资源简介

(共32张PPT)
1.8.2有理数的乘法运算律
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.8.2 有理数的乘法运算律
—— 灵活运用运算律简化乘法运算
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：复习回顾
上节课我们学习了有理数的乘法法则，知道两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。在有理数乘法中，同样存在一些运算律，它们可以帮助我们简化计算。这节课我们就来学习有理数的乘法运算律及其应用。
第三页：乘法交换律
定义：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
用字母表示为：\(a b = b a\)（可简写成\(ab=ba\)）。
实例验证：
计算\((-3) 5\)和\(5 (-3)\)：
\((-3) 5=-15\)
\(5 (-3)=-15\)
结果相等，说明\((-3) 5 = 5 (-3)\)，验证了乘法交换律在有理数乘法中成立。
应用：在多个有理数相乘时，交换因数的位置，可将便于计算的因数放在一起，简化运算。
第四页：乘法结合律
定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
用字母表示为：\((a b) c = a (b c)\)（可简写成\((ab)c=a(bc)\)）。
实例验证：
计算\([(-2) (-3)] 4\)和\((-2) [(-3) 4]\)：
\([(-2) (-3)] 4=6 4 = 24\)
\((-2) [(-3) 4]=(-2) (-12)=24\)
结果相等，说明\([(-2) (-3)] 4=(-2) [(-3) 4]\)，验证了乘法结合律在有理数乘法中成立。
应用：当三个或三个以上有理数相乘时，通过结合其中两个数，可使计算更简便（如结合能凑整的数）。
第五页：乘法分配律
定义：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
用字母表示为：\(a (b + c)=a b + a c\)（可简写成\(a(b + c)=ab+ac\)）。
实例验证：
计算\((-4) (3 + 5)\)和\((-4) 3+(-4) 5\)：
\((-4) (3 + 5)=(-4) 8=-32\)
\((-4) 3+(-4) 5=-12+(-20)=-32\)
结果相等，说明\((-4) (3 + 5)=(-4) 3+(-4) 5\)，验证了乘法分配律在有理数乘法中成立。
逆用：\(ab + ac=a(b + c)\)，即两个积相加，若有相同的因数，可提取这个因数，简化计算。
第六页：例题解析（一）—— 运用交换律和结合律
例题 1：计算下列各题
（1）\((-10) (-\frac{1}{3}) (-0.1) 6\)；（2）\((-4) (-7) (-25)\)。
解：（1）\((-10) (-\frac{1}{3}) (-0.1) 6\)
观察到\((-10)\)与\((-0.1)\)相乘、\((-\frac{1}{3})\)与\(6\)相乘可简化计算，运用交换律和结合律：\(\begin{align*}
=&[(-10) (-0.1)] [(-\frac{1}{3}) 6]\\
=&1 (-2)\\
=&-2
\end{align*}\)
（2）\((-4) (-7) (-25)\)
观察到\((-4)\)与\((-25)\)相乘可得到 100，运用交换律：\(\begin{align*}
=&(-4) (-25) (-7)\\
=&100 (-7)\\
=&-700
\end{align*}\)
第七页：例题解析（二）—— 运用分配律
例题 2：计算下列各题
（1）\((\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}) (-12)\)；（2）\((-100) (0.7-\frac{3}{10}-\frac{4}{5}+0.03)\)。
解：（1）\((\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}) (-12)\)
运用分配律，将\(-12\)分别与括号内的每一项相乘：\(\begin{align*}
=&\frac{1}{4} (-12)-\frac{1}{2} (-12)+\frac{1}{6} (-12)\\
=&-3 + 6-2\\
=&1
\end{align*}\)
（2）\((-100) (0.7-\frac{3}{10}-\frac{4}{5}+0.03)\)
先将分数化为小数：\(\frac{3}{10}=0.3\)，\(\frac{4}{5}=0.8\)，再运用分配律：\(\begin{align*}
=&(-100) 0.7-(-100) 0.3-(-100) 0.8+(-100) 0.03\\
=&-70 + 30 + 80-3\\
=&37
\end{align*}\)
第八页：例题解析（三）—— 分配律的逆用
例题 3：计算\(3.14 (-4.5)+3.14 (-5.5)\)
解：观察到两项中都有相同的因数\(3.14\)，逆用分配律：\(\begin{align*}
=&3.14 [(-4.5)+(-5.5)]\\
=&3.14 (-10)\\
=&-31.4
\end{align*}\)
例题 4：计算\(-99\frac{71}{72} 36\)
解：将带分数拆分为整数和分数的差，再运用分配律：\(\begin{align*}
=&-(100-\frac{1}{72}) 36\\
=&-100 36+\frac{1}{72} 36\\
