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1.10 有理数的乘方
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.10 有理数的乘方
—— 理解乘方的意义，掌握乘方运算方法
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除运算，在生活中，有时会遇到多个相同因数相乘的情况。比如，边长为\(5\)的正方形面积是\(5 5\)，棱长为\(3\)的正方体体积是\(3 3 3\)。当相同因数的个数较多时，这样的乘法书写起来很繁琐，有没有更简便的表示方法呢？这就是我们今天要学习的有理数的乘方。
第三页：乘方的定义
定义：求\(n\)个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
表示方法：
\(n\)个相同的因数\(a\)相乘，即\(a a a \cdots a\)（\(n\)个\(a\)），记作\(a^n\)。
在\(a^n\)中，\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数，\(a^n\)读作 “\(a\)的\(n\)次方” 或 “\(a\)的\(n\)次幂”。
实例：
\(2 2 2 2\)可以记作\(2^4\)，其中底数是\(2\)，指数是\(4\)，读作 “\(2\)的\(4\)次方” 或 “\(2\)的\(4\)次幂”，结果是\(16\)。
\((-3) (-3) (-3)\)可以记作\((-3)^3\)，底数是\(-3\)，指数是\(3\)，读作 “\(-3\)的\(3\)次方”，结果是\(-27\)。
第四页：乘方的注意事项
指数\(n\)是正整数，表示相同因数的个数。
当底数是负数或分数时，必须用括号括起来，否则会改变其意义。
例如：\(-2^4\)表示\(2^4\)的相反数，即\(-(2 2 2 2)=-16\)；而\((-2)^4\)表示\(4\)个\(-2\)相乘，即\((-2) (-2) (-2) (-2)=16\)。
\((\frac{1}{2})^3\)表示\(3\)个\(\frac{1}{2}\)相乘，即\(\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)；而\(\frac{1}{2^3}\)表示\(2^3\)的倒数，即\(\frac{1}{8}\)（虽然结果相同，但意义不同）。
一个数可以看作是它本身的\(1\)次方，指数\(1\)通常省略不写。例如：\(5 = 5^1\)。
第五页：有理数乘方的运算法则
正数的任何次幂都是正数。
例如：\(3^2 = 9\)，\(2^5 = 32\)。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
例如：\((-2)^3=-8\)（指数\(3\)是奇数），\((-3)^4 = 81\)（指数\(4\)是偶数）。
\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)。
例如：\(0^5 = 0\)，\(0^{10}=0\)。
总结：乘方运算的符号由底数的符号和指数的奇偶性共同决定，计算时先确定符号，再计算绝对值的乘方。
第六页：例题解析（一）—— 基本乘方运算
例题 1：计算下列各题
（1）\((-4)^3\)；（2）\((-2)^4\)；（3）\(-2^4\)；（4）\((\frac{2}{3})^2\)；（5）\(0^7\)。
解：（1）\((-4)^3\)
表示\(3\)个\(-4\)相乘，指数是奇数，结果为负：\(\begin{align*}
=&(-4) (-4) (-4)\\
=&16 (-4)\\
=&-64
\end{align*}\)
（2）\((-2)^4\)
表示\(4\)个\(-2\)相乘，指数是偶数，结果为正：\(\begin{align*}
=&(-2) (-2) (-2) (-2)\\
=&4 4\\
=&16
\end{align*}\)
（3）\(-2^4\)
表示\(2^4\)的相反数：\(\begin{align*}
=&-(2 2 2 2)\\
=&-16
\end{align*}\)
（4）\((\frac{2}{3})^2\)
表示\(2\)个\(\frac{2}{3}\)相乘：\(\begin{align*}
=&\frac{2}{3} \frac{2}{3}\\
=&\frac{4}{9}
\end{align*}\)
（5）\(0^7 = 0\)（\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)）。
第七页：例题解析（二）—— 乘方与乘除混合运算
例题 2：计算下列各题
（1）\((-3)^2 (-2)\)；（2）\(-2^3 ·(-4)^2\)；（3）\((-1)^5 (-2)^4 ·(-3)^3\)。
