资源简介

1.1 从自然数到有理数
第1章 有理数
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
从自然数到有理数
课程目标
全面了解自然数、整数、分数和有理数的定义和基本特性。
掌握有理数的基本运算方法及其性质。
深入认识有理数在数学中的重要地位及其广泛应用。
自然数的定义和性质
定义：自然数是最基本的数集，从 1 开始，包括所有正整数（在新的定义中，0 也属于自然数）。如 1、2、3、4、5……
特性
唯一性：每个自然数都独一无二。
顺序性：可明确表示事物的先后顺序，如第 1 名、第 2 名等。
封闭性：自然数进行加法和乘法运算，结果仍为自然数。例如 2 + 3 = 5，2 × 3 = 6 。
自然数的应用
计数：生活中计算物体数量，如教室里有 30 张桌子。
排序：比赛排名，如小明在跑步比赛中获得第 5 名。
测量基础：测量长度、重量等时，测量结果常以自然数为基础单位进行记录 。
分数的定义和性质
定义：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\) 。
性质
表示部分与整体关系：如将一个蛋糕平均分成 8 份，其中的 3 份可表示为\(\frac{3}{8}\) 。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。例如\(\frac{1}{2}=\frac{1×3}{2×3}=\frac{3}{6}\) 。
分数的应用
表示物品的一部分：一根绳子用去了\(\frac{2}{5}\) 。
描述比例关系：在一个班级中，男生占总人数的\(\frac{3}{5}\) 。
数学运算：分数的加、减、乘、除运算在实际问题和数学理论中广泛应用。如\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3 + 2}{6}=\frac{5}{6}\) 。
生活中的相反意义的量
实例
气温的零上 6℃和零下 3℃。
汽车向东行驶 2.5 千米和向西行驶 1.5 千米。
商场盈利 3000 万和亏损 2000 万。
股票指数上涨 100 点或下降 150 点。
特点
意义相反。
属于同一属性，与数值大小无关。
负数的引入
定义：为表示具有相反意义的量，把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，如 123、3.14 等，这样的数叫正数；把另一种与之意义相反的量规定为负，用大于 0 的数前面放上 “-”（读作负号）来表示，如 - 1、-2.5 等，这样的数叫做负数。
注意：0 既不是正数，也不是负数。
有理数的定义
有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。整数可看作分母为 1 的分数。如 2 可表示为\(\frac{2}{1}\)，-3 可表示为\(\frac{-3}{1}\)，\(\frac{1}{2}\) 。
有理数的分类
按定义分类
整数：正整数、零、负整数统称整数。如 1、0、-1。
分数：正分数、负分数统称分数。如\(\frac{1}{2}\)、\(-\frac{3}{4}\) 。
按性质分类
正有理数：正整数和正分数。如 2、\(\frac{3}{5}\) 。
零：既不是正数也不是负数。
负有理数：负整数和负分数。如 - 3、\(-\frac{2}{3}\) 。
有理数的应用
测量与计算：生活中测量长度、重量、时间等，结果常用有理数表示。如铅笔长 15.5 厘米，即\(\frac{31}{2}\)厘米 。
金融领域：利率、股票价格、汇率等常用有理数表示。如年利率为 3.5%，即\(\frac{3.5}{100}\) 。
工程与科学：物理中的速度、加速度，工程中的比例尺等计算都离不开有理数。如汽车速度为 60 千米 / 小时，即\(\frac{60}{1}\)千米 / 小时 。
总结
数的发展：从自然数到分数，再到引入负数形成有理数。
重要概念：自然数、分数、负数、有理数的定义和性质。
有理数分类：按定义和性质两种分类方式。
应用广泛：在生活、金融、科学等多领域有重要应用。
5
课堂检测
4
新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.自然数的作用：
（1）计数，计量人或物的数量；
（2）测量，如长度、高度、质量等；
（3）标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮编、身
份证号码等。
并不是所有的小数都能化为分数，如小学学过的π 就不能
化为分数。
?