=&-3600 + 0.5\\
=&-3599.5
\end{align*}\)
第九页：运用乘法运算律的注意事项
运用交换律和结合律时，要连同因数的符号一起交换或结合，避免符号错误。
例如：\((-2) (-3) (-4)=(-2) [(-3) (-4)]\)，不能忽略每个因数的负号。
运用分配律时，要将括号外的数分别与括号内的每一项相乘，不能漏乘任何一项，且要注意符号的变化。
例如：\(a (b - c)=ab-ac\)，不要误写成\(ab - c\)。
对于复杂的算式，要先观察数的特点，选择合适的运算律，以达到简化计算的目的。
多个有理数相乘时，可先根据负因数的个数确定积的符号，再运用运算律计算绝对值的乘积。
第十页：课堂练习
填空题：
\( (-5) 8 (-0.2)=\)；\((\frac{1}{3}-\frac{1}{6}) 12=\)。
运用乘法分配律计算\(-3 (4 - 6)\)，结果为______。
若\(a b = 0\)，则\(a\)、\(b\)的关系是______。
计算下列各题：
（1）\((-8) (-12) (-0.125) (-\frac{1}{3})\)
（2）\((\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}) (-36)\)
（3）\(7 (-3.6)+7 (-6.4)\)
（4）\(99\frac{17}{18} (-9)\)
第十一页：课堂小结
有理数乘法的运算律包括：
乘法交换律：\(ab = ba\)
乘法结合律：\((ab)c=a(bc)\)
乘法分配律：\(a(b + c)=ab + ac\)（逆用：\(ab + ac=a(b + c)\)）
运用这些运算律可以简化有理数乘法的计算，尤其是在多个数相乘或有括号的情况下。
运用运算律时要注意符号的处理，避免漏乘或符号错误，同时要根据数的特点灵活选择合适的运算律。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.8 第 4、5、6 题。
计算下列各题：
（1）\((-25) (-8) (-4) 125\)
（2）\((-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}) (-24)\)
（3）\(1.25 (-3.2) (-0.8)\)
（4）\(6.8 (-5)+6.8 (-12)+6.8 17\)
（5）\(-101 190 + 101 (-10)\)
已知\(a = -3\)，\(b = 4\)，\(c = -5\)，求\(a (b + c)\)和\(a b + a c\)的值，观察它们的关系，验证乘法分配律。
思考：如何运用乘法运算律计算\(1 + 2 + 3 + \cdots + 100\)？（提示：可利用乘法分配律的思想）
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数的乘法运算律,能灵活运用乘法运算律
简化运算.
2.能利用有理数的乘法解决简单的实际问题，形成
应用意识.
学习目标
3.小学时候大家学过乘法的那些运算律？
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，仍得0.
先确定积的符号； 再计算绝对值的积.
乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
1.有理数乘法法则是什么？
2.如何进行有理数的乘法运算？
回顾
课堂导入
1.填空：
(1) (-2)×4=_______ , 4×(-2)=________.
(2) [(-2)×(-3)×(-4)=_____×(-4)=______ ,
(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×_____=_______.
问题1 在有理数的范围内，乘法的交换律和结合律是否仍然适用？
-8
-8
6
-24
12
-24
探究
乘法交换律仍然成立
乘法结合律仍然成立
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
一般地，有理数的乘法有以下运算律：
乘法交换律：ab=ba.
即，两个数相乘，交换因数的位置，积不变.
乘法结合律：（a×b)×c=a×(b×c).
即对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，
再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再
把第一个数与所得结果相乘，积不变.
归纳
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
问题2 计算
解：
运用交换律
运用结合律
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
问题3 在有理数的范围内，乘法对加法的分配律是否仍然适用？
填空
(1) (-6)×[4+(-9)]=(-6)×______=_______,
(-6)×4+(-6)×(-9)=____+____=_______;
(2) 5×[(-8)+(-3)]=5×_______=_________.
5×(-8)+5×(-3)=____+____=________.
-5
30
-24
54
30
-11
-55
-40
-15
-55
乘法对加法的分配律（简称分配律）
仍然成立
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
一般地，我们可以得出：
乘法对加法的分配律（简称分配律）： a(b+c)=ab+ac.