解：（1）\((-3)^2 (-2)\)
先算乘方，再算乘法：\(\begin{align*}
=&9 (-2)\\
=&-18
\end{align*}\)
（2）\(-2^3 ·(-4)^2\)
先算乘方，再算除法：\(\begin{align*}
=&-8 ·16\\
=&-0.5
\end{align*}\)
（3）\((-1)^5 (-2)^4 ·(-3)^3\)
先算乘方，再从左到右依次计算乘除：\(\begin{align*}
=&(-1) 16 ·(-27)\\
=&-16 ·(-27)\\
=&\frac{16}{27}
\end{align*}\)
第八页：乘方的实际应用
例题 3：某种细胞每过\(30\)分钟便由\(1\)个分裂成\(2\)个。经过\(5\)小时，这种细胞由\(1\)个能分裂成多少个？
解：\(5\)小时包含\(10\)个\(30\)分钟，即细胞分裂\(10\)次。
第\(1\)次分裂后：\(2\)个
第\(2\)次分裂后：\(2 2 = 2^2\)个
第\(3\)次分裂后：\(2 2 2 = 2^3\)个
\(\cdots\)
第\(10\)次分裂后：\(2^{10}\)个
\(2^{10}=1024\)（个）
答：经过\(5\)小时，这种细胞由\(1\)个能分裂成\(1024\)个。
第九页：课堂练习
填空题：
\((-1)^3=\)；\((-1)^{10}=\)；\(-1^5=\)______。
\(3^3=\)；\((\frac{1}{2})^4=\)；\(0^{2025}=\)______。
若\(a^2 = 16\)，则\(a=\)；若\(a^3=-8\)，则\(a=\)。
计算下列各题：
（1）\((-5)^3\)
（2）\(-(-3)^4\)
（3）\((-\frac{3}{4})^2\)
（4）\((-2)^3 (-3)^2\)
（5）\(-3^2 ·(-3)^2\)
第十页：课堂小结
乘方的定义：求\(n\)个相同因数的积的运算，记作\(a^n\)，其中\(a\)是底数，\(n\)是指数，结果叫做幂。
乘方运算的注意事项：底数是负数或分数时需加括号；指数\(1\)通常省略。
乘方的运算法则：
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)。
含乘方的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.10 第 1、2、3、4 题。
计算下列各题：
（1）\((-6)^2\)
（2）\(-7^3\)
（3）\((-\frac{1}{5})^3\)
（4）\((-1)^7 (-2)^3\)
（5）\(-2^4 ·(-8) (-1)^5\)
一个数的平方等于它本身，这个数是多少？一个数的立方等于它本身，这个数是多少？
观察下列算式：\(2^1 = 2\)，\(2^2 = 4\)，\(2^3 = 8\)，\(2^4 = 16\)，\(2^5 = 32\)，\(\cdots\)，你能发现\(2^n\)（\(n\)为正整数）的末位数字有什么规律吗？根据规律，\(2^{2025}\)的末位数字是多少？
思考：\((a b)^n\)与\(a^n b^n\)相等吗？举例说明你的结论。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解有理数的乘方的意义,掌握乘方、幂、指数、底数等
概念.
2.理解乘方运算与乘法运算之间的关系，会进行有理数的乘方运算,提高运算能力.
学习目标
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8 848米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
课堂导入
问题1 如图，（1）一正方形的边长为2cm，则它的面积为________平方厘米；
（2）一正方体的棱长为2cm， 则它的体积为___________立方厘米.
2×2×2
2×2
2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
探究
新知探究
知识点1 乘方的意义
2个
2×2个
2×2×2个
2×2×2×2×2×2个
2×2×2×2个
21
22
23
24
26
2×2×2×……×2×2×2个
n个
2n
平方表示
立方表示
思考 这两个式子有什么相同点
它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
问题2 相同因数的乘法如何简化
新知探究
知识点1 乘方的意义
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即
a·a·a· ·a = an
n个
…
例如：2×2×2×2
2×2×2×2×2×2
记作
记作
读作2的6次方(幂).
