资源简介

(共30张PPT)
2.4 线段的和与差
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.4 线段的和与差
—— 理解线段运算，掌握作图与计算
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
我们已经学习了线段的概念、比较方法以及中点的知识。在实际问题中，除了比较线段的长短，还常常需要对线段进行 “和” 与 “差” 的运算。比如，一根绳子的长度是另一根绳子长度的两倍多一些，我们需要计算它们的总长度或长度差；在几何图形中，也经常会遇到由多条线段组合而成的复杂线段，需要通过和与差的关系来分析。这节课我们就来学习线段的和与差。
第三页：线段的和
概念：如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和，那么这条线段就叫做另外两条线段的和。
图形表示：
如图，在线段\(AC\)上有一点\(B\)，且\(AB = a\)，\(BC = b\)，那么线段\(AC\)就是线段\(AB\)与线段\(BC\)的和，记作\(AC = AB + BC = a + b\)。
实例：
线段\(AB\)长 3 厘米，线段\(BC\)长 5 厘米，且点\(B\)在线段\(AC\)上，那么线段\(AC\)的长度就是 3 + 5 = 8 厘米，即\(AC = AB + BC\)。
几何语言描述：
因为点\(B\)在线段\(AC\)上，所以\(AC = AB + BC\)。
第四页：线段的差
概念：如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的差，那么这条线段就叫做另外两条线段的差。
图形表示：
如图，在线段\(AB\)上有一点\(C\)，且\(AB = a\)，\(AC = b\)（\(a > b\)），那么线段\(CB\)就是线段\(AB\)与线段\(AC\)的差，记作\(CB = AB - AC = a - b\)。
实例：
线段\(AB\)长 10 厘米，线段\(AC\)长 6 厘米，且点\(C\)在线段\(AB\)上，那么线段\(CB\)的长度就是 10 - 6 = 4 厘米，即\(CB = AB - AC\)。
几何语言描述：
因为点\(C\)在线段\(AB\)上，所以\(CB = AB - AC\)。
第五页：线段和与差的作图（一）—— 作线段的和
方法：利用直尺和圆规作一条线段等于两条已知线段的和。
已知线段\(a\)和线段\(b\)，求作线段\(AC\)，使\(AC = a + b\)。
作图步骤：
用直尺画一条射线\(AD\)。
用圆规量取线段\(a\)的长度，在射线\(AD\)上截取\(AB = a\)。
保持圆规两脚的距离不变（或重新量取线段\(b\)的长度），以点\(B\)为端点，在射线\(BD\)上截取\(BC = b\)。
线段\(AC\)就是所求作的线段，即\(AC = a + b\)。
实例：已知线段\(a = 2\)厘米，线段\(b = 3\)厘米，按照上述方法可作出长为 5 厘米的线段\(AC\)。
第六页：线段和与差的作图（二）—— 作线段的差
方法：利用直尺和圆规作一条线段等于两条已知线段的差（假设\(a > b\)）。
已知线段\(a\)和线段\(b\)（\(a > b\)），求作线段\(CB\)，使\(CB = a - b\)。
作图步骤：
用直尺画一条射线\(AD\)。
用圆规量取线段\(a\)的长度，在射线\(AD\)上截取\(AB = a\)。
用圆规量取线段\(b\)的长度，以点\(A\)为端点，在线段\(AB\)上截取\(AC = b\)。
线段\(CB\)就是所求作的线段，即\(CB = a - b\)。
实例：已知线段\(a = 5\)厘米，线段\(b = 2\)厘米，按照上述方法可作出长为 3 厘米的线段\(CB\)。
第七页：例题解析（一）—— 线段和与差的基本计算
例题 1：如图，已知线段\(AB = 7\)厘米，\(BC = 3\)厘米，点\(B\)在线段\(AC\)上，求线段\(AC\)的长度。
解：因为点\(B\)在线段\(AC\)上，所以\(AC = AB + BC\)。
又因为\(AB = 7\)厘米，\(BC = 3\)厘米，所以\(AC = 7 + 3 = 10\)厘米。
例题 2：如图，已知线段\(AB = 12\)厘米，点\(C\)在线段\(AB\)上，且\(AC = 5\)厘米，求线段\(BC\)的长度。
解：因为点\(C\)在线段\(AB\)上，所以\(BC = AB - AC\)。
又因为\(AB = 12\)厘米，\(AC = 5\)厘米，所以\(BC = 12 - 5 = 7\)厘米。
第八页：例题解析（二）—— 结合中点的线段和与差计算
例题 3：已知线段\(AB = 14\)厘米，点\(C\)是线段\(AB\)的中点，点\(D\)是线段\(BC\)的中点，求线段\(AD\)的长度。
解：因为点\(C\)是线段\(AB\)的中点，所以\(AC = CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} 14 = 7\)厘米。
