资源简介

(共39张PPT)
3.4.1一元一次方程的应用（1）
第3章 一次方程（组）
【2025-2026学年】湘教版·2024数学 七年级上册（精做课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1 一元一次方程的应用（1）
副标题：从实际问题到方程求解
背景图：日常生活中的场景，如购物算账、分配物品等，体现数学与生活的联系，背景色为暖色调，营造轻松的学习氛围。
幻灯片 2：学习目标
学会分析实际问题中的数量关系，能找出问题中的等量关系。
掌握列一元一次方程解决实际问题的基本步骤，能根据等量关系列出方程并求解。
感受数学在解决实际问题中的作用，提高运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学应用意识。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的数学问题
问题呈现：学校图书馆计划购买一批新书，若买 20 本故事书和 15 本科技书，共需花费 840 元；已知每本故事书 21 元，那么每本科技书多少元？
引导思考：这个问题中涉及哪些量？它们之间有什么关系？如何用数学方法解决这个问题？
引入主题：在生活中，像这样的实际问题还有很多，我们可以通过列一元一次方程来解决，这就是本节课要学习的内容 —— 一元一次方程的应用。
幻灯片 4：列一元一次方程解应用题的基本步骤
审：认真审题，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
设：设未知数，一般设要求的未知量为 x，也可以设与未知量相关的其他量为 x（设元时要写明单位）。
列：根据题目中的等量关系，列出一元一次方程。
解：解所列的方程，求出未知数的值。
验：检验所求的解是否符合题意（既要检验是否是方程的解，也要检验是否符合实际情况）。
答：写出答案（要注明单位）。
口诀总结：审清题意设未知，找出等量列方程，求解检验再作答，步骤完整要牢记。
幻灯片 5：示例 1—— 购物问题
例题：某商店卖出两双运动鞋，售价都是 120 元，其中一双盈利 20%，另一双亏损 20%。在这次买卖中，这家商店是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
分步解析：
审：已知两双鞋售价都是 120 元，一双盈利 20%，一双亏损 20%，求总的盈利或亏损情况。这里的盈利和亏损是相对于成本价而言的。
设：设盈利 20% 的那双鞋的成本价为 x 元，亏损 20% 的那双鞋的成本价为 y 元。
列：根据 “售价 = 成本价 ×（1 + 利润率）”，对于盈利的鞋，可列方程：x + 20% x = 120，即 1.2x = 120；对于亏损的鞋，可列方程：y - 20% y = 120，即 0.8y = 120。
解：解第一个方程，得 x = 120÷1.2 = 100；解第二个方程，得 y = 120÷0.8 = 150。
验：两双鞋的总成本为 100 + 150 = 250 元，总售价为 120 + 120 = 240 元。因为 250 > 240，所以亏损了，亏损金额为 250 - 240 = 10 元，符合实际情况。
答：这家商店亏损了，亏损了 10 元。
幻灯片 6：示例 2—— 行程问题（相遇问题）
例题：A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车的速度是每小时 65 千米，乙车的速度是每小时 55 千米，经过几小时两车相遇？
分步解析：
审：已知 A、B 两地距离，甲、乙两车的速度以及行驶方向（相向而行），求相遇时间。
设：设经过 x 小时两车相遇。
列：根据 “甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = A、B 两地的距离”，可列方程：65x + 55x = 480。
解：合并同类项得 120x = 480，系数化为 1 得 x = 4。
验：经过 4 小时，甲车行驶的路程为 65×4 = 260 千米，乙车行驶的路程为 55×4 = 220 千米，两车行驶路程之和为 260 + 220 = 480 千米，与 A、B 两地距离相等，符合题意。
答：经过 4 小时两车相遇。
幻灯片 7：常见等量关系梳理
购物问题：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 成本价；利润率 = 利润 ÷ 成本价 ×100%。
行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程；追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间；总工作量 = 各部分工作量之和（通常把总工作量看作 1）。
和差倍分问题：较大量 = 较小量 + 多余量；总量 = 倍数 × 倍量。
幻灯片 8：课堂练习 —— 基础题
某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，买了若干本课外读物，如果每人送 3 本，还余 8 本；如果每人送 5 本，则最后一人得到的课外读物不足 3 本。求该班获奖人数及所买课外读物的本数。
答案及解析：设获奖人数为 x 人，则所买课外读物有（3x + 8）本。根据题意得：0 ≤ 3x + 8 - 5 (x - 1) < 3，解得 5 < x ≤ 6.5，因为 x 为正整数，所以 x = 6，3x + 8 = 26。即获奖人数为 6 人，所买课外读物为 26 本。
学生活动：独立完成后，小组内交流解题思路和过程，教师巡视指导。
幻灯片 9：课堂练习 —— 提高题
一艘船从甲码头顺流而下到乙码头，再从乙码头逆流返回甲码头，共用去 9 小时。已知船在静水中的速度是每小时 25 千米，水流速度是每小时 5 千米，求甲、乙两码头之间的距离。
答案及解析：设甲、乙两码头之间的距离为 x 千米。顺流速度为 25 + 5 = 30 千米 / 小时，逆流速度为 25 - 5 = 20 千米 / 小时。根据时间 = 路程 ÷ 速度，可列方程：x÷30 + x÷20 = 9，解得 x = 108。即甲、乙两码头之间的距离为 108 千米。
