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(共30张PPT)
1.7 有理数的加减混合运算
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.7 有理数的加减混合运算
—— 熟练掌握混合运算的方法与技巧
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
上节课我们学习了有理数的减法，知道减法可以转化为加法。在实际运算中，我们常常会遇到既有加法又有减法的混合运算，比如\(3 - 5 + 7 - 9\)。这样的混合运算该如何处理呢？这节课我们就来系统学习有理数的加减混合运算，掌握其运算方法和技巧。
第三页：加减混合运算的统一形式
有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，具体步骤如下：
将减法转化为加法：根据有理数减法法则 “减去一个数等于加上这个数的相反数”，把所有的减号都转化为加号，减数变为它的相反数。
例如：\(5 - 3 + 2 - 7 = 5 + (-3) + 2 + (-7)\)
写成和的形式：转化后，算式就变成了几个正数或负数的和。
实例：
把\((-12) - (+8) + (-6) - (-5)\)统一成加法运算：\((-12) + (-8) + (-6) + (+5)\)
第四页：省略加号和括号的形式
在统一成加法运算后，为了书写简便，可以省略算式中的加号和括号。
规则：去掉加号和括号时，若括号前是 “\(+\)” 号，去掉后括号内的数的符号不变；若括号前是 “\(-\)” 号，去掉后括号内的数的符号要改变（但此时已转化为加法，括号前都是 “\(+\)” 号，所以直接省略即可）。
实例：
\(5 + (-3) + 2 + (-7)\)可以省略为\(5 - 3 + 2 - 7\)
\((-12) + (-8) + (-6) + (+5)\)可以省略为\(-12 - 8 - 6 + 5\)
读法：
对于\(5 - 3 + 2 - 7\)，可以读作 “\(5\)减\(3\)加\(2\)减\(7\)”，也可以读作 “\(5\)、\(-3\)、\(2\)、\(-7\)的和”。
第五页：加减混合运算的步骤
统一成加法：将所有减法转化为加法，写成和的形式。
省略加号和括号：简化算式的书写。
运用加法运算律：根据数的特点，灵活运用加法交换律和结合律进行简便计算（如将正数、负数分别结合，或把能凑整、互为相反数的数结合）。
按加法法则计算：得出最终结果。
例题 1：计算\(-20 + 3 - 5 + 7\)
解：方法一（按顺序计算）：\(\begin{align*}
&-20 + 3 - 5 + 7\\
=&-17 - 5 + 7\\
=&-22 + 7\\
=&-15
\end{align*}\)
方法二（运用运算律）：\(\begin{align*}
&-20 + 3 - 5 + 7\\
=&(-20 - 5) + (3 + 7)\\
=&-25 + 10\\
=&-15
\end{align*}\)
第六页：例题解析（一）
例题 2：计算\((-7) - (+5) + (-4) - (-10)\)
解：步骤一：统一成加法：\((-7) + (-5) + (-4) + (+10)\)
步骤二：省略加号和括号：\(-7 - 5 - 4 + 10\)
步骤三：运用运算律计算：\(\begin{align*}
&-7 - 5 - 4 + 10\\
=&(-7 - 5 - 4) + 10\\
=&-16 + 10\\
=&-6
\end{align*}\)
第七页：例题解析（二）
例题 3：计算\(0.25 - \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + \frac{7}{8}\)
解：步骤一：统一成加法：\(0.25 + (-\frac{1}{8}) + (-\frac{3}{4}) + \frac{7}{8}\)
步骤二：将\(0.25\)化为\(\frac{1}{4}\)，省略加号和括号：\(\frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + \frac{7}{8}\)
步骤三：分组结合：\(\begin{align*}
=&\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right) + \left(-\frac{1}{8} + \frac{7}{8}\right)\\
=&(-\frac{2}{4}) + \frac{6}{8}\\
=&-\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\
=&\frac{1}{4}
\end{align*}\)
第八页：复杂混合运算的技巧
拆分带分数：对于带分数的加减混合运算，可以将带分数拆成整数和分数两部分，再分别结合计算。
例如：\(3\frac{1}{2} - 5\frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{2} - 5 - \frac{1}{3} = (3 - 5) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\)
利用绝对值：若算式中含有绝对值，先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行加减运算。