又因为点\(D\)是线段\(BC\)的中点，所以\(CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} 7 = 3.5\)厘米。
而\(AD = AC + CD\)，所以\(AD = 7 + 3.5 = 10.5\)厘米。
例题 4：如图，线段\(AC = 10\)厘米，线段\(BC = 6\)厘米，点\(C\)在线段\(AB\)的延长线上，求线段\(AB\)的长度。
解：因为点\(C\)在线段\(AB\)的延长线上，所以\(AB = AC - BC\)。
又因为\(AC = 10\)厘米，\(BC = 6\)厘米，所以\(AB = 10 - 6 = 4\)厘米。
第九页：线段和与差的综合应用
例题 5：已知线段\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(a > b > c\)），用直尺和圆规作一条线段，使它等于\(a + b - c\)。
解：作图步骤：
画射线\(AD\)。
在射线\(AD\)上截取\(AB = a\)。
以点\(B\)为端点，在射线\(BD\)上截取\(BC = b\)，则\(AC = a + b\)。
以点\(A\)为端点，在线段\(AC\)上截取\(AD = c\)，则线段\(DC = AC - AD = a + b - c\)。
所以线段\(DC\)就是所求作的线段。
第十页：课堂练习
填空题：
如图，点\(B\)在线段\(AC\)上，若\(AB = 4\)厘米，\(BC = 5\)厘米，则\(AC=\)______厘米。
线段\(AB = 15\)厘米，点\(C\)在线段\(AB\)上，且\(AC = 9\)厘米，则\(BC=\)______厘米。
已知线段\(a = 3\)厘米，\(b = 5\)厘米，则\(a + b=\)______厘米，\(b - a=\)______厘米（\(b > a\)）。
选择题：
点\(C\)在线段\(AB\)上，下列关系式中不能表示点\(C\)是线段\(AB\)中点的是（ ）
A. \(AC = BC\) B. \(AB = 2AC\) C. \(AC + BC = AB\) D. \(BC=\frac{1}{2}AB\)
已知线段\(AB = 8\)厘米，点\(C\)在直线\(AB\)上，且\(AC = 2\)厘米，则线段\(BC\)的长度是（ ）
A. 6 厘米 B. 10 厘米 C. 6 厘米或 10 厘米 D. 以上都不对
解答题：
（1）已知线段\(a = 4\)厘米，\(b = 2\)厘米，用直尺和圆规作一条线段，使它等于\(2a - b\)。
（2）如图，线段\(AB = 10\)厘米，点\(C\)是线段\(AB\)上一点，\(AC = 6\)厘米，点\(D\)是线段\(AC\)的中点，点\(E\)是线段\(CB\)的中点，求线段\(DE\)的长度。
第十一页：课堂小结
线段的和：若点\(B\)在线段\(AC\)上，则\(AC = AB + BC\)。
线段的差：若点\(C\)在线段\(AB\)上（且\(AB > AC\)），则\(CB = AB - AC\)。
线段和与差的作图：
作线段的和：在射线上依次截取两条线段。
作线段的差：先截取较长线段，再在其上截取较短线段。
在计算线段的和与差时，要结合图形确定点的位置关系，明确线段之间的数量关系，必要时利用中点的性质简化计算。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 2.4 第 1、2、3、4 题。
填空题：
线段\(AB = 7\)厘米，延长\(AB\)到点\(C\)，使\(BC = 3\)厘米，则\(AC=\)______厘米。
已知点\(M\)是线段\(AB\)的中点，\(AB = 12\)厘米，点\(N\)是线段\(AM\)的中点，则\(AN=\)______厘米，\(BN=\)______厘米。
解答题：
（1）用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段\(a\)的 3 倍（即\(3a\)）。
（2）已知线段\(AB = 16\)厘米，点\(C\)在直线\(AB\)上，且\(AC = 10\)厘米，点\(D\)是线段\(BC\)的中点，求线段\(AD\)的长度（提示：分点\(C\)在线段\(AB\)上和线段\(AB\)的延长线上两种情况）。
（3）如图，已知线段\(a\)、\(b\)，用直尺和圆规作一条线段\(c\)，使\(c = 3a - 2b\)（\(3a > 2b\)）。
思考：平面上有四点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)，且\(AB = BC = CD = DA\)，那么这四点可能构成什么图形？画出示意图并说明线段之间的和差关系。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解两条线段的和与差,并会作出两条线段的和与差,增强动手能力,积累数学活动经验.
