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(共30张PPT)
1.4 有理数的大小
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.4 有理数的大小
—— 掌握有理数大小比较的方法
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
我们已经学习了数轴、绝对值和相反数等知识，知道了有理数在数轴上的表示方法。那么，如何比较不同有理数的大小呢？比如，3 和 5 哪个大？-2 和 - 4 哪个大？-1 和 2 哪个大？这节课我们就来学习有理数的大小比较方法，解决这些问题。
第三页：利用数轴比较有理数的大小
基本法则：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
实例分析：
在数轴上表示出 - 3、-1、0、2 这几个数，从左到右的顺序为 - 3、-1、0、2，所以它们的大小关系是 - 3 < -1 < 0 < 2。
结论延伸：
正数都在原点的右边，负数都在原点的左边，因此正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数。
第四页：两个负数比较大小
方法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
推导过程：
例如，比较 - 2 和 - 5 的大小。
先求出它们的绝对值：| -2 | = 2，| -5 | = 5。
因为 2 <5，即 | -2 | < | -5 |，所以根据 “绝对值大的反而小”，可得 - 2 > -5。
在数轴上，-2 在 - 5 的右边，也能说明 - 2 > -5，与上述结论一致。
第五页：有理数大小比较的步骤
区分数的类型：明确要比较的数是正数、0 还是负数。
直接比较的情况：
正数与正数比较：绝对值大的数大。
正数与 0 比较：正数大于 0。
正数与负数比较：正数大于负数。
负数与 0 比较：负数小于 0。
特殊情况（两个负数比较）：
第一步：求出两个负数的绝对值。
第二步：比较两个绝对值的大小。
第三步：根据 “绝对值大的反而小” 得出结论。
第六页：例题解析（一）
例题 1：比较下列各组数的大小：
（1）3 和 7；（2）-3 和 - 7；（3）-2 和 0；（4）-1 和 3。
解：（1）3 和 7 都是正数，因为 3 < 7，所以 3 < 7。
（2）-3 和 - 7 都是负数，先求绝对值：| -3 | = 3，| -7 | = 7。因为 3 <7，所以 - 3> -7（绝对值大的反而小）。
（3）-2 是负数，0 既不是正数也不是负数，所以 - 2 < 0（负数小于 0）。
（4）-1 是负数，3 是正数，所以 - 1 < 3（负数小于正数）。
第七页：例题解析（二）
例题 2：将下列各数按从小到大的顺序排列：-5、2、-3、0、4、-1。
解：步骤一：区分类型，负数有 - 5、-3、-1；正数有 2、4；还有 0。
步骤二：比较负数的大小，先求绝对值：| -5 | = 5，| -3 | = 3，| -1 | = 1。因为 5 > 3 > 1，所以 - 5 < -3 < -1（绝对值大的反而小）。
步骤三：正数 2 < 4，且负数小于 0，0 小于正数。
所以，从小到大的顺序为：-5 < -3 < -1 < 0 < 2 < 4。
第八页：例题解析（三）
例题 3：比较下列各组数的大小：
（1）-0.5 和 - 0.3；（2）\(-\frac{3}{4}\)和\(-\frac{2}{3}\)。
解：（1）-0.5 和 - 0.3 都是负数，| -0.5 | = 0.5，| -0.3 | = 0.3。因为 0.5 > 0.3，所以 - 0.5 < -0.3。
（2）\(-\frac{3}{4}\)和\(-\frac{2}{3}\)都是负数，先通分再求绝对值：| \(-\frac{3}{4}\) | = \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{9}{12}\)，| \(-\frac{2}{3}\) | = \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{12}\)。因为\(\frac{9}{12}\) > \(\frac{8}{12}\)，即 | \(-\frac{3}{4}\) | > | \(-\frac{2}{3}\) |，所以\(-\frac{3}{4}\) < \(-\frac{2}{3}\)。
