资源简介

(共38张PPT)
3.8 三元一次方程组
第3章 一次方程（组）
【2025-2026学年】湘教版·2024数学 七年级上册（精做课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：3.8 三元一次方程组
副标题：认识与解法
背景图：以三个相互关联的天平为背景，每个天平两侧分别放置不同的未知数符号和常数，体现三元一次方程组中三个未知数的平衡关系，背景色延续蓝绿色调。
幻灯片 2：学习目标
理解三元一次方程和三元一次方程组的概念，能准确识别三元一次方程和三元一次方程组。
知道三元一次方程组的解的含义，会检验一组数是否为三元一次方程组的解。
掌握解三元一次方程组的基本思路 ——“消元”，能运用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组。
幻灯片 3：复习回顾
二元一次方程（组）的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的方程；由两个含相同未知数的二元一次方程组成的方程组。
二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法，核心是 “消元”，将二元转化为一元。
引入新问题：如果实际问题中含有三个未知量，且数量关系满足三个等量关系，那么我们需要用到三元一次方程组来解决，这就是本节课的学习内容。
幻灯片 4：三元一次方程的概念
概念呈现：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做三元一次方程。
举例说明：
3x + 2y - z = 5 是三元一次方程，因为含有 x、y、z 三个未知数，且每个未知项的次数都是 1。
下列式子不是三元一次方程：
x + y + z = 7（z 的次数是 2）
xy + z = 3（xy 项的次数是 2）
2x + y = 1（只含有两个未知数）
三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解。三元一次方程有无数个解。
幻灯片 5：三元一次方程组的概念
概念呈现：由三个含有相同未知数的三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。
举例说明：
\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ x - y = 1 \\ 2x - z = 3\end{cases}\) 是三元一次方程组，三个方程都含有 x、y、z 三个未知数，且每个方程都是三元一次方程。
注意：组成方程组的三个方程中，未知数的个数可以不完全相同，但必须都含有三个相同的未知数；每个方程都是三元一次方程。
幻灯片 6：三元一次方程组的解
概念呈现：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。
检验方法：将一组数分别代入方程组中的每个方程，若每个方程的左右两边都相等，则这组数是该方程组的解。
示例：检验\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3\end{cases}\)是否为方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ x - y = 1 \\ 2x - z = 1 \end{cases}\)的解。
代入①：左边 = 2 + 1 + 3 = 6，右边 = 6，左边 = 右边。
代入②：左边 = 2 - 1 = 1，右边 = 1，左边 = 右边。
代入③：左边 = 2×2 - 3 = 1，右边 = 1，左边 = 右边。
结论：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3\end{cases}\)是该方程组的解。
幻灯片 7：解三元一次方程组的基本思路
核心思想：仍然是 “消元”，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程。
转化过程：三元一次方程组\(\xrightarrow{ }\)二元一次方程组\(\xrightarrow{ }\)一元一次方程\(\xrightarrow{ ± è§ }\)求出一个未知数的值\(\xrightarrow{ }\)求出另外两个未知数的值。
常用方法：代入消元法和加减消元法，与解二元一次方程组的方法类似，但需要多一步消元过程。
幻灯片 8：示例 1—— 用代入消元法解三元一次方程组
例题：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x + 2y + 5z = 22 \\ x = 4y \end{cases}\)
分步解析：
第一步：消去 x（代入法）
把③代入①和②，消去 x：
代入①得：4y + y + z = 12→5y + z = 12 ④
代入②得：4y + 2y + 5z = 22→6y + 5z = 22 ⑤
第二步：解二元一次方程组
由④得 z = 12 - 5y ⑥，把⑥代入⑤得：6y + 5 (12 - 5y) = 22→6y + 60 - 25y = 22→-19y = -38→y = 2。
把 y = 2 代入⑥得：z = 12 - 5×2 = 2。
第三步：回代求 x
把 y = 2 代入③得：x = 4×2 = 8。
检验与答案：将\(\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)代入原方程组，三个方程左右两边均相等，所以方程组的解是\(\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)。
幻灯片 9：示例 2—— 用加减消元法解三元一次方程组
例题：解方程组\(\begin{cases}3x + 4z = 7 \\ 2x + 3y + z = 9 \\ 5x - 9y + 7z = 8 \end{cases}\)
分步解析：
第一步：消去 y
观察方程②和③，y 的系数分别是 3 和 - 9，②×3 得：6x + 9y + 3z = 27 ④。
④ + ③得：(6x + 9y + 3z) + (5x - 9y + 7z) = 27 + 8→11x + 10z = 35 ⑤。
第二步：解由①和⑤组成的二元一次方程组\(\begin{cases}3x + 4z = 7 \\ 11x + 10z = 35 ¤\end{cases}\)
①×5 得：15x + 20z = 35 ⑥；⑤×2 得：22x + 20z = 70 ⑦。