典例1 李亮收集到以下信息：
（1）某城市有16条公共汽车线路；
（2）王刚乘坐T26 次火车去上海；
?
（3）刘风在校运动会上获得跳远比赛第1名。
其中，用自然数表示标号的有_______，表示排序的有_______,表
示计数的有_______。（填序号）
（2）
（3）
（1）
2.分数、小数的关系：
（1）分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数
（有限小数或无限循环小数）；
（2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数。如
1.68=168100=4225，0.3?=13，20%=15 。
?
典例2 把下列各数化成分数：
2.7，0.13，12% 。
?
解：2.7=2710，0.13=13100，12%=12100=325 。
?
1.具有相反意义的量包括两层含义：（1）具有相反意义；
（2）具有数量。



常见的表示相反意义的词语
增加←→ 减少
零上←→ 零下
前进←→ 后退
向东←→ 向西
上升←→ 下降等
?
（2）具有数量。
敲黑板 具有相反意义的量的特点
特点
解读与举例
成对性
单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米。
同类性
具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量。
不唯
一性
具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等。
典例3 下列选项中，是具有相反意义的量的是( )
C
A.身高增加1?cm与体重减少1?kg
B.海平面以上与海平面以下
C.向东5?m与向西8?m
D.存入100元与降价10元
?
2.具有相反意义的量的表示
为了区别具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学
过的数或者带有“+ ”（正号）的数表示；把另外一种与它意义
相反的量用带有“-”（负号）的数表示。
表示具有相反意义的量时，一定要说明数量和单位。
?
典例4（1） 2024年4月25日20时59分，搭载
神舟十八号载人飞船的长征二号F 遥十八运载火箭在酒泉卫星发射
中心成功发射。若运载火箭发射点火前5秒记为?5 秒，那么运载火
箭发射点火后10秒记作_____________________。
?
+10秒（注意带单位）
?
（2）如果某蓄水池的水位比标准水位高2米，记作+2 米，那么比
标准水位低0.5米，应记作________;恰好等于标准水位，应记作
_____。
?
?0.5米
?
0米
（3）手机移动支付给生活带来便捷，若规定收款为正，则+37 元
表示__________，?111 元表示___________。
?
收款37元
付款111元
（4）从山脚测山高为300?m，山脚高出海平面50?m 。若以海平面
为基准，山脚的高度记作+50?m ，则山高记作________；若以山脚
为基准,山高记作+300?m ,则海平面的高度记作_______。
（选择的基准不同，表示的结果也不同）
?
+350?m
?
?50?m
?
解题通法
用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤
数的
分类
定义
举例
注意
正数
大于零的数。
123,13,1.31
正数前的“+ ”
常省略不写。
负数
用大于零的数前面放
上负号“-”来表示的
数。
?60，?0.5,?23
负数前的“-”不
能省略不写。
数的
分类
定义
举例
注意
正数
大于零的数。
负数
用大于零的数前面放
上负号“-”来表示的
数。
负数前的“-”不
能省略不写。
数的
分类
定义
举例
注意
0
（1）0是正数与负数的分界；
（2）0不仅可以表示“没有”，还可以表示
某种量的基准，如0?℃ 表示实际温度为冰
点时的计量结果。
0既不是正数，也不是负数。
数的
分类
定义
举例
注意
0
0既不是正数，也不是负数。
典例5 (宁波镇海区校级期中)下列各数?1，2，?3，0，π 中，
负数有( )
?
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：用大于零的数前面放上负号“-”来表示的数叫作负数，
所以?1，?3 这两个数是负数。
?
1.整数：正整数、零和负整数统称整数，如?3，?2，?1 ，0，
1，2，3等。
整数分为奇数和偶数。奇数和偶数中也有负数，如?6 ，
?4，?2是偶数，?5，?3，?1 是奇数。
2.分数：正分数、负分数统称分数，如213，0.2，?1.25，?15 等。
3.有理数：整数和分数统称有理数。
(任何一个有理数都可以写成????????(????,????是整数,????≠0)的形式)
?