第九页：课堂练习
填空题：
比较大小：-6 ______ -4；3 ______ -5；0 ______ -1；-0.8 ______ -0.7。
最大的负整数是______，最小的正整数是______。
在数 - 3、2、-1、0、5 中，最大的数是______，最小的数是______。
选择题：
下列各数中，比 - 2 小的数是（ ）
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1
下列说法正确的是（ ）
A. 所有的正数都比负数大 B. 绝对值越大的数越大 C. 0 是最大的数 D. 负数都比正数大
把下列各数按从大到小的顺序排列：-2.5、3、-1、0、-4、1.5。
第十页：课堂小结
利用数轴比较有理数大小：数轴上右边的数总比左边的数大，由此可得正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数。
两个负数比较大小：绝对值大的反而小，步骤是先求绝对值，再比较绝对值大小，最后得出结论。
有理数大小比较的关键是区分数的类型，针对不同类型的数采用相应的比较方法。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.4 第 1、2、3 题。
比较下列各组数的大小：
（1）-10 和 - 12；（2）7 和 - 9；（3）-0.6 和 - 0.5；（4）\(-\frac{5}{6}\)和\(-\frac{4}{5}\)。
将下列各数按从小到大的顺序排列：-3.2、5、0、-4、2.8、-1。
若 a 是正数，b 是负数，且 | a | < | b |，比较 a、b、-a、-b 的大小。
思考：有没有最大的有理数？有没有最小的有理数？有没有绝对值最大的有理数？为什么？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.能借助数轴比较两个有理数的大小.
2.掌握用绝对值比较两个负数的大小的方法,并会比较两个负数的大小.
3.能通过比较有理数的大小解决实际生活中的问题.
学习目标
观察观察下图中的数据，完成下列问题.
哪一天的最高气温最低？
11月18日
哪一天的最低气温最高？
11月15日和11月19日
你是通过什么方式获得的结果？
课堂导入
探究 某地某一天中4个不同时刻的气温分别是
-3℃，-5℃，4℃，0℃.
1、请你按照由低到高的顺序把不同时刻的气温
排列出来.
-5℃，-3℃，0℃，4℃.
2、4个不同时刻的气温在温度计上对应的位置
有什么规律？
新知探究
知识点1 利用数轴比较有理数的大小
3、你能把有理数-3，-5，4，0在数轴上表示出来吗？
4、这些数的 大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关
系？
从左向右越来越大
新知探究
知识点1 利用数轴比较有理数的大小
记住了吗？
有理数大小的比较方法1：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
小 大
正数大于0，0大于负数，正数大于负数.
总 结
新知探究
知识点1 利用数轴比较有理数的大小
问题1 在数轴上表示数-3.5，-1,0，并将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来.
解：
把3.5，-1，0在数轴上表示出来，如下图所示：
将它们按从小到大的顺序排列为：
－1 <0 <3.5.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
●
●
●
新知探究
知识点1 利用数轴比较有理数的大小
问题2 在数轴上分别表示下列各对数，比较它们的大小.
（1）-1与-3； （2）-5与-2.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（1）-3＜-1； （2）-5＜-2.
解：
新知探究
知识点2 比较两个负数的大小
两个负数，绝对值大的反而小．
问题3 求出各对数的绝对值，并比较它们的大小.
|-1|=1；|-3|=3；
|-1|＜|-3|
|-2|=2；|-5|=5；
|-2|＜|-5|
-5＜-2
-3＜-1
对比
观察
总结
有理数大小的比较方法2：
新知探究
知识点2 比较两个负数的大小
解：
（1）0＞-6,(0大于负数）.
问题4 比较下列每组数的大小
(1)0与-6； （2）3和-4.4； （3） 和 .
（2）3＞-4.4,(正数大于负数）.