例如：\(\vert -2 \vert + 3 - \vert -5 \vert = 2 + 3 - 5 = 0\)
分步处理符号：对于符号较多的算式，先确定每个数的符号，再分组计算。
例题 4：计算\(2\frac{1}{3} - \vert -1\frac{1}{2} \vert - (-1\frac{1}{3}) + (-4\frac{1}{2})\)
解：步骤一：去掉绝对值和括号：\(2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} - 4\frac{1}{2}\)
步骤二：拆分带分数并分组：\(\begin{align*}
=&(2 + \frac{1}{3}) - (1 + \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{3}) - (4 + \frac{1}{2})\\
=&(2 - 1 + 1 - 4) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2})\\
=&-2 + (\frac{2}{3} - 1)\\
=&-2 - \frac{1}{3}\\
=&-2\frac{1}{3}
\end{align*}\)
第九页：实际应用举例
例题 5：某水库的水位在一周内的变化情况如下（上升为正，下降为负，单位：米）：\(+0.5\)、\(-0.3\)、\(+0.2\)、\(-0.4\)、\(+0.1\)、\(-0.2\)、\(+0.3\)。
（1）这一周内水库水位最终是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？
（2）若水库初始水位为\(100\)米，则一周后水库的水位是多少米？
解：（1）计算水位变化的总和：\(\begin{align*}
&0.5 - 0.3 + 0.2 - 0.4 + 0.1 - 0.2 + 0.3\\
=&(0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.3) + (-0.3 - 0.4 - 0.2)\\
=&1.1 + (-0.9)\\
=&0.2
\end{align*}\)
结果为正，说明水位上升了，上升了\(0.2\)米。
（2）初始水位为\(100\)米，一周后水位为：\(100 + 0.2 = 100.2\)（米）
第十页：课堂练习
填空题：
把\((-5) - (+3) + (-2) - (-7)\)写成省略加号和括号的形式是______，读作______（两种读法）。
计算：\(-3 + 5 - 7 + 9 = \)；\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 = \)。
计算下列各题：
（1）\(-12 + 11 - 8 + 39\)
（2）\((-23) - (-5) + (-64) - (-12)\)
（3）\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}\)
（4）\(3\frac{1}{4} - \vert -2\frac{3}{4} \vert - 5\frac{1}{2} + (-1\frac{1}{4})\)
某商店一周的收入和支出情况如下（收入为正，支出为负，单位：元）：\(+1200\)、\(-800\)、\(+500\)、\(-1000\)、\(+600\)、\(-900\)、\(+300\)。这一周商店的总收入比总支出多多少元？
第十一页：课堂小结
有理数加减混合运算的核心是将减法转化为加法，统一成 “和” 的形式，再省略加号和括号简化书写。
运算步骤：统一成加法→省略加号和括号→运用加法运算律简便计算→得出结果。
常用技巧：分组结合（正数与正数、负数与负数、能凑整的数、同分母分数等）、拆分带分数、处理绝对值等。
解决实际问题时，先明确正负数的含义，再通过加减混合运算分析数量变化。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.7 第 1、2、3、4 题。
计算下列各题：
（1）\(-25 + 18 - 5 - 12\)
（2）\(0 - (-15) + (-6) - (+8) - (-3)\)
（3）\(\frac{3}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{10}\)
（4）\(2\frac{1}{2} - 3\frac{1}{3} + 1\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\)
（5）\(\vert -4.5 \vert - \vert -2.7 \vert + (-3) - \vert -1 \vert\)
一辆汽车从 A 地出发，先向东行驶\(30\)千米，再向西行驶\(20\)千米，又向东行驶\(40\)千米，最后向西行驶\(15\)千米，此时汽车在 A 地的哪个方向？距离 A 地多少千米？
已知\(a = -3\)，\(b = 5\)，\(c = -2\)，求\(a - b + c\)的值。
思考：在有理数加减混合运算中，如何快速判断分组方式才能使计算最简便？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.进一步理解将有理数的减法转化为加法的意义,能进行有理数的加减混合运算.