读作2的4次方(幂).
新知探究
知识点1 乘方的意义
求n个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果an叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.
特别地，a2通常读作a的平方，a3通常读作a的立方.
一个数可以看做这个数本身的一次方，通常指数为1时可省略不写.
幂（乘方的结果）
指数
因数的个数
底数
因数
新知探究
知识点1 乘方的意义
归纳
（1）(－4)2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数.
(－4)2与－42 互为相反数.
观察下面两个式子有什么不同？
（1）(－4)2与－42 ； （2）
（2）
注意：
当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号.
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算

－5
2
－5
－5
平方
6
6
6
底数
指数
填一填：
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
问题3 利用乘方的意义计算：
(3) 09=0.

思考：你发现正数的幂的正负有什么规律？0的幂呢？
解：(1) 53=5×5×5=125；
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
问题4 计算：
解：
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
21 22 23 24 25 26

(-2)1 (-2)2 (-2)3 (-2)4 (-2)5 (-2)6

1.计算，填写下表：
2
4
8
16
32
64
-2
4
-8
16
-32
64
你能得出什么结论？
对照思考：
指数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 …
幂的正负 负数 正数 负数 正数 负数 正数 …
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
2.上表中计算结果的符号有什么规律？
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
拓展
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
问题5 计算:
（1） （2）-23×(-32)（3）64÷(-2)5（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4
（2）-23×(-32)=-8×(-9)=72；
（3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2；
（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98
思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？
新知探究
知识点2 有理数的乘方运算
知识点1 乘方的意义
1.32可表示为(　C　)
A. 3×2 B. 2×2×2
C. 3×3 D. 3＋3
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. [新考法·定义辨析法](－2)5的意义是(　D　)
A. －5乘2 B. －2乘5
C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是(　A　)
A. 底数不同，结果不同
B. 底数不同，结果相同
C. 底数相同，结果不同
D. 底数相同，结果相同
【点拨】
－32表示3的平方的相反数，底数是3，结果是－9；
(－3)2表示－3的平方，底数是－3，结果是9.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识点2 乘方运算
4. [2024·枣庄改编]下列数中，平方最大的是(　A　)
A. 3
C. －1 D. －2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. [2024·北京四中期末]下列各组数中，互为相反数的是
(　D　)
A. －23与(－2)3
B. －(－2)与｜－2｜
C. －52与－25
D. －32与(－3)2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 已知有理数 a ， b 满足( a ＋2)2＋｜ b －4｜＝0，则 ab
＝ .
16　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. (1)填空：
①(－1.2)2＝ ，(－12)2＝ ，(－0.12)2
＝ ；
②(－3)3＝ ，(－30)3＝ ，(－0.3)3
＝ .
1.44　
144　
0.014 4　
－27　
－27 000　
－0.027　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)观察上述计算结果我们可以得出：
①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数
点向左(右)移动 位；
②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数
点向左(右)移动 位.
两　
三　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识点3 乘方的应用
8. [新视角·新定义题]规定一种新运算：a*b＝ a － ab ，如4*2
＝4－42＝－12，则(－2)*3的值为(　C　)
A. －10 B. －6
C. 6 D. 8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 当 n 是正整数时，(－1)2 n＋1－(－1)2 n 的值是(　B　)
A. 2 B. －2
C. 0 D. 2或－2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [新考向·传承数学文化]中国是世界上首先使用负数的国
家，两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现
使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章，在世界
数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给
出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的
式子的值：－1－(－3)2＝ .
－10　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
有理数的乘方
乘方的意义
乘方的计算
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.正数的任何次幂都是正数，
0的任何正整数次幂都是0.
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
课堂小结
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