学生活动：尝试独立完成，教师选取典型解法进行展示和讲解。
幻灯片 10：易错点警示
设未知数不写单位：在设未知数时，忘记注明单位，导致后续计算和作答单位混乱。
等量关系找错：这是列方程解应用题的关键，若等量关系错误，整个解题过程都会出错。例如在相遇问题中，错误地将甲速度 + 乙速度 = 总路程作为等量关系。
检验环节缺失：求出未知数的值后，没有检验是否符合实际情况，导致出现不合理的答案。
作答不完整：忘记写单位或答案表述不完整，不符合规范。
幻灯片 11：课堂小结
基本步骤：审、设、列、解、验、答。
关键环节：准确找出等量关系，这是列方程的基础。
常见等量关系：掌握购物、行程、工程等问题中的基本等量关系，灵活运用。
注意事项：设未知数要写单位，检验要兼顾方程解和实际意义，作答要完整规范。
幻灯片 12：课后作业
基础题：某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 40 个，15 天完成任务。实际每天比原计划多生产 10 个，实际多少天完成任务？
提高题：甲、乙两人分别从相距 100 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时 6 千米，乙的速度是每小时 4 千米。甲带了一只狗，狗的速度是每小时 10 千米，狗与甲同时出发，碰到乙时就掉头往甲这边跑，碰到甲时又掉头往乙这边跑，直到甲、乙两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？
拓展题：请你结合生活实际，编一道可以用一元一次方程解决的应用题，并解答。
幻灯片 13：结束页
结束语：通过本节课的学习，我们知道了如何用一元一次方程解决生活中的实际问题，希望同学们在今后的生活中，能多观察、多思考，用数学知识解决更多的实际问题！
预习提示：下一节课我们将学习更复杂的一元一次方程应用问题，敬请期待！
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.能结合不同的情境找出相等的数量关系，引入适当的未知数列一元一次方程，解决实际问题，建立模型观念.
2.体验建立方程模型解决问题的一般过程，体会方程思想.
学习目标
一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.
课堂导入
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
新知探究
知识点1 行程问题
思考
轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度；
轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度.
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，
则
轮船顺水航行的速度为_______ km/h，
逆水航行的速度为_______ km/h.
(x+2)
(x-2)
新知探究
知识点1 行程问题
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
在航行过程中，你还能找到什么等量关系？
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则
轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h，
逆水航行的速度为(x-2) km/h.
甲
乙
顺水航行
逆水航行
新知探究
知识点1 行程问题
甲
乙
顺水航行
逆水航行
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
4h
5h
(x+2)km/h
(x-2)km/h
4(x+2)
5(x-2)
=
解得
x=18 .
因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h .
新知探究
知识点1 行程问题
解:设经过 x min，两人首次相遇.
根据题意，得 350x+250x=400.
解得 x=.
答:经过 min，两人首次相遇.
运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇
知识点1 行程问题
新知探究
做一做
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
分析：题目中的等量关系：
椅子数＋凳子数＝16，
椅子腿数＋凳子腿数＝60 .
新知探究
知识点2 和、差、倍、分问题
解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.
根据题意，得 4x+3(16-x)=60 .
解得 x=12 .
因此，凳子有 16-12=4 (把) .
答：有12张椅子，4把凳子.
新知探究
知识点2 和、差、倍、分问题
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
根据题意，得 4（13 + x）= 40 + x.
解得 x = – 4.
答： 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
新知探究
知识点2 和、差、倍、分问题
做一做
刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
分析：设总工作量为1，则甲每天完成工作总量的，乙每天完成工作总量的. 若设甲、乙两人合绣了x天，则甲共绣了(x+1) 天，乙共绣了(x+4) 天.
新知探究
知识点3 工程问题
题中有什么等量关系？
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
新知探究
知识点3 工程问题
刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，
则根据题意，得
解得 x=4 .
答：甲、乙两人再合绣4天就可以完成这件作品.