2.理解省略加号后加法的意义,能熟练利用运算律简化运算.
3.能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识解决简单的实际问题.
学习目标
有理数的加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
2.异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加等于0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
课堂导入
回顾
有理数减法法则
减去一个数等于加这个数的相反数
a－b = a + (－b)
注意:减号变成加号、减数换成其相反数;
被减数不要变号,也不要变换位置.
课堂导入
根据所学知识，试着解决问题.
一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米.
小青蛙爬出井了吗？
课堂导入
　
1.引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.
如：a+b-c=a+b+______
2.将上面的算式转化为加法:____________________________.
3.这个算式我们可以看作是___、___、___、___这四个数的和.
4.为书写简单，省略算式中的括号和加号写为___________.
5.我们可以读作_________________________的和，或读作
_____加____加____减____
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
(-c)
-20+3+5-7
负20、正3 、正5、负7
（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
-20 3 5 -7
负20 3 5 7
探究
新知探究
知识点1 有理数加减混合运算统一成加法运算
在有理数的加减混合运算中，把加减混合运算都统一成加法运算，原来的算式就转化为求几个正数或负数的和.
在一个算式里，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“+”省略不写.
归纳
　
新知探究
知识点1 有理数加减混合运算统一成加法运算
把下面各式写成省略括号的和的形式：
（1） 10+(+4)+(-6)-(-5)；
（2） (-8)-(+4)+(-7)-(+9)．
试一试
解：（1） 10+(+4)+(-6)-(-5)
=10+（+4）+(-6)+(+5)
=10+4-6+5;
(2) (-8)-(+4)+(-7)-(+9)
=(-8)+(-4)+(-7)+(-9)
=-8-4-7-9.
先将加减混合运算同一成加法运算.
省略括号和多余的“+”号.
　
新知探究
知识点1 有理数加减混合运算统一成加法运算
问题1 计算：
（1）3-4+9-2； （2）
解：（1）3-4+9-2
=（3+9）+（-4-2）
=12-6
=6.
　
新知探究
知识点1 有理数加减混合运算统一成加法运算
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
（4）按有理数加法法则计算．
　
新知探究
知识点2 有理数加减混合运算的步骤
问题2 计算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
解:原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)
＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)]
＝(－29)＋(＋45)
＝16
减法转化成加法
按有理数加法法则计算
方法一：减法变加法
　
新知探究
知识点2 有理数加减混合运算的步骤
解:原式＝-2+30+15-27
＝-2-27+30+15
＝-29+45
省略括号
运用加法交换律使同号两数分别相加
按有理数加法法则计算
＝16
方法二：省略括号和加号
问题3 计算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
新知探究
知识点2 有理数加减混合运算的步骤
问题4 随着科技的进步，航展已经走进了我们的日常生活，在航展上一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记 作 +4.5千米 －3.2千米 +1.1千米 －1.4千米
解：4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)
=(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)]
=(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)]
=5.6＋(－4.6)=1(千米)
答：此时飞机比起飞点高了1千米.
新知探究
知识点2 有理数加减混合运算的步骤
1.把6-(+3)-(-7)+(-2)中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式为( )
A.-6-3+7-2 B.6-3-7-2
C.6-3+7-2 D.6+3-7-2
2.数6，-13，2的和比它们的绝对值的和小( )
A.-26 B.-4 C.4 D.26
C
D
随堂练习
D
3.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A.1-4+5-4=1-4+4-5
B.
C.1-2+3-4=2-1+4-3
D.4.5-1.7-2.5+1=4.5-2.5+1-1.7
4.若a= -2，b=3，c= -4 ，则a-(b-c)的值为 .
