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1.6 有理数的减法
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.6 有理数的减法
—— 掌握有理数减法法则，实现加减运算转化
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
在生活中，我们常常需要解决类似这样的问题：某地白天的最高气温是\(5 \)，夜间的最低气温是\(-3 \)，那么白天的最高气温比夜间的最低气温高多少摄氏度呢？这就涉及到有理数的减法运算。有理数的减法和我们之前学过的加法有什么关系呢？这节课我们就来探究有理数的减法法则。
第三页：有理数减法法则的探究
问题 1：计算\(5 - (-3)\)，这表示求\(5\)比\(-3\)多多少。
我们可以借助数轴来理解，从表示\(-3\)的点到表示\(5\)的点，需要向右移动\(8\)个单位长度，所以\(5 - (-3)=8\)。
而我们知道\(5+(+3)=8\)，由此可以发现\(5 - (-3)=5+(+3)\)。
问题 2：计算\(3 - 5\)，表示求\(3\)比\(5\)少多少。
从数轴上看，从表示\(5\)的点到表示\(3\)的点，需要向左移动\(2\)个单位长度，所以\(3 - 5=-2\)。
又因为\(3+(-5)=-2\)，所以\(3 - 5=3+(-5)\)。
法则总结：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：\(a - b=a+(-b)\)。
第四页：有理数减法法则的解读
减法运算可以转化为加法运算，转化的关键是 “两变”：
改变运算符号：把减号变为加号。
改变减数的符号：把减数变为它的相反数。
被减数的符号不变，被减数本身也不变。
转化后就可以按照有理数的加法法则进行计算。
实例：
\(10 - 6=10+(-6)=4\)（其中\(6\)的相反数是\(-6\)）
\((-8)-(-5)=(-8)+(+5)=-3\)（其中\(-5\)的相反数是\(+5\)）
\(0 - 7=0+(-7)=-7\)（其中\(7\)的相反数是\(-7\)）
第五页：例题解析（一）
例题 1：计算下列各题
（1）\((-3)-(-5)\)；（2）\(0 - 7\)；（3）\(7.2 - (-4.8)\)；（4）\(-3\frac{1}{2}-5\frac{1}{4}\)。
解：（1）\((-3)-(-5)\)
根据减法法则，转化为加法：\((-3)+(+5)\)
按照加法法则计算：\((-3)+(+5)=2\)
（2）\(0 - 7\)
转化为加法：\(0+(-7)\)
计算得：\(-7\)
（3）\(7.2 - (-4.8)\)
转化为加法：\(7.2+(+4.8)\)
计算得：\(12\)
（4）\(-3\frac{1}{2}-5\frac{1}{4}\)
转化为加法：\(-3\frac{1}{2}+(-5\frac{1}{4})\)
通分计算：\(-3\frac{2}{4}-5\frac{1}{4}=-8\frac{3}{4}\)
第六页：例题解析（二）
例题 2：计算\((-20)-(-5)-(-5)-(-12)\)
解：按照减法法则，将所有的减法转化为加法：\(\begin{align*}
&(-20)-(-5)-(-5)-(-12)\\
=&(-20)+(+5)+(+5)+(+12)
\end{align*}\)
利用加法交换律和结合律进行简便计算：\(\begin{align*}
=&(-20)+[(+5)+(+5)+(+12)]\\
=&(-20)+22\\
=&2
\end{align*}\)
第七页：有理数加减混合运算
有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，即省略加号和括号的和的形式。
例如：\(3 - 5 + 7 - 9\)可以写成\(3+(-5)+(+7)+(-9)\)，也可简化为\(3 - 5 + 7 - 9\)。
读法：
可以读作 “\(3\)减\(5\)加\(7\)减\(9\)”。
也可以读作 “\(3\)、\(-5\)、\(+7\)、\(-9\)的和”。
例题 3：把\((-8)-(-10)+(-6)-(+4)\)写成省略加号和括号的形式，并计算。
解：先转化为加法：\((-8)+(+10)+(-6)+(-4)\)
省略加号和括号：\(-8 + 10 - 6 - 4\)
计算：\(\begin{align*}
&-8 + 10 - 6 - 4\\
=&( -8 - 6 - 4)+10\\
=&-18 + 10\\
=&-8
\end{align*}\)
第八页：加减混合运算的技巧
统一成加法后运用运算律：将混合运算转化为加法后，利用加法交换律和结合律，把正数、负数分别结合相加，或把能凑整、互为相反数的数结合相加。
按 “和” 的意义读算式：有助于理解算式的本质，方便分组计算。
分步计算：对于复杂的混合运算，可以逐步转化和计算，避免出错。
例题 4：计算\(0.25+\frac{1}{12}-(-\frac{2}{3})-(-\frac{1}{4})+(-\frac{5}{12})\)
解：先转化为加法：\(0.25+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{5}{12}\)
把\(0.25\)化为\(\frac{1}{4}\)，再分组结合：\(\begin{align*}
=&\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\right)+\frac{2}{3}\\
=&\frac{1}{2}+\left(-\frac{4}{12}\right)+\frac{2}{3}\\
=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\\