2.理解线段的中点，会用数量关系表示中点及进行相应的计算，发展抽象能力和推理能力.
学习目标
两条线段不仅可以比较长短，还可以求出它们的和与差.
A
小区
B
小区
M影院
N
药店
3km
5km
3km
（1）线段AM，MB，AB之间有怎样的关系
（2）线段AB，NB，AN之间有怎样的关系
AM+MB=AB
AB-NB=AN
观察思考
课堂导入
已知线段a，b，且a＞b.
1.在直线l上顺次画线段AB=a, BC=b.
则线段AC=
a
b
我们说线段AC是线段a与b的和,记作：AC=a+b.
B
A
C
AB+BC=a+b.
a
b
新知探究
知识点1 线段的和与差
l
2.在直线l上画线段AB=a,在线段AB上画AD=b.
则线段BD= .
我们说线段BD是线段a与b的差,记作：BD=a-b.
已知线段a，b，且a ＞ b.
a
b
B
A
D
a
b
AB-AD=a-b
新知探究
知识点1 线段的和与差
l
例1 已知线段AB＝5 cm，在直线AB上截取BC＝3 cm，则线段AC的长为_____________．
2 cm或8 cm
解析：先确定点C的位置，再分析线段的和差关系，求出线段AC长．
当点C在线段AB上时，如图（1），此时AC＝AB－BC＝5－3＝2 (cm)；
当点C在线段AB的延长线上时，如图（2），此时AC＝AB＋BC＝
5＋3＝8 (cm)．
新知探究
知识点1 线段的和与差
（1）如图，线段AB=a＋2b.
（2）如图，线段MN=3a－b.
解：
a
b
b
A
B
P
Q
b
a
a
a
N
P1
M
P
P2
例2 如图，已知线段a，b.
（1）画出线段AB，使AB=a＋2b.
（2）画出线段MN，使MN=3a－b.
a
b
一看起点，
二看方向，
三看落点.
新知探究
知识点1 线段的和与差
例3 如图，如果AB=CD，试说明线段AC和BD有怎样的关系
B
A
C
D
解：因为AB = CD，
所以AB + BC = CD + BC，
所以AC = BD.
新知探究
知识点1 线段的和与差
问题 如图，已知线段a和直线l.
（1）在直线l上依次画出线段AB=a，BC=a，CD=a，DE=a.
（2）根据上述画法填空：
AC=____AB， AD=__ AB，AE=____AB；
AB= ____ ，AB= _____，AB= _____.
a
l
A
B
C
D
E
2
3
4
AC
AD
AE
新知探究
知识点2 线段的中点
如图，线段AB上的一点M，把线段 AB 分成两条线段AM与MB.
如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点.
此时，有 AM=MB= AB， AB=2AM=2MB.
A
M
B
线段的三等分点
线段的四等分点
新知探究
知识点2 线段的中点
定义：
C
A
B
因为点C在线段AB上，且AC=BC，
因为点C是线段AB的中点,
所以
所以点C是线段AB的中点.
（1）线段的中点的定义解析：
（2）线段的中点的性质：
（3）线段的中点的判定：
因为点C在线段AB上，且 ；
所以点C是线段AB的中点.
AC=BC
新知探究
知识点2 线段的中点
;
;
.