－9
随堂练习
5.计算：
思路引导：先写成省略括号的和的形式，并把小数化为分数，再根据运算律进行合理运算.
随堂练习
6.一个水利勘察队，第一天沿江向上游走512 km，第二天又向上游走513 km，第三天又向下游走423 km，第四天又向下游走512 km.试计算：
（1）这个勘察队四天一共走了多少km？
（2）第四天末，这个勘察队在出发点的上游还是下游，距离出发点多远？
解：（1）512+513+423+512=(512+512)+(513+423)=21(km).
（2）设向上游走为正，向下游走为负.由题意，得
512+513+(-423)+(-512)=(512-512)+(513-423)=23(km)
答：这个勘察队四天一共走了21km.第四天末时，距离出发点上游23km.
随堂练习
知识点1 将有理数的加减运算统一成加法运算
1. 将式子3－10－7写成和的形式，正确的是(　D　)
A. 3＋10＋7
B. －3＋(－10)＋(－7)
C. 3－(＋10)－(＋7)
D. 3＋(－10)＋(－7)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
2. 把6－(＋3)－(－7)＋(－2)统一成加法运算，下列变形正确
的是(　C　)
A. －6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
B. 6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
C. 6＋(－3)＋(＋7)＋(－2)
D. 6＋(＋3)＋(－7)＋(－2)
C
1
2
3
4
5
6
7
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11
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13
3. [2024·北大附中月考]下列式子可读作“负1、负3、正6与
负8的和”的是(　B　)
A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8)
B. －1－3＋6－8
C. －1－(－3)－(－6)－(－8)
D. －1－(－3)－6－(－8)
B
1
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13
4. 将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省略括号和加号的和的形
式，正确的是(　D　)
A. －3＋6－5－2 B. －3－6＋5＋2
C. －3－6－5－2 D. －3－6＋5－2
D
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知识点2 加法运算律在加减混合运算中的应用
5. 下列各式的结果等于3的是(　C　)
A. (－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)
B. 0－1＋2－3＋4－5
C. 4.5－2.3＋2.5－3.7＋2
D. －2－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)
1
2
3
4
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12
13
(－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)＝－2＋9＋3＋1＝11，A
选项不符合题意；0－1＋2－3＋4－5＝2＋4－1－3－5＝
－3，B选项不符合题意；4.5－2.3＋2.5－3.7＋2＝4.5
＋2.5＋2－(3.7＋2.3)＝9－6＝3，C选项符合题意；－2
－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)＝－2＋7－6＋3＝2，D选项不
符合题意.
【点拨】
C
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. [情境题·生活应用]下表是小辰的妈妈元旦当天的微信零钱
收支明细(单位：元)：
微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场
＋80 －75 ＋36 －18
观察表格信息，可知小辰的妈妈元旦当晚微信零钱余额和
前一天相比(　A　)
A
A. 多了23元 B. 少了23元
C. 多了116元 D. 少了93元
1
2
3
4
5
6
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7. [新趋势·过程性学习]阅读下列计算过程，并回答问题.
　－ ＋3.2－ ＋7.8
＝ ＋(3.2＋7.8)(第一步)
＝－ ＋(3.2＋7.8)(第二步)
＝－1＋11(第三步)
＝10.(第四步)
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(1)写出计算过程中所用到的运算律，并指出是哪一步；
【解】加法交换律和结合律，是第一步.
(2)写出第二步的加法运算法则.
【解】同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对
值相加.
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8. 计算：14－(－12)＋(－25)－17.
【解】14－(－12)＋(－25)－17
＝14＋(＋12)＋(－25)＋(－17)
＝[14＋(＋12)]＋[(－25)＋(－17)]
＝(＋26)＋(－42)
＝－16.
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有理数的加减混合运算
加减混合算式的读法与写法
有理数的加减混合运算
（4）按有理数加法法则计算．
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
有理数的加减
合运算的应用
课堂小结
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