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1.11 有理数的混合运算
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.11 有理数的混合运算
—— 掌握运算顺序，熟练进行复杂运算
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，在实际问题中，常常需要将这些运算结合起来进行计算，这就是有理数的混合运算。例如，计算\(3 + 2^2 (-5)\)，这里就涉及到了加法、乘方和乘法三种运算。那么，在进行混合运算时，应该按照怎样的顺序进行呢？这节课我们就来学习有理数混合运算的顺序和方法。
第三页：有理数混合运算的顺序
有理数混合运算的顺序与小学所学的整数、分数的混合运算顺序一致，具体如下：
先算乘方：即先计算各个数的乘方运算，得到幂的结果。
再算乘除：在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次进行乘法和除法运算。
最后算加减：在完成乘方、乘除运算后，按照从左到右的顺序依次进行加法和减法运算。
有括号的情况：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。如果括号内也有多种运算，同样遵循上述运算顺序。
记忆口诀：“先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先里后外。”
第四页：例题解析（一）—— 不含括号的混合运算
例题 1：计算下列各题
（1）\(3 + 50 ·2^2 (-\frac{1}{5}) - 1\)；（2）\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)。
解：（1）\(3 + 50 ·2^2 (-\frac{1}{5}) - 1\)
（2）\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)
步骤一：先算乘方，\(2^2 = 4\)：\(\begin{align*}
=&3 + 50 ·4 (-\frac{1}{5}) - 1
\end{align*}\)
步骤二：再算乘除，按照从左到右的顺序，先算除法\(50 ·4=\frac{25}{2}\)，再算乘法\(\frac{25}{2} (-\frac{1}{5})=-\frac{5}{2}\)：\(\begin{align*}
=&3 + (-\frac{5}{2}) - 1
\end{align*}\)
步骤三：最后算加减，按照从左到右的顺序：\(\begin{align*}
=&(3 - 1) + (-\frac{5}{2})\\
=&2 - \frac{5}{2}\\
=&-\frac{1}{2}
\end{align*}\)
步骤一：先算乘方，\(-1^4=-1\)，\((-3)^2 = 9\)：\(\begin{align*}
=&-1 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - 9]
\end{align*}\)
步骤二：算小括号内的运算，\(1 - 0.5 = 0.5=\frac{1}{2}\)，中括号内的\(2 - 9=-7\)：\(\begin{align*}
=&-1 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} (-7)
\end{align*}\)
步骤三：算乘除，\(\frac{1}{2} \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)，\(\frac{1}{6} (-7)=-\frac{7}{6}\)：\(\begin{align*}
=&-1 - (-\frac{7}{6})
\end{align*}\)
步骤四：算加减，\(-1 + \frac{7}{6}=\frac{1}{6}\)：\(\begin{align*}
=&\frac{1}{6}
\end{align*}\)
第五页：例题解析（二）—— 含括号的混合运算
例题 2：计算\([1 - (1 - 0.5 \frac{1}{3})] [2 - (-3)^2]\)
解：
步骤一：先算小括号内的乘方和乘法，\((-3)^2 = 9\)，\(0.5 \frac{1}{3}=\frac{1}{2} \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)：\(\begin{align*}
=&[1 - (1 - \frac{1}{6})] [2 - 9]
\end{align*}\)
步骤二：算小括号内的减法，\(1 - \frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)：\(\begin{align*}
=&[1 - \frac{5}{6}] (-7)
\end{align*}\)
步骤三：算中括号内的减法，\(1 - \frac{5}{6}=\frac{1}{6}\)：\(\begin{align*}
=&\frac{1}{6} (-7)
\end{align*}\)
步骤四：算乘法：\(\begin{align*}
=&-\frac{7}{6}
\end{align*}\)
第六页：例题解析（三）—— 运用运算律简化运算
在进行混合运算时，合理运用加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律、分配律，可以简化计算过程。