=&\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\\
=&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\
=&\frac{5}{6}
\end{align*}\)
第九页：实际应用举例
例题 5：某粮库一周内粮食进出库的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）：\(+30\)、\(-25\)、\(-10\)、\(+35\)、\(-20\)、\(-15\)、\(+20\)。
（1）这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）若粮库原有粮食\(1000\)吨，则一周后粮库还有多少吨粮食？
解：（1）计算一周内粮食进出库的总和：\(\begin{align*}
&30+(-25)+(-10)+35+(-20)+(-15)+20\\
=&(30 + 35 + 20)+[(-25)+(-10)+(-20)+(-15)]\\
=&85+(-70)\\
=&15
\end{align*}\)
结果为正，说明粮食增多了，增多了\(15\)吨。
（2）原有粮食\(1000\)吨，一周后有：\(1000 + 15=1015\)（吨）
第十页：课堂练习
填空题：
\(6 - 9=\)；\((-4)-(-7)=\)；\(0 - (-5)=\)；\(-8 - 3=\)。
比\(-3\)小\(5\)的数是______；\(7\)比\(-2\)大______。
计算下列各题：
（1）\((-12)-(-18)+(-7)-15\)
（2）\(4.7 - (-8.9)-7.5+(-6)\)
（3）\(-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{1}{2}\)
（4）\(\vert -2 \vert - (-3)+1 - \vert 1 - 3 \vert\)
一天早晨的气温是\(-7 \)，中午上升了\(11 \)，半夜又下降了\(9 \)，半夜的气温是多少？
第十一页：课堂小结
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即\(a - b=a+(-b)\)。
减法运算的转化关键是 “两变”：变运算符号和变减数符号。
有理数加减混合运算可以统一成加法运算，省略加号和括号后可灵活运用加法运算律简化计算。
在解决实际问题时，要先明确正负数的意义，再通过有理数的加减运算求解。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.6 第 1、2、3、4 题。
计算下列各题：
（1）\(23 - (-76)-36 - (-105)\)
（2）\(-1.5 - (-4\frac{1}{4})+3.75 - (+8\frac{1}{2})\)
（3）\((-\frac{1}{2})+(-\frac{1}{6})-(-\frac{1}{4})-(+\frac{2}{3})\)
（4）\(\vert -3\frac{1}{2} \vert - \vert -\frac{1}{2} \vert + \vert -2 \vert\)
某潜水员先潜入水下\(61\)米，然后又上升\(32\)米，这时潜水员在水下多少米？
已知\(\vert a \vert=5\)，\(\vert b \vert=3\)，且\(a > b\)，求\(a - b\)的值。
思考：若\(a\)、\(b\)为有理数，\(a - b\)一定小于\(a\)吗？举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解有理数减法法则，能熟练进行有理数的减法运算并解决简单的实际问题.
2.从有理数减法中体会加法和减法互为逆运算,以及减法可以转化为加法的转化思想.
学习目标
　
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.
(3) 一个数与0相加，仍得这个数.
（1） 1 + 6 =
（2）（–2）+（–8） =
（3） （–9）+ 10 =
（4） 5 + （–9） =
（5） （–2.2）+ 2.2 =
（6） 6 + 0 =
（7） 0 + （–8） =
7
–10
1
–4
6
–8
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
0
计算
课堂导入
下表记录了石家庄2023年12月13日至12月17日每天的气温情况：
月/日 12/13 12/14 12/15 12/16 12/17
最高温度/℃ 8 10 10 5 8
最低温度/℃ 4 2 0 -5 -3
请问12月15日和16日两天的最大温差分别是多少？
解：10-0=10（℃）；
5-（-5）=？
课堂导入
活动一
下表是中央气象台发布的2024年1月28日天气预报中，部分城市的最高气温和最低气温的统计表．
(1)分别填写表示各城市温差的算式以及从温度
计上的刻度观察到的温差．
城 市 最高气温（℃） 最低气温（℃）
昆 明 10 6
杭 州 2 -1
北 京 -2 -9
新知探究
知识点 有理数的减法法则
(2)表示温差的算式与观察到的温差之间有什么关系？
表示温差的算式结果与观察到的温差相等
城 市 表示温差的算式 观察到的温差（℃）
昆 明 10-6 4
杭 州 2-（-1） 3
北 京 （-2）-（-9） 7
新知探究
知识点 有理数的减法法则
问题1：你能从温度计上看出5℃比－5℃高多少摄氏度吗？用式子如何表示？
问题2： 5+(+5) = ？
结论：
5―(―5)=10
5―(―5) = 5+(+5)
新知探究
知识点 有理数的减法法则
活动二
发现：算式左边是减法运算；算式右边是加法运算；减法运算可以转化为加法运算.