（3）因为
所以
新知探究
知识点2 比较两个负数的大小
1.下面有理数比较大小正确的是（ ）
A.0<-2 B.-5<3
C. -2<-3 D.1<- 4
B
随堂练习
2.如图，点A，B，C，D，E，F表示的数中，比点A表示的数大的有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
C
随堂练习
　4.比较下面各对数的大小，并说明理由：
>
＜
>
＜
3.在有理数0，│-（-3 ）│，-│+1000│，-（-5）中最大的数是（ ）
A．0 B．-（-5） C．-│+1000│ D．│-（-3 ）│
B
随堂练习
5.下列判断，正确的是（ ）
A．若a＞b，则│a│＞│b│ B．若│a│＞│b│，则a＞b
C．若a＜b＜0，则│a│＜│b│ D．若a＞b＞0，则│a│＞│b│
D
如a=1,b=-2
如a=-3,b=2
如a=-3,b=-2
6.将下列这些数用“＜”连接
0，－3，|5|，－（－4），－|－5|
解：－|－5|＜ －3 ＜0＜ －（－4）＜|5|
随堂练习
7. 下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：
城市 阜阳 安庆 淮北 合肥 芜湖
最高气温/℃ －5 2 －3 －1 4
(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；
(2)用“＜”连接这些城市的最高气温.
解：(1)如图
(2)－5℃＜－3℃＜－1℃＜2℃＜4℃.
随堂练习
8．如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小.
[思路引导]由于不能确定a的正负，所以需分类讨论
解： 当a＞0时，|a|>0，－2a＜0，所以|a|>－2a；
当a=0时，|a|=0，－2a=0，所以|a|=－2a；
当a＜0时，－2a＞0，|a|=－a，
因为－2a＞－a，所以|a|＜－2a.
随堂练习
知识点1用数轴比较大小
1. 有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，则 a ， b
的大小关系为(　B　)
A. a ＞ b B. a ＜ b
C. a ＝ b D. 无法确定
B
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2. 如图，比较大小：－ m － n .
＞　
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知识点2用法则比较大小
3. 在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数连
接起来.
－2.5， ，－2，＋5，－ .
【解】在数轴上表示各数如图所示.
用“＜”将各数连接：－2.5＜－2＜－ ＜ ＜＋5.
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4. 下列有理数比较大小正确的是(　C　)
A. 0＜－1 B. 2＜－1
C. 3＞－2 D. －1＞1
C
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知识点3用绝对值比较大小
5. 下列说法正确的是(　C　)
A. 有理数中存在最大的数
B. 任何数都大于它的相反数
C. 最小的正整数是1
D. 两个数中，较大的那个数的绝对值较大
C
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6. 绝对值小于3的负整数有 ，绝对值不大于2
的非负整数有 .
－2，－1　
0，1，2　
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7. 比较下列每组数的大小.
(1)－ 与｜－(－3)｜；
【解】因为－ ＝－ ，｜－(－3)｜＝3，
所以－ ＜｜－(－3)｜.
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(2)－(－0.5)与 .
【解】－(－0.5)＝0.5， ＝ ＝0.4.
因为0.5＞0.4，所以－(－0.5)＞ .
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知识点4生活中有理数的大小比较
8. [新趋势·跨学科题] 几种气体的固化温度(标准大气压)
如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/℃ －218 －209.8 －78.5 －259.1
其中固化温度最高的气体是(　C　)
A. 氧气 B. 氮气
C. 二氧化碳 D. 氢气
C
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9. [新视角·结论开放题] 冰激凌保存温度是－18 ℃以下，请
写出一个适合冰激凌保存的温度： ℃.
－2(答案不唯一)　
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易错点 对绝对值的几何意义理解不透彻而致错
10. 如图，数轴上点 A ， B ， C ， D 分别对应数 a ， b ， c ，
d ，下列各式的值最小的是(　C　)
A. ｜ a ｜ B. ｜ b ｜
C. ｜ c ｜ D. ｜ d ｜
C
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比较有理数的大小
利用数轴比较大小
利用法则比较大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
两个负数，绝对值大的反而小．
课堂小结
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