例题 3：计算\(-13 \frac{2}{3} - 0.34 \frac{2}{7} + \frac{1}{3} (-13) - \frac{5}{7} 0.34\)
解：观察到算式中\(-13 \frac{2}{3}\)与\(\frac{1}{3} (-13)\)有相同的因数\(-13\)，\(-0.34 \frac{2}{7}\)与\(-\frac{5}{7} 0.34\)有相同的因数\(-0.34\)，可运用乘法分配律的逆用进行简便计算：\(\begin{align*}
=&-13 (\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) - 0.34 (\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\
=&-13 1 - 0.34 1\\
=&-13 - 0.34\\
=&-13.34
\end{align*}\)
第七页：运算中的注意事项
注意符号问题：在进行乘方运算时，要区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)的不同；在进行乘除和加减运算时，要正确处理负数的符号，避免因符号错误导致结果错误。
例如：\(-2^2=-4\)，而\((-2)^2 = 4\)；\((-3) (-4)=12\)，\((-3) 4=-12\)。
按照顺序逐步计算：不要跳步，每一步计算都要清晰、准确，尤其是在含有多层括号的情况下，要逐层计算，确保每一步的结果正确。
合理运用运算律：在计算前先观察算式的特点，判断是否可以运用运算律简化计算，以提高计算效率和准确性。
及时检查：计算完成后，要按照运算顺序反向检查每一步的计算过程，发现错误及时纠正。
第八页：课堂练习
填空题：
计算\(3 - 2 (-1) = \)；\(-2^2 + (-2)^2 = \)。
若\(a = -1\)，\(b = 2\)，则\(a^2 - ab = \)______。
计算下列各题：
（1）\(2 (-3)^3 - 4 (-3) + 15\)
（2）\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [3 - (-3)^2]\)
（3）\([(-2)^3 + \frac{2}{3}] (-\frac{3}{4}) - (-0.5)^2\)
（4）\(3.5 ·(-\frac{7}{8}) - 2.5 (-\frac{4}{5}) + 4\)
（5）\(-5^2 \frac{3}{4} + 25 \frac{1}{2} - 25 \frac{1}{4}\)（运用运算律简便计算）
第九页：实际应用举例
例题 4：某商店有两种商品，甲商品每件进价\(10\)元，售价\(15\)元；乙商品每件进价\(30\)元，售价\(40\)元。若该商店同时卖出甲商品\(x\)件和乙商品\(y\)件，
（1）用含\(x\)、\(y\)的代数式表示该商店卖出这两种商品的总利润；
（2）当\(x = 10\)，\(y = 5\)时，总利润是多少元？
解：（1）每件甲商品的利润为\(15 - 10 = 5\)元，每件乙商品的利润为\(40 - 30 = 10\)元。
总利润为：\(5x + 10y\)（元）
（2）当\(x = 10\)，\(y = 5\)时，代入总利润的代数式：\(\begin{align*}
5 10 + 10 5&=50 + 50\\
&=100
\end{align*}\)
答：当\(x = 10\)，\(y = 5\)时，总利润是\(100\)元。
第十页：课堂小结
有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。
在运算过程中，要注意符号的处理，按照顺序逐步计算，避免跳步。
合理运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）可以简化计算过程，提高计算的准确性和效率。
解决实际问题时，先根据题意列出代数式，再代入数值进行混合运算求解。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.11 第 1、2、3、4 题。
计算下列各题：
（1）\(-3^2 + (-2)^3 (-4) ·(-\frac{1}{4})\)
（2）\((-1)^4 + (1 - \frac{1}{2}) ·3 (2 - (-3)^2)\)
（3）\(10 + 8 (-\frac{1}{2})^2 - 2 ·\frac{1}{5}\)
（4）\([1 - (1 - 0.5 \frac{1}{2})] [2 - (-3)^3]\)
（5）\(-12 (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3})\)（运用分配律计算）
已知\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -0.5\)，求\(a^2 - 2b + 3c\)的值。
某地区一天的气温变化如下：早晨气温为\(-5 \)，中午上升了\(10 \)，傍晚又下降了\(8 \)，夜间再下降了\(6 \)。求夜间的气温是多少摄氏度？
思考：在进行有理数混合运算时，如何快速判断是否可以运用运算律简化计算？举例说明不同运算律的适用场景。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
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变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算， 提高运算能力.
2.在运算过程中能合理地运用运算律简化运算.