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
新知探究
知识点3 工程问题
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线
新知探究
知识点3 工程问题
做一做
用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤：
实际问题
分析问题
找出等量关系
设出未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
新知探究
知识点3 工程问题
这一过程一般包括以下几个步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并作答.
新知探究
知识点3 工程问题
【课本P113 练习 第1题】
1. (1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；
解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm.
根据题意，得 2x+2(x-5)=60.
解得 x=12.5.
答：该长方形的长为12.5 cm.
随堂练习
解：设长方形的宽为x cm，则长为 x cm.
根据题意，得 2x+2× x=60.
解得 x=12.
答：该长方形的宽为12 cm.
随堂练习
【课本P113 练习 第1题】
1. (2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3∶2，求该长方形的宽.
2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场.
根据题意，得 3x+(14-5-x)=19 .
解得 x=5.
答：该队共胜5场.
【课本P113 练习 第2题】
随堂练习
知识点1 和差倍分问题
1.已知的3倍比的大16，则 的值为( )
B
A.11 B.10 C.9 D.8
2.根据下图中的对话，算出小亮今年的年龄为( )
A
A.8岁 B.6岁 C.10岁 D.7岁
3. ［2024无锡中考］《九章算术》中有一道“凫雁相逢”
问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从
北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经
过多少天相遇？设经过 天相遇，则下列方程正确的是( )
A
A. B. C. D.
4.［2024贵州中考］在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道
题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则
快马追上慢马需要的天数是____.
20
5.［2025邵阳期末］某校七年级学生分别到云山国家森林公园研学教育
基地、武冈国防教育基地进行研学，共689人，到云山国家森林公园研
学教育基地的人数是到武冈国防教育基地人数的2倍多56.设到武冈国防
教育基地的人数为 ，可列方程为__________________.
6.（4分）［2024吉林中考］钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色
琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和
黑色琴键的个数.
解：设黑色琴键有个，则白色琴键有 个，由题意，得
，解得， （个）.
答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个.
知识点2 工程问题
7.［2025常德期末］小明根据方程“ ”编写了一道
应用题，请你把空缺的部分补充完整.甲、乙两名工人生产零件，已知
甲工人每天比乙工人多生产5个零件，_____________________________
______________________，请问甲工人每天生产多少个零件？
（设甲工人每天生产 个零件）
甲工人工作5天，乙工人工作10
天，共生产了400个零件
8.（4分）某隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独
立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘
进.已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进 ，求甲、乙两个
工程队平均每天分别掘进多少米.
解：设甲工程队平均每天掘进，则乙工程队平均每天掘进 .
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：甲工程队平均每天掘进，乙工程队平均每天掘进 .
9.一个五位数A的万位数字为3，千位数字为，百位数字为 ，十位数字
为，个位数字为，可表示为 ，它的2倍与另一个五位数
相等，则A这个五位数为________.
37 499
10.某校今年3月开展植树活动.按班级顺序领取树苗，七（1）班先领取
全部树苗的，七（2）班领取100棵后，再领取余下部分的 ，两班领
取的树苗棵数相等，则树苗的总棵数为_______.
9 000
11.整理一批图书，由1人做要完成.现计划由一部分人先做 ，然
后增加6人与他们一起做 ，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，
则应先安排___人工作.
3
12.（8分）［2025长沙期末］为提高学生的计算能力，五好中学七年级
在元旦之前组织了一次数学速算比赛.速算规则如下：速算试题形式为
计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或答错一题倒扣1分.小明代
表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
（1）如果小明的最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
解：设小明计算对了道题，根据题意，得 ，解得
.
答：小明计算对了17道题.
（2）小明的最后得分可能为91分吗？如果不可能，请说明理由.
解：不可能，
理由如下：设小明计算对了 道题，
根据题意，得 ，
解得 .因为18.5不是整数，
所以小明的最后得分不可能为91分.
13.（12分） 如图所示
是某年2月份的月历，“凹型”阴影部分
在月历中移动，必须覆盖其中五个数.
（1）设覆盖的最小数为 ，请用式子表
示所覆盖的五个数之和.
解： .
故所覆盖的五个数之和是 .
（2）甲同学所覆盖的五个数之和为86，请求出所覆盖的五个数中最大
的数.
解：根据题意，得 ，
解得，所以 .
故所覆盖的五个数中最大的数是21.
（3）乙同学想覆盖的五个数之和为98，能办到吗？若能，请求出这五
个数；若不能，请说明理由.
解：不能办到，理由如下：
假设所覆盖的五个数之和为98，
则，解得 .
因为是整数，所以 不符合题意，所以不能办到.
用一元一次方程解决有关实际问题的步骤：
实际问题
分析问题
找出等量关系
设出未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
课堂小结
谢谢观看！

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