教材延伸
4.部分常用的数：
（1）正整数:如1，2，3，? 。
负整数:如?1，?2，?3，? 。
（2）正分数:如12,43，0.1，5.32，0.3?，? 。
负分数:如?13，?65，?0.1,?5.32,?0.3? ,…。
（3）非负数:正数和0。
非正数:负数和0。
非负整数:正整数和0。（即自然数）
?
典例6 下列说法正确的有( )
①不带负号的数都是正数；②正数、负数统称有理数；
③?3.14 既是负分数，也是有理数；④有理数中除了
正数就是负数。
?
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：
序号
分析
判断
①
不带负号的数包括0,但0既不是正数也不是负数。
×
②
整数和分数统称有理数。
×
③
?3.14 既是负分数，也是有理数。
√
④
0是有理数，但0既不是正数也不是负数。
×
序号
分析
判断
①
不带负号的数包括0,但0既不是正数也不是负数。
②
整数和分数统称有理数。
③
√
④
0是有理数，但0既不是正数也不是负数。
故说法正确的只有1个。
1.按定义分类
2.按性质符号分类
敲黑板 有理数的分类三原则
（1）分类不重合——所分的各类应互不包含，如有理
数分为非负有理数、零和正有理数就违反了这一原则；
（2）分类无遗漏——所分各类之“和”必须是原来的全部，如
将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0；
（3）标准要统一——必须按同一分类标准进行分类，如将有
理数分为正有理数、零和负分数，分类标准就不统一。
典例7 把下列各数填在相应的横线上。
+203，0，+6.4，?9，?57，2.6，?0.1 。
正整数:_ _；
负分数:_ _；
非正数:_ _；
有理数:_ _。
?
在典例7的条件下。
负整数：________；
正分数：________；
非负数：___ _____；
自然数：________。
+6.4,2.6
-9
+203,0
+203,0，+6.4,2.6
自然数及其应用
1. 一个长26厘米、宽19厘米、高0.7厘米的物体，最有可能
是(　B　)
A. 衣柜
B. 数学课本
C. 手机
D. 橡皮
B
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2. 小亮在看报纸时，收集到下列信息：①某地的国民生产总
值位列全国第5位；②某城市有16条公共汽车路线；③小
刚乘G56次高铁去北京；④小凤在校运会上获得跳远比赛
第1名.其中的数表示标号或排序的是(　C　)
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
C
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3. [新考向·身边的数学]火车票上的车次号有两个意义，一是
数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198
次为直快列车，301～398次为普快列车，401～498次为普
客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数
表示从北京开出，双数表示开往北京.根据以上规定，杭
州开往北京的某一直快列车的车次号可能是(　C　)
A. 20
B. 119
C. 138
D. 319
C
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4. 一场演唱会的观众席是一个长100米、宽50米的长方形场
地，演唱会的门票全部卖光，观众席里站满了歌迷.下面
最有可能是参加演唱会的观众总人数的是(　C　)
A. 1 000
B. 2 000
C. 20 000
D. 100 000
C
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5. [新考向·地域文化]下面关于六和塔的描述用了很多
数，说说它们哪些属于计数？哪些属于测量？哪些属
于标号或排序？
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六和塔位于西湖之南，钱塘江畔月轮山腰上.北宋开宝三
年(公元970年)，当时杭州为吴越国国都，国王为镇住钱
塘江潮水派人建造了六和塔.现在的六和塔塔身重建于南
宋，取佛教“六和敬”之义，命名为六和塔.塔高约60
米，其建造风格非常独特，塔内部砖石结构分7层，外部
木结构为8面13层.1961年被国务院定为全国重点文物保护
单位.
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【解】属于计数的有：7，8，13；
属于测量的有：60；
属于标号或排序的有：970，1 961.
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分数与小数的转化
6. 下列分数中，能化成有限小数的是(　C　)
A. ????????
B. ????????????
C. ????????????
D. ????????????
C
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7. 将下列小数化为分数，分数化为小数.