⑦ - ⑥得：7x = 35→x = 5。
把 x = 5 代入①得：3×5 + 4z = 7→15 + 4z = 7→4z = -8→z = -2。
第三步：回代求 y
把 x = 5，z = -2 代入②得：2×5 + 3y + (-2) = 9→10 + 3y - 2 = 9→3y = 1→y = \(\frac{1}{3}\)。
答案：方程组的解是\(\begin{cases}x = 5 \\ y = \frac{1}{3} \\ z = -2\end{cases}\)。
幻灯片 10：解三元一次方程组的步骤总结
确定消元对象：观察方程组中未知数的系数，选择一个系数较简单或出现次数较少的未知数作为先消去的对象。
消元转化：运用代入法或加减法，消去选定的未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组。
解二元一次方程组：用之前学过的方法求出两个未知数的值。
回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出第三个未知数的值。
检验与作答：将三个未知数的值代入原方程组的每个方程进行检验，确认正确后写出答案。
口诀：“三元先消元，转化为二元；再消一元解，回代求全解”。
幻灯片 11：课堂练习 —— 基础题
下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A. \(\begin{cases}x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ z + w = 4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ xz = 3\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \\ z = 2\end{cases}\)
解方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ z + x = 4\end{cases}\)
答案及解析：
选项 C 是三元一次方程组；
① + ② + ③得：2x + 2y + 2z = 12→x + y + z = 6 ④；④ - ①得 z = 3；④ - ②得 x = 1；④ - ③得 y = 2，所以方程组的解是\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)。
幻灯片 12：课堂练习 —— 提高题
已知方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ y + z = -2 \\ z + x = 9\end{cases}\)，求 x + y + z 的值。
答案及解析：将三个方程相加得：2x + 2y + 2z = 10→x + y + z = 5。
学生活动：小组讨论，尝试不用分别求 x、y、z 的值，直接求出 x + y + z 的值，体会整体思想在解方程组中的应用。
幻灯片 13：解三元一次方程组的技巧
选择合适的消元对象：优先消去系数为 1 或 - 1 的未知数，或在三个方程中系数成倍数关系的未知数。
整体消元：如练习中通过将三个方程相加，整体求出 x + y + z 的值，再求各未知数的值，简化计算。
注意符号和系数：在加减消元时，要注意符号的变化和系数的计算，避免出错。
分步检验：每消去一个未知数后，可简单检验所得的二元一次方程组是否正确，减少后续错误。
幻灯片 14：易错点警示
概念理解错误：认为含有三个未知数的方程就是三元一次方程，忽略 “未知项的次数都是 1” 这一条件。
消元时漏项：在进行加减消元时，漏加或漏减某一项，导致二元一次方程组错误。
回代时代入错误的方程：求出两个未知数的值后，回代到变形后的方程而非原方程，可能因变形错误导致结果错误。
计算粗心：三元一次方程组的计算步骤较多，容易在系数计算、符号处理等方面出错。
幻灯片 15：课堂小结
核心概念：
三元一次方程：含三个未知数，未知项次数都是 1 的方程。
三元一次方程组：由三个含相同未知数的三元一次方程组成。
解：三个方程的公共解。
解法思路：消元，将三元→二元→一元，方法有代入法和加减法。
关键步骤：确定消元对象→转化为二元方程组→求解并回代→检验作答。
思想方法：消元思想、转化思想、整体思想（在某些问题中）。
幻灯片 16：课后作业
基础题：
（1）检验\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1 \\ z = 3\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 8 \\ x - 2y - z = 3\end{cases}\)的解。
（2）解方程组\(\begin{cases}3x - y + z = 4 \\ 2x + 3y - z = 12 \\ x + y + z = 6\end{cases}\)
提高题：
已知 x、y、z 满足\(\begin{cases}x + 2y + 3z = 10 \\ 4x + 3y + 2z = 15\end{cases}\)，求 x + y + z 的值。
拓展题：某三位数，个位、十位、百位上的数字之和是 15，百位上的数字比十位上的数字多 5，个位上的数字是十位上数字的 3 倍，求这个三位数。
幻灯片 17：结束页
结束语：本节课我们学习了三元一次方程组的概念和解法，其核心仍然是 “消元” 思想，将复杂的问题逐步简化。掌握了三元一次方程组的解法，我们就能解决更多含有三个未知量的实际问题。
思考：生活中哪些实际问题可能需要用三元一次方程组来解决呢？
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.知道三元一次方程组的概念.
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想，发展运算能力.
3.会列三元一次方程组解决简单的实际问题，发展模型观念和应用意识.
学习目标
代入消元法
加减消元法
解一元一次方程
二元一次方
程组的解法
“多元”
“一元”
消元
化归转化的思想
课堂导入
含有两个未知数
二元一次方程组
含有三个未知数
？
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
一般地，三元一次方程组含有三个方程.
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.