即一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
归纳
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
问题4 计算
解：
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
1.计算：
（1）1×2×3×4= ，
（2）（-1）×2×3×4= ，
（3）（-1）×（-2）×3×4= ，
（4）（-1）×（-2）×（-3）×4= ，
（5）（-1）×（-2）×（-3）×（-4）= ，
24
-24
24
-24
24
探究
多个有理数相乘的符号法则
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
2.通过上面的计算，填写下表：
算式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
负因数的个数
积的 符号
0
+
1
-
2
+
3
-
4
+
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
3.根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间有什么关系？
几个不为0的数相乘，积的符号由_____________ 决定.
当负因数有_____ 个时，积为负；
当负因数有_____ 个时，积为正.
几个数相乘,如果有一个因数为0，_________
负因数的个数
奇数
偶数
奇负偶正
积就为0.
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
问题5 计算
解：
先确定积的符号，再把绝对值相乘.
新知探究
知识点 有理数乘法的运算律
1.(-0.125)×15×(-8)×-0.8=［(-0.125)×(-8)］×15×-0.8的运算中用到了( )
A.乘法结合律 B.乘法交换律
C.分配律 D.乘法交换律和结合律
D
随堂练习
2.算式 -25×14+18×14-39×（-14）=（-25+18+39）×14是逆用了（　　）
A．加法交换律 B．乘法交换律
C．乘法结合律 D．乘法对加法的分配律
D
随堂练习
3.有2021个有理数相乘，如果积为0，那么这2021个有理数( )
A.全部为0 B.只有一个因数为0
C.至少有一个为0 D.有两个数互为相反数
C
随堂练习
4.下列计算(-55)×99+(-44)×99-99正确的是( )
A.原式=99×(-55-44)=-9 801
B.原式=99×(-55-44+1)=-9 702
C.原式=99×(-55-44-1)=-9 900
D.原式=99×(-55-44-99)=-19 602
C
随堂练习
5.计算
解：
随堂练习
随堂练习
6.计算：
（1） （2）
解：（1）原式
（2）原式
随堂练习
知识点1 乘法运算律
1. 在算式变形：1.25× ×(－8)＝1.25×(－8)×
中，运用了(　C　)
A. 分配律 B. 乘法交换律和分配律
C. 乘法交换律 D. 分配律和乘法结合律
C
1
2
3
4
5
6
2. (－0.125)×15×(－8)× ＝[(－0.125)×(－8)]×
，运算中没有运用的运算律是(　C　)
A. 乘法交换律
B. 乘法结合律
C. 分配律
D. 乘法交换律和乘法结合律
C
1
2
3
4
5
6
知识点2 乘法运算律的应用
3. 计算71 ×(－8)最简单的方法是(　C　)
C
1
2
3
4
5
6
易错点 用分配律时易漏乘或弄错符号
4. (荣德原创题)用分配律计算(－3)× 的过程正
确的是(　A　)
1
2
3
4
5
6
【点拨】
利用分配律最易出现的两种错误是漏乘和计算过程中
出现符号错误.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用有理数的乘法运算律进行巧算
5. [2024·邢台信都区模拟]如图，请你参考老师的讲解，用运
算律简便计算：
(1)999×(－15)；
【解】原式＝(1 000－1)×(－15)＝－15 000＋15＝－14 985.
1
2
3
4
5
6
(2)999×118 ＋999× －999×18 .
【解】原式＝999×［118 ＋(－ )－18 ］＝999×100
＝99 900.
【点拨】
对于分配律，可以正用，也可以逆用.
1
2
3
4
5
6
6. [新考法·阅读类比法]阅读材料，回答下列问题：
× ＝ × ＝1；
× × × ＝ × × × ＝
× ＝1×1＝1.
根据以上信息，请求出下式的结果：
1
2
3
4
5
6
× × ×…× × ×
× ×…× .
【解】原式＝ × × ×…× × × × ×…× ＝
( × )× ×( × )×…× ＝
1×1×1×…×1＝1.
1
2
3
4
5
6
有理数乘法的运算律
乘法的运算律
多个有理数相乘的符号法则
乘法的交换律
______________
乘法的结合律
__________________
乘法对加法的分配律
_________________
ab=ba.
（ab)c=a(bc).
a(b+c)=ab+bc.
有一个因数为0时，积就为0.
几个不等于0的数相乘，当负因数有____个时，积为__；当负因数有____个时，积为___.
奇数
负
偶数
正
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