符号相反
所以
比较以下两个式子，你能发现其中的规律吗？
5―(―5)=10
5+(+5)=10
5―(―5 ) = 5 + （+ 5 ）
结果相同
符号相反
　
新知探究
知识点 有理数的减法法则
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
表达式为: a - b=a + (-b)
被减数不变
通过上面的探究可得结论
减号变加号
减数变其相反数
新知探究
知识点 有理数的减法法则
问题3 计算:
（1）6-（-8）； （2）（-2）-3；
（3) (-2.8)-(-1.7); (4) 0-4;
(5) 5+(-3)-（-2）；（6）（-5）-（-2.4）+（-1）.
新知探究
知识点 有理数的减法法则
解：
(1)6-(-8)=6 +（+8）=14;
“-”变“+”
变为相反数
(2)（-2）-3=（-2）+（-3）=-5.
“-”变“+”
变为相反数
(3)（-2.8）-（-1.7）=（-2.8）+1.7=-1.1.
(4) 0-4=0+（-4）=-4.
(5) 5+（-3）-（-2）=5+（-3）+2=4.
(6)（-5）-（-2.4）+（-1）=（-5）+2.4+（-1）=-3.6.
新知探究
知识点 有理数的减法法则
问题4 壮壮家蔬菜大棚内的气温是24℃，此时棚外的气温是-13℃.棚内气温比棚外气温高多少摄氏度？
解：24-（-13）=24+13=37（℃）
答：棚内气温比棚外高37℃.
新知探究
知识点 有理数的减法法则
知识点1有理数的减法法则
1. [新考法·法则运用法]在下列括号内填上适当的数.
(1)(－8)－(－3)＝(－8)＋(　3　)＝(　－5　)；
(2)(－3)－4＝(－3)＋(　－4　)＝(　－7　)；
(3)0－(－7.5)＝0＋(　7.5　)＝(　7.5　).
3
－5
－4
－7
7.5
7.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. [母题·2023·临沂·教材P29例（3）]计算(－7)－(－5)的结果
是(　C　)
A. －12 B. 12
C. －2 D. 2
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. [2023·陕西]计算：3－5＝(　B　)
A. 2 B. －2
C. 8 D. －8
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
知识点2有理数减法的应用
4. 比0小1的数是(　B　)
A. 0 B. －1
C. 1 D. ±1
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. [2023·潍坊]有理数 a ， b ， c 在数轴上对应的点的位置如
图所示，下列判断正确的是(　C　)
A. － c ＜ b
B. a ＞－ c
C. ｜ a － b ｜＝ b － a
D. ｜ c － a ｜＝ a － c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由数轴可得， a ＜ b ＜0＜ c ，｜ c ｜＜｜ b ｜＜｜
a ｜，
所以－ c ＞ b ， a ＜－ c ，｜ a － b ｜＝ b － a ，｜ c
－ a ｜＝ c － a .
故选C.
【点拨】
C
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. [情境题·生活应用]圆圆想了解某地某天的天气情况，在某
气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气温
为2 ℃(如图)，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的
差)为(　D　)
A. －8 ℃ B. －4 ℃
C. 4 ℃ D. 8 ℃
D
【点拨】
温差为2－(－6)＝2＋6＝8(℃).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
易错点 将减法转化为加法时，因忽略符号而致错
7. 如果 a ＝0.5－(－1.5)，则 a 的值的对应点落在如图所示
的数轴上的范围是(　C　)
A. ① B. ②
C. ③ D. 以上都不对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
有理数的减法
应用
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
减法运算
列式计算
计算步骤
先转换为加法
根据加法法则计算
法则
课堂小结
谢谢观看！

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