3.能运用有理数的混合运算解决简单的实际问题.
学习目标
乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）零的正整数次幂都是零.
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
组成要素
幂
指数
底数
因数
因数的个数
乘方的定义：
回顾
课堂导入
从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11,12,13.
课堂导入
问题 在算式18-32÷(-2)2×5中，有哪几种运算？
加减运算
乘方运算
乘除运算
混合
运算
18-32÷(-2)2×5
像这样含有加、减、乘、除及乘方的运算叫做有理数的混合运算.
探究
第一级运算
第二级运算
第三级运算
新知探究
知识点 有理数的混合运算
归纳：
想一想：有理数的混合运算应该按照什么顺序进行？
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如果有括号，要先算括号内的运算.
（按小括号、中括号、大括号依次进行）
新知探究
知识点 有理数的混合运算
下面两题的解法正确吗？若不正确，你能发现问题出在哪里吗？
这个解法是错误的
这个解法是正确的
议一议
新知探究
知识点 有理数的混合运算
这个解法是正确的
这个解法是错误的
新知探究
知识点 有理数的混合运算
问题1 计算：
（1） （2）
解: (1)原式
（2）原式
新知探究
知识点 有理数的混合运算
问题2 面粉厂生产的一种面粉，以25 kg为标准，抽检10袋面粉的质量与标准质量的差值情况如下表所示：(比25 kg多和少的面粉质量分别记为正和负)
求这10袋面粉的平均质量.
袋数 2 2 3 3
差值（Kg） -0.15 -0.10 0 +0.10
解：根据题意，得
25＋［(-0.15)×2＋(-0.10)×2＋0×3＋(＋0.10)×3］÷10
=25＋(-0.30-0.20＋0.30) ÷ 10
=24.98(kg).
答：这10袋面粉的平均质量为24.98 kg.
新知探究
知识点 有理数的混合运算
知识点1 有理数的混合运算
1. [2023·杭州](－2)2＋22＝(　D　)
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
D
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11
2. [新视角·新定义题]定义新运算“ ”，规定： a b ＝ a2
－｜ b ｜，则(－2) (－1)的运算结果为(　D　)
A. －5 B. －3
C. 5 D. 3
D
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3. 阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：－22÷ ×6.
解：原式 ＝－4÷ ×6　(第一步)
＝－4÷(－25) (第二步)
＝－ . (第三步)
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11
(1)上面解题过程有两处错误：第一处是第 步，错
误的原因是
；
第二处是第 步，错误的原因是
.
二　
没按顺序计算，乘除是同级运算，除法
在前面，应该先计算除法　
三　
没有按符号法
则正确确定结果的符号　
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(2)请写出正确的解题过程.
【解】原式＝－4÷ ×6＝－4× ×6＝
.
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4. 计算：
(1)[2023·随州](－2)2＋(－2)×2＝ ；
(2)[2023·广西](－1)×(－4)＋22÷(7－5)；
【解】原式＝(－1)×(－4)＋4÷2＝4＋2＝6.
0　
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【解】原式＝－9－25× －18＋9
＝－9＋ －18＋9
＝ －18
＝－ .
(3)－32－｜－52｜× －18＋｜－(－3)2｜.
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知识点2 有理数混合运算的应用
5. 当温度每下降100 ℃时，一段15 mm长的某种金属丝缩短
0.2 mm.若把这段金属丝从15 ℃冷却到零下5 ℃，那么这
段金属丝在零下5 ℃时的长度是 mm.
14.96　
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6. 为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每
月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，
每吨加收1.3元.小明家4月份用水15吨，应交水
费 元.
39.5　
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7. [母题 教材P43习题C组T4]观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，7，－4，21，－26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数
为 ；取每行数的第2 025个数，则这两
个数的和为 .
(－2)10　
－22 026＋2 026　
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易错点 当底数是分数或负数时因忽略括号而致错
8. 计算：－23÷ × .
【解】－23÷ ×
＝－8× ×
＝－8.
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有理数的混合运算
有理数混合运算的法则
3.如果有括号，要先算括号内的运算.
（按小括号、中括号、大括号依次进行）
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减.
2.同级运算，从左到右进行.
课堂小结
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