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(共30张PPT)
1.5.2有理数的加法运算律
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.5.2 有理数的加法运算律
—— 灵活运用运算律简化加法运算
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：复习回顾
上节课我们学习了有理数的加法法则，以及加法的两个重要运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即\(a + b = b + a\)。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即\((a + b)+c = a+(b + c)\)。
这节课我们将重点学习如何运用这些运算律简化有理数的加法运算。
第三页：运用运算律简化计算的意义
在进行多个有理数相加时，直接按照从左到右的顺序计算可能会比较繁琐，而且容易出错。灵活运用加法交换律和结合律，可以：
简化计算步骤：将容易计算的数先结合相加，减少运算量。
提高计算准确性：通过合理分组，让计算过程更清晰，降低出错概率。
培养简便运算意识：学会观察数的特点，选择最优的计算策略。
第四页：运用运算律的常见技巧（一）
技巧 1：同号结合法
把所有的正数结合在一起相加，所有的负数结合在一起相加，再把结果相加。
原理：同号两数相加的法则相对简单，先分别计算同号数的和，再进行异号相加，可减少符号判断的次数。
例题 1：计算\(13+( - 12)+17+( - 18)\)
解：利用加法交换律和结合律，将正数与正数结合，负数与负数结合：\(\begin{align*}
&13+( - 12)+17+( - 18)\\
=&(13 + 17)+[( - 12)+( - 18)]\\
=&30+( - 30)\\
=&0
\end{align*}\)
第五页：运用运算律的常见技巧（二）
技巧 2：相反数结合法
把互为相反数的两个数先结合相加，因为它们的和为 0，可简化计算。
原理：互为相反数的两个数相加得 0，能快速消去部分数，减少计算量。
例题 2：计算\(( - 2.5)+3.1+( - 2.5)+( - 3.1)\)
解：观察到\(3.1\)与\(-3.1\)互为相反数，\(-2.5\)与\(-2.5\)是相同的数，结合如下：\(\begin{align*}
&( - 2.5)+3.1+( - 2.5)+( - 3.1)\\
=&[( - 2.5)+( - 2.5)]+[3.1+( - 3.1)]\\
=&( - 5)+0\\
=&-5
\end{align*}\)
第六页：运用运算律的常见技巧（三）
技巧 3：同分母或易通分结合法
对于分数相加，把分母相同或容易通分的分数先结合相加。
原理：同分母分数相加，分母不变，分子直接相加，可避免复杂的通分过程。
例题 3：计算\(\frac{1}{2}+( - \frac{2}{3})+\frac{4}{5}+( - \frac{1}{2})+( - \frac{1}{3})\)
解：\(\frac{1}{2}\)与\(-\frac{1}{2}\)互为相反数，\(-\frac{2}{3}\)与\(-\frac{1}{3}\)分母相同，结合如下：\(\begin{align*}
&\frac{1}{2}+( - \frac{2}{3})+\frac{4}{5}+( - \frac{1}{2})+( - \frac{1}{3})\\
=&[\frac{1}{2}+( - \frac{1}{2})]+[( - \frac{2}{3})+( - \frac{1}{3})]+\frac{4}{5}\\
=&0+( - 1)+\frac{4}{5}\\
=&-1+\frac{4}{5}\\
=&-\frac{1}{5}
\end{align*}\)
第七页：运用运算律的常见技巧（四）
技巧 4：凑整结合法
把能凑成整数（整十、整百等）的数先结合相加。
原理：整数相加计算简便，通过凑整可将复杂的小数或分数运算转化为简单的整数运算。
例题 4：计算\(0.7+( - 0.9)+( - 1.8)+1.3+( - 0.2)\)
解：观察到\(0.7\)与\(1.3\)能凑成 2，\(-0.9\)、\(-1.8\)与\(-0.2\)能凑成\(-2.9\)，结合如下：\(\begin{align*}
&0.7+( - 0.9)+( - 1.8)+1.3+( - 0.2)\\
=&(0.7 + 1.3)+[( - 0.9)+( - 1.8)+( - 0.2)]\\
=&2+( - 2.9)\\
=&-0.9
\end{align*}\)
第八页：综合例题解析
例题 5：计算\(( - 1)+2+( - 3)+4+( - 5)+\cdots+( - 99)+100\)
分析：观察这组数据，从左到右每两个数为一组，都是\((- °)+ °\)，且每组的和为 1。
解：利用加法结合律分组计算：\(\begin{align*}
&( - 1)+2+( - 3)+4+( - 5)+\cdots+( - 99)+100\\
=&[( - 1)+2]+[( - 3)+4]+[( - 5)+6]+\cdots+[( - 99)+100]\\
=&1 + 1+1+\cdots+1\\
=&50
\end{align*}\)
（共 50 组，每组和为 1，所以总和为 50）
第九页：注意事项
运用运算律时，要连同数前面的符号一起移动，避免符号错误。
例如：\(3+( - 5)\)交换位置后是\(( - 5)+3\)，不能写成\(-5 + 3\)（虽然结果相同，但要规范书写）。
分组时要根据数的特点灵活选择方法，有时可以多种技巧结合使用。
计算过程中要仔细核对每一步的结果，确保准确性。
对于多个数相加的情况，不要急于计算，先观察数的特征，再选择合适的运算律。
第十页：课堂练习
计算下列各题：
（1）\(( - 7)+( + 10)+( - 11)+( + 2)\)
（2）\(2.4+( - 3.7)+( - 4.6)+5.7\)
（3）\(\frac{3}{4}+( - \frac{1}{6})+( - \frac{1}{4})+( - \frac{5}{6})\)
（4）\(( - 1.5)+3+( - 2.5)+( - 3)+4\)