新知探究
知识点1 三元一次方程组
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
做一做
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
新知探究
知识点1 三元一次方程组
对于未知数为x，y ，z的三元一次方程组，若x ，y ，z分别用数c1， c2， c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1， c2， c3)叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
新知探究
知识点1 三元一次方程组
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
思考
以 为例来探究三元一次方程组的解法.
①
②
③
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
①
②
③
将方程①两边都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
加减消元法
代入消元法
三元
二元
一元
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
三元一次方程组
二元一次方程组
先消去一个未知数
一元一次方程组
再消去一个未知数
得出一个未知数的值
得出第二个未知数的值
得出第三个未知数的值
代入所得二元一次方程组中的一个方程
已知的两个数代入所得三元一次方程组中的一个方程
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
例1 解三元一次方程组：
①
②
③
解：③×5-①，得
因此，是原三元一次方程组的解.
④
y+4z=-10 .
③×3-②，得
2y+7z=-7 .
⑤
④×2-⑤，得
z=-13 .
把z用-13代入方程④，得
y= 42 .
把y用42，z用-13代入方程③，得
x=-31 .
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
例2 解三元一次方程组：
①
②
③
解：②×3-①，得
④
x+7z=-12 .
②+③，得
5x-2z=-23 .
⑤
④×5-⑤，得
37z=-37 ，
两边都除以37，得
z=-1 .
把z用-1代入方程④，得
x=-5 .
把x用-5， z用-1代入方程②，得
y=-4.
因此，是原三元一次方程组的解.
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
做一做
自己动手求出本节开篇
“做一做”栏目中的三位数：
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
①
②
③
解：③-①，得
④
y+z=4 .
④-②，得
4y=4 .
两边都除以4，得
y=1 .
把y用1代入方程②，得
z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得
x=8 .
因此，这个三位数是318.
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
1.解下列三元一次方程组：
①
②
③
解：(1) ②+③，得
④-①，得
把y用6代入方程①，得
把x用1代入方程③，得
因此，是原三元一次方程组的解.
x+2y=13.
④
y=6.
x=1.
z=-6.
【课本P137 练习】
随堂练习
1.解下列三元一次方程组：
①
②
③
(2) ③×2-①，得
③×3-②，得
⑤-④，得
把y用-5代入方程④，得
因此，是原三元一次方程组的解.
y+7z=-19.
④
11y+7z=-69.
x=8.
z=-2.
⑤
10y=-50，
两边同时除以10，得
y=-5.
把z用-2，y用-5代入方程③，得
随堂练习
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
解得
解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为 x 岁，y 岁，z 岁，
则
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.
随堂练习
知识点1 三元一次方程的概念
1.下列方程中是三元一次方程的是( )
B
A. B.
C. D.
2.若方程是关于，， 的三元一次方程，
则___，____， ___.
0
0
知识点2 三元一次方程组及其解的概念
3.下列是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
4.下列四组数值中，是方程组 的解的是( )
D
A. B. C. D.
知识点3 解三元一次方程组
5.解方程组 最简便的消元方法是( )
B
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项
6.利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是
( )
A
A.要消去，先，再
B.要消去，先，再
C.要消去，先，再
D.要消去，先，再
7.（8分）解下列三元一次方程组：
（1）
解：由①，得 ，
把代入方程②，得，解得.把 代
入方程③，得，解得.把，代入 ，
得.因此， 是原三元一次方程组的解.
（2）
解：，得 ，
两边同时除以2，得 ，④
，得，，得，，得 ，因此，
是原三元一次方程组的解.
知识点4三元一次方程组的应用
8.某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
胜/场 平/场 负/场 积分/分
A队 8 2 2 26
B队 6 5 1 23
C队 5 7 0 22
问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？若设每队胜1场积 分，平1
场积分，负1场积 分，则可列方程组为_ ___________________.
9.已知等式，当时，；当时， ；
当时，，则当时， ____.
52
10.三元一次方程组 消去一个未知数后，所得二元一
次方程组是( )
A
A. B.
C. D.
11.若，则__，___，
____.
1
12.［2025常德期末］幻方是古老的数字问题，我国古代的“洛书”中记
载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、
每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等.如图为一个三阶幻方的
一部分，则图中 的值为___.
12
4
[解析] 点拨：根据题意，得
即
所以，得 .
13.（8分）解下列方程组：
（1）
解：，得 .④
，得，解得.把代入③，得 ，解得
.
把,代入①，得 .
故原方程组的解为
（2）
解：把①代入②，得，即 .④
，得，解得 .
把代入①，得 .
把代入③，得，解得 .故原方程组的解为
14.（8分） 如图，约定：上方相邻两数
之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示
例： ，即 .
（1）若，求, 的值；
解：依题意，得
当时，
（2）若，求 的值.
解：依题意，得
所以
因为，所以
所以 .
三元一次方程组
定义
含未知数的项的次数都是 1
含有 3 个未知数
解答思路
化“三元”为“二元”
一般有三个方程
课堂小结
谢谢观看！

展开更多......

收起↑