A
C
D
8cm
E
例4 如下图，线段AC=8cm，点E为AC的中点，D是线段EC的中点.求线段AD的长.
解：因为E为AC的中点 ,
所以，AE=CE= AC=4 （cm）.
因为D为CE的中点.
所以CD= EC=2 （cm）.
因为AD=AE+ED，所以AD=4+2=6（cm）.
新知探究
知识点2 线段的中点
1.如图，下列关系式中与图形不符合的是( )
A. AD-CD=AC B. AC+CD=BD
C. AC-BC=AB D. AB+BD=AD
B
随堂练习
2.如果点B在线段AC上，有下列各式：
①AB=0.5AC；
②AB=BC；
③AC=2AB；
④AB+BC=AC.
其中，能表示点B是线段AC的中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
随堂练习
3.下列四个语句中正确的是 （ ）
A.如果AP=BP，那么点P是AB的中点；
B.两点间的距离就是两点间的线段;
C.两点之间，线段最短;
D.比较线段的长短只能用度量法.
C
随堂练习
4.根据下图填空：
（1）MN＝AN－_______；
（2）AM＝AB－MN－ _______ ；
（3）AB＝AM＋MN＋ _______ ＝ _______ ＋MB.
AM
NB
NB
AM
随堂练习
知识点1 线段的和与差
1. 如图，下列关系式中与图不符合的是(　C　)
A. AD － CD ＝ AB ＋ BC
B. AC － BC ＝ AD － BD
C. AC － BC ＝ AC ＋ BD
D. AD － AC ＝ BD － BC
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. (荣德原创题)如图，点 A ， B ， C ， D 是直线 l 上的四
点，根据图形填空.
(1) AB ＋ BC ＝ ；(2) AC ＋ ＝ AD ；
(3) BD － BC ＝ ；(4) AD － ＝ CD .
AC 　
CD 　
CD 　
AC 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [2024·长沙北雅中学期末]已知点 C ， D 在线段 AB 上，且
AC ＝ BD ＝1.5，若 AB ＝7，则 CD 的长为 .
【点拨】
如图，因为 AC ＝ BD ＝1.5， AB ＝
7，所以 CD ＝ AB － AC － BD ＝7－1.5
－1.5＝4.
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 线段的中点
4. 把一条线段分成 的两条线段的点，叫作这条线段
的中点.
若点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM ＝ ＝
， AB ＝2 ＝2 .
相等　
BM 　
AB 　
AM 　
BM 　
1
2
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11
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13
5. [2024·邯郸峰峰矿区模拟]如图是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容，下列回答不正确的是
(　D　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
A. ※代表 MN
C. ▲代表18 D. ◎代表 CN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【点拨】
因为 MN ＝36， MC ∶ CN ＝5∶4，所以 MC ＝ MN
＝ ×36＝20.因为 P 是 MN 的中点，所以 MP ＝ MN ＝
×36＝18，所以 PC ＝ MC － MP ＝2，故D不正确.
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. [母题教材P75例2]如图，线段 AB ＝6， BC ＝4，点 D 是
AB 的中点，则线段 CD 的长为(　C　)
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 如图①，已知线段 a ， b ，则图②中的线段 AB 表示的是
(　D　)
A. a － b B. a ＋ b
C. a －2 b D. 2 a － b
【点拨】
由题图可知， AB ＝ AC － BC ＝ a ＋ a － b ＝2 a － b .
故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
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9
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12
13
8. [2024·保定清苑区模拟]如图所示，已知线段 a ， b ， c ( a
＞ b ＞ c )，请你利用刻度尺等画图工具画一条线段 MN ，
使 MN ＝ a ＋ b － c ，写出画法.
【解】画法如下：
①利用刻度尺度量，得 a ＝3 cm， b ＝2 cm， c ＝1 cm；
②计算： a ＋ b － c ＝3＋2－1＝4(cm)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
③画射线 MP ，在射线上取点 N ，使得 MN ＝4 cm，则线
段 MN 即为所作，如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
线段的和与差
线段的中点
如图，点C在线段AB上，则AB＝AC＋BC，AC＝AB－BC.
如图，线段AB上的一点M，把线段 AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点.
A
M
B
课堂小结
线段的
和与差
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