(1)0.32 (2)4.28 (3)7.2 (4)0.625

【解】(1)0.32＝???????????? ；
(2)4.28＝4???????????? ；
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(3)7.2＝7???????? ；
(4)0.625＝???????? ；
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(5)???????? (6)3???????? (7)???????????????? (8)????????????
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(5)???????? ＝0.75；
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(6)3???????? ＝3.875；
(7)???????????????? ＝0.68；
?
(8)???????????? ＝1.8????· .
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小数、分数的应用
8. 我们把分子为1的分数叫作单位分数.如???????? ，???????? ，???????? ，…，
任何一个单位分数都可以拆分成两个不同单位分数的和，
如???????? ＝???????? ＋???????? ，???????? ＝???????? ＋???????????? ，???????? ＝???????? ＋???????????? ，….
?
(1)根据对上述式子的观察，你会发现???????? ＝????□ ＋????〇 ，则□
所表示的数为 ，〇所表示的数为 ?；
?
(2)进一步思考，单位分数???????? ＝????△ ＋????☆ (n是不小于2的自然
数)，则△所表示的式子为 ，☆所表示的式子
为 ?.
?
6　
30　
n＋1　
n(n＋1)　
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9. [新考向·传统文化 2024·浙江台州调研]《礼记·杂记上》记
载：“苇席以为屋，蒲席以为裳帷.”蒲为多年生草本植
物，生池沼中，高近2米，根茎长在泥里，可食.其中涉及
的自然数2属于(　B　)
A. 计数
B. 测量
C. 标号
D. 排序
B
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10. [2023·金华义乌月考]按一定规律排列的一列数依次为：
???????? ，???????? ，???????????? ，???????????? ，???????????? ，???????????? ，…，按此规律排列下去，这
列数中的第9个数是 ?.
?
???????????? 　
?
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(1)5名成人，5名儿童，选择哪种方案合算？
【解】方案一：5×150＋5×60＝1 050(元)，
方案二：(5＋5)×100＝1 000(元)，
1 050＞1 000，因此选择方案二合算.
11. 如图，某旅行社推出了“西湖风景区一日游”的两种价
格方案.
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(2)5名成人，10名儿童，怎样购票合算？
【解】5名成人选方案二，10名儿童选方案一购票
合算.
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12. [母题 教材P8作业题T1]读完下面这段话，回答问题：
我们的教室长12 m，宽8 m，讲台长1.2 m，宽0.8 m，我们班有50人，占全年级人数的8％，多数同学都是13岁.
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(1)在老师刚才描述中出现了哪些数？其中哪些属于计
数？哪些属于测量？哪些属于标号或排序？
【解】在老师刚才描述中出现了：12、8、1.2、
0.8、50、8％、13，其中属于计数的有50、8％、
13，属于测量的有12、8、1.2、0.8，出现的数均不
属于标号或排序；
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(2)你能将这些数进行分类吗？
【解】能.按整数和分数分类：整数有12、8、50、
13，分数有1.2、0.8、8％；
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(3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例
说明.
【解】仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面
积时，发现圆周率，但圆周率的值并不能由两个整数
相除而得；又如求边长为1的正方形对角线长时，求
得的既不是整数也不是分数.(举例不唯一)
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13. [新考法·阅读类比法]阅读材料：把无限循环小数化为分
数，可以按如下方法进行：
以0.????· 为例，令0.????· ＝x，
由0.????· ＝0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3＋
x，解得x＝???????? ，于是0.????· ＝???????? .
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(1)请把无限循环小数0.????· 化为分数是 ?；
(2)请把无限循环小数0.????????· 化为分数；
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【解】令0.????????· ＝x，则100x＝75.757 5…，
所以100x＝75＋x，所以x＝???????????????? .
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???????? 　
?
(3)将0.????· 1????· 与0.????· 的积化为小数，则小数点后第999位
数字是 ?.
?
0　
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谢谢观看！

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