多重符号的有理数进行化简,形成应用意识.
3.掌握绝对值的性质,会用绝对值的非负性解决相关问题.
学习目标
西
东
3米
3米
活动 观察下图两只狗狗追寻食物的情景，请试着在数轴上表示出这一情景，并回答问题.
课堂导入
问题：
1.它们所跑的路线相同吗？
2.它们所跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？
西
东
3米
3米
3
3
A
O
B
0
3
-3
1
2
-2
-1
路线不同，正负性
路程一样，到原点的距离相等(不管方向)
课堂导入
0
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
│－５│＝５
│４│＝４
4到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记做|4|=4
-5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记做|-5|=5
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示.
0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记做|0|=0
新知探究
知识点1 绝对值
问题1 利用数轴上点到原点的距离回答：
|5|=
|3.5|=
|-3|=
|-4.5|=
|0|=
0
1
0
0
0
0
5
3.5
-3
-4.5
5
3.5
3
4.5
0
新知探究
知识点1 绝对值
问题2 （1）用数轴上的点表示下列各组数：
3，-3； 5，-5； - .
（2) 观察表示上述各组数的点在数轴上的位置，写出这些 数的绝对值.
－5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5
解：（1）如下图.
（2）观察各点在数轴上的位置，得到
|3|=3，|-3|=3； |5|=5，|-5|=5；
新知探究
知识点1 绝对值
观察与思考 观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小，说说这三组数的共同特点是什么，并与同学进行交流.
像3和-3,5和-5， 和 - 等这样符号不同、绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.0的相反数规定为0.
新知探究
知识点2 相反数
思考 设a是一个正数，数轴上与原点距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
0
-3 -2 -1 1 2 3
与原点距离是a
与原点距离是a
在数轴上，与原点距离是a的点有_____个,分别表示_________.
2
-a和a
新知探究
知识点2 相反数
总结
互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；互为相反数的两个数到原点的距离相等.
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点 关于原点对称.
2
5
2
5
新知探究
知识点2 相反数
结合数轴思考:
0的相反数是_____.
一个正数的相反数是一个　　　.
一个负数的相反数是一个　　　.
负数
正数
一个数的相反数是它本身的数是______.　　
0
0
新知探究
知识点2 相反数
问题3 a的相反数是什么？
在这个数前加一个“－”号.
问题4 如何求一个数的相反数？
a 的相反数是－a ，a可表示任意有理数.
新知探究
知识点2 相反数
问题5 若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？
a = +5， - a = -（+5）
a = -7， - a = -（-7）
a = 0， - a = 0
化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.
－5
7
0
新知探究
知识点2 相反数
问题6 化简下列各数：
-（-11），-（+2），-（-3.75）， .
解: 因为-11的相反数是11，所以-（-11）=11.
因为+2的相反数是-2，所以-（+2）= -2.
同理，-（-3.75）=3.75，
新知探究
知识点2 相反数
|5|=5 |-10|=10
|3.5|= 3.5 |100|=100
|-3|=3 |50|=50
|-4.5|=4.5 |-5000|=5000
|0|=0 …..
思考 一个正数的绝对值是什么？
一个负数的绝对值是什么？
0的绝对值是什么？
问题 观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？
新知探究
知识点3 绝对值的性质
结论1：一个正数的绝对值是正数；
一个负数的绝对值是正数；
0的绝对值是0.
结论2：一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数.
绝对值的性质
新知探究
知识点3 绝对值的性质
正数的绝对值是它本身
(1)当a是正数时，｜a｜＝____；
(2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿；
(3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿。
a
-a
0
0的绝对值是0
负数的绝对值是它的相反数
思考
字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗
由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）.
新知探究
知识点3 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数!
|a|≥0
总结
即：对于不任何一个有理数a，有
新知探究
知识点3 绝对值的性质
|-5|=5
|+5|=5
相反数、绝对值的联系是什么？
互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
思考
新知探究
知识点3 绝对值的性质
[思路引导] 判断该数的符号，再根据正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解．
问题7 求下列各数的绝对值：
-2.5，+2.5
解：
互为相反数的两个数的绝对值相等.
新知探究
知识点3 绝对值的性质
问题8 求下列各数的绝对值.
12， -7.5， 0。
解：
|12|=12；
| |= ；
|-7.5|=7.5；
|0|=0。
正数的绝对值等于它本身
负数的绝对值等于它的相反数
0的绝对值是0
新知探究
知识点3 绝对值的性质
问题9 若|a|+|b|=0，求a,b的值.
[思路引导]由绝对值的性质可得|a|≥0，|b|≥0.
解：由题意得|a|≥0，|b|≥0，
又因为|a|+|b|=0，所以|a|=0，|b|=0，
所以a=0,b=0.
方法归纳
如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
新知探究
知识点3 绝对值的性质
知识点1 绝对值的定义
1. [2024·成都]－5的绝对值是(　A　)
A. 5 B. －5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 如图，点 A 所表示的数的绝对值是(　A　)
A. 3 B. －3
【点拨】
因为点 A 表示的数是－3，所以点 A 所表示的数的绝
对值是3.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. [2023·长春]数 a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图
所示，这四个数中绝对值最小的是(　B　)
A. a B. b C. c D. d
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2 相反数的定义
4. [2024·达州]有理数2 024的相反数是(　B　)
A. 2 024 B. －2 024
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. [新考法·数形结合法] A ， B 是数轴上两点， A ， B 之间的
点表示的数中，存在互为相反数的是(　B　)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 一个数的相反数等于它本身，这样的数有(　B　)
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无数个
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图，数轴上点 A 所表示的数的相反数是(　D　)
A. 9
D. －9
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. [母题·2023·赤峰·教材P13例2] 化简－(－20)的结果是
(　B　)
B. 20
D. －20
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点3 绝对值的性质
9. (荣德原创题)完成下列各题.
(1)｜15｜＝ ， ＝ 　 　；
(2)｜－15｜＝ ， ＝ 　 　；
(3)｜0｜＝ ；
(4)由以上可以看出：
当 a 为任意有理数时，｜ a ｜ 0.
15　
　
15　
　
0　
≥　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. [2023·淄博]－｜－3｜的运算结果等于(　B　)
A. 3 B. －3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如果｜ x ｜＝2，那么 x ＝(　C　)
A. 2 B. －2
C. 2或－2
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
易错点 未考虑 a 为0的情况，误认为若｜ a ｜＝ a ，则 a ＞
0；若｜ a ｜＝－ a ，则 a ＜0
12. [2024·衡水五中月考]如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取
值范围是(　A　)
A. x ≤2 B. x ＜2
C. x ≥2 D. x ＞2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
绝对值与相反数
绝对值
相反数
几何意义
代数意义
在数轴上，表示数a的点到原点的距离.
a, (a>0)
|a|=
0, (a=0)
|a|≥0
几何意义
代数意义
符号不同，绝对值相等的两个数，互为相反数.
两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两旁，且与原点的距离相等.
-a, (a<0)
课堂小结
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