（5）\(1+( - 2)+3+( - 4)+\cdots+( - 100)\)
某超市一周内的收入和支出情况如下（收入为正，支出为负）：\(+5200\)元、\(-2300\)元、\(+1800\)元、\(-2700\)元、\(+3500\)元、\(-1400\)元、\(-1600\)元。该超市这一周的总收入（总收入 = 各项收入总和）是多少元？总支出是多少元？最终结余多少元？
第十一页：课堂小结
有理数加法运算律包括加法交换律和结合律，运用它们可以简化多个有理数相加的计算。
常见的运用技巧有：同号结合法、相反数结合法、同分母或易通分结合法、凑整结合法。
运用运算律时要注意连同符号一起移动，分组要灵活，以简化计算为目的。
计算后要检查结果是否正确，养成严谨的计算习惯。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.5 第 4、5、6 题。
计算下列各题：
（1）\(15+( - 20)+( - 15)+7+5\)
（2）\(( - 0.5)+3.25+( - 5.5)+( - 2.25)\)
（3）\(\frac{1}{3}+( - \frac{1}{5})+( - \frac{2}{3})+\frac{3}{5}\)
（4）\(1+( - 2)+( - 3)+4+5+( - 6)+( - 7)+8+\cdots+97+( - 98)+( - 99)+100\)
某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自 A 地出发到收工时所走的路程（单位：km）为：\(+10\)、\(-3\)、\(+4\)、\(+2\)、\(-8\)、\(+13\)、\(-2\)、\(+12\)、\(+8\)、\(+5\)。
（1）收工时检修小组在 A 地的哪边？距 A 地多远？
（2）若每千米耗油 0.2 升，从 A 地出发到收工时共耗油多少升？
思考：如何用加法运算律快速计算从 1 到 100 的所有整数的和？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数的加法运算律.
2.能运用有理数的加法运算律简化运算，提高运算能力.
3.能运用有理数的加法解决实际问题，形成应用意识.
学习目标
回顾 小学学过哪些加法运算律？
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律
三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变。
加法结合律
课堂导入
根据所学知识，解决下列问题.
为了给灾区群众筹集善款，支持灾后重建，某中学七年级一班捐款786元，七年级一班捐款957元，七年级三班捐款1214元，七年级四班捐款1543元.这四个班级一共给灾区捐款多少元？
786+957+1214+1543
运用加法的交换律和结合律可以使运算简便
= 4500
课堂导入
问题1 计算下列算式，它们的计算结果是否相同？你能从中获得什么结论？
30+(-20)
( - 20 ) + 30
3.02 + ( - 2.07 )
( - 2.07 ) + 3.02
0+ ( - 20)
( - 20 ) + 0
= 10
= 10
= 0.95
= 0.95
= - 20
= - 20
总结 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
问题2 计算下列算式，它们的计算结果是否相同？你能从中获得什么结论？
[ 8 + ( - 5 ) ] + ( - 4)
8+ [ ( - 5 ) + ( - 4 ) ]
= - 1
= - 1
[ 7 + ( - 3 ) ] + ( - 4)
7 + [ ( - 3 ) + ( - 4 ) ]
= 0
= 0
总结：
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变.
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
有理数加法的运算律：
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变
a+b=b+a
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变
(a+b)+c=a+(b+c)
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
问题3 计算：
（1）（-2.4）+（-3.7）+（-4.6）+5.7；
（2）
解：
（1）
（2）
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
归纳
应用加法运算律运算时常用的三个规律：
1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加.
2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整.
3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加.
根据算式的特征，恰当的运用运算律，可以使运算简便.
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
问题4 某水库在星期一的水位是110.3m,星期二下降了0.2m,星期三上升了0.7m,星期四下降了0.8m.
(1) 如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天水位变化情况用正数或负数表示出来.
（2）星期四的水位是多少米？
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
解：（1）每天水位的变化量分别是：星期二为-0.2m，星期三为+0.7m，星期四为-0.8m.
(2) 根据题意，得
110.3+（-0.2）+（+0.7）+（-0.8）
=[110.3+(+0.7)]+[(-0.2)+(-0.8)]
=111+(-1)
=110(m).
答：每天水位的变化量分别是：星期二为-0.2m，星期三为+0.7m，星期四为-0.8m.星期四的水位是110m.
新知探究
知识点 有理数的加法运算律
1.在下面的括号里填上运用的运算律.
计算：( - 1 ) + ( + 2 ) + ( - 3 ) + ( + 4 ).
解：原式= ( - 1) + ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) ( )
=［( - 1 ) + ( - 3 )］+［( + 2 ) + ( + 4 )］ ( )
= ( - 4 ) + ( + 6 )
= 2.
加法交换律
加法结合律
随堂练习
2.某储蓄所先后办理了7笔业务：取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元，这时的存款比最初( )
A.增加12.25万元 B.减少12.25万元
C.增加12万元 D.减少12万元
A
随堂练习
3.用简便方法计算：
（1）（+23）+（- 27）+（+ 9）+（- 5）；
（2）（+0.7）+（- 0.9）+（- 1.8）+ 1.3 +（- 0.2）.
解：（1）原式 =［( + 23 ) + ( + 9 )］+［( - 27 ) + ( - 5 )］
= ( + 32 ) + ( - 32 )
= 0.
（2）原式 =［( + 0.7 ) + 1.3］+［( - 1.8 ) + ( - 0.2 )］+ ( - 0.9 )
= 2 + ( - 2 ) + ( - 0.9 )
= - 0.9.
随堂练习
4.上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票(单位：元)的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 + 4 + 4.5 - 1 - 2.5 - 6
则在星期五收盘时，每股的价格是多少？
解 :根据题意，得
35 + ( + 4 ) + ( + 4.5 ) + ( - 1 ) + ( - 2.5 ) + ( - 6 ) = 34 ( 元 ).
答：每股的价格 34 元.
随堂练习
5.10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5.
问这10筐苹果总共重多少千克？
=8+(-4)
解:根据题意得：
2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
=(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=4
所以这10筐苹果总重量为：30×10+4=304（千克）
随堂练习
知识点1 加法的运算律
1. 在下面的横线上填上适当的运算律.
(1) (－21)＋15＋(＋21)
＝15＋(－21)＋(＋21)
＝15＋[(－21)＋(＋21)]
加法交换律　
加法结合律　
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(2) (－10.3)＋6.2＋(－2.7)＋(＋2.8)
＝(－10.3)＋(－2.7)＋6.2＋(＋2.8)
＝[(－10.3)＋(－2.7)]＋[6.2＋(＋2.8)]　
加法交换律　
加法结合律　
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2
3
4
5
6
2. (－8)＋11＋(－2)＋(－11)＝(－8)＋(－2)＋11＋(－11)＝
[(－8)＋(－2)]＋[11＋(－11)]＝－10＋0＝－10，上面的计
算所运用的运算律是(　D　)
A. 加法交换律
B. 加法结合律
C. 先用加法结合律，再用加法交换律
D. 先用加法交换律，再用加法结合律
D
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5
6
知识点2 加法运算律的应用
3. 某村共有8块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年
的相比，情况如下(增产为正，减产为负，单位：kg)：
55，－40，10，－16， 27，－5，－23， 38.那么今年的
小麦总产量与去年的差是 kg.
46　
1
2
3
4
5
6
55＋(－40)＋10＋(－16)＋27＋(－5)＋(－23)＋38＝
(55＋10＋27＋38)＋[(－40)＋(－16)＋(－5)＋(－23)]＝130
＋(－84)＝46(kg)，所以今年的小麦总产量与去年的差是
46 kg.
【点拨】
1
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5
6
知识点3 生活中的加法运算律
4. 王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记
作：＋1，向下一楼记作：－1，王先生从1楼出发，电梯
上下楼层依次记录如下(单位：层)：＋6，－3，＋10，－
8，＋4，－7，－2.请问王先生最后 (填“是”或
“不是”)回到出发点1楼.
是　
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6
利用加法运算律进行计算
5. [母题 教材P19例2]计算：
(1)(－2.6)＋(－3.4)＋(＋2.3)＋1.5＋(－2.3)；
【解】原式＝[(－2.6)＋(－3.4)]＋1.5＋[(＋2.3)＋
(－2.3)]＝－6＋1.5＋0＝－4.5.
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(2)(－2.125)＋ ＋ ＋(－3.2).
【解】原式＝［(－2.125)＋ ］＋［ ＋
(－3.2)］＝3＋0＝3.
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6
利用拆数法求数列和
6. [新考法·阅读类比法]【阅读材料】对于 ＋
＋17 ＋ 可以如下计算：
原式＝［(－5)＋(－ )］＋［(－9)＋(－ )］＋(17＋ )＋
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＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋［(－ )＋(－ )＋ ＋(－
)］
＝0＋
＝－1 .
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5
6
上面这种方法叫作拆数法，依照上面的方法，请你计算：
＋ ＋4 048＋ .
【解】原式＝［(－2 023)＋ ］＋［(－2 024)＋
］＋4 048＋ ＝[(－2 023)＋(－2 024)＋4 048]＋
［ ＋ ＋ ］＝1＋(－1)＝0.
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6
有理数加法的运算律
有理数加法的运算律
有理数加法运算律的实际应用
加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
课堂小结
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