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2.3 有理数的乘法
第2章 有理数的运算
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的乘法
课程目标
理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则。
能够熟练运用有理数乘法法则进行计算。
了解有理数乘法的运算律，并能运用运算律简化计算。
学会运用有理数乘法解决实际问题。
有理数乘法的定义
有理数的乘法是求几个相同有理数相加的简便运算。例如，3 个（-2）相加，即（-2）+（-2）+（-2），可以用乘法表示为（-2）×3。
有理数乘法法则
同号两数相乘：取正号，并把绝对值相乘。
例如：（+3）×（+5）= +（3×5）= +15；（-3）×（-5）= +（3×5）= +15 。
异号两数相乘：取负号，并把绝对值相乘。
例如：（+3）×（-5）= -（3×5）= -15；（-3）×（+5）= -（3×5）= -15 。
任何数与 0 相乘：都得 0。
例如：0×（+5）= 0；0×（-5）= 0 。
有理数乘法运算步骤
确定积的符号：根据两个乘数的符号，按照乘法法则确定积的符号。
计算积的绝对值：将两个乘数的绝对值相乘。
写出结果：将确定的符号和计算出的绝对值组合起来，得到乘法的结果。
实例演示
计算（-4）×（-5）：
确定符号：两个乘数都是负数，同号相乘取正号。
计算绝对值：4×5 = 20。
写出结果：（-4）×（-5）= +20 = 20 。
计算（-4）×5：
确定符号：一个乘数是负数，一个是正数，异号相乘取负号。
计算绝对值：4×5 = 20。
写出结果：（-4）×5 = -20 。
计算 0×（-6）：
根据法则，任何数与 0 相乘都得 0，所以 0×（-6）= 0 。
多个有理数相乘的法则
几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：
当负因数的个数是偶数时，积是正数；
当负因数的个数是奇数时，积是负数。
几个数相乘，如果其中有一个因数是 0，积就为 0。
例如：（-2）×（-3）×（-4），负因数的个数是 3 个（奇数），所以积是负数，绝对值为 2×3×4 = 24，即（-2）×（-3）×（-4）= -24 ；（-2）×（-3）×4，负因数的个数是 2 个（偶数），所以积是正数，绝对值为 2×3×4 = 24，即（-2）×（-3）×4 = 24 ；（-2）×0×（-3）= 0 。
有理数乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示为：a×b = b×a 。例如：（-3）×4 = 4×（-3）= -12 。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为：（a×b）×c = a×（b×c）。例如：[（-2）×3]×（-4）=（-2）×[3×（-4）] = 24 。
乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：a×（b + c）= a×b + a×c 。例如：（-5）×（2 + 3）=（-5）×2 +（-5）×3 = -10 +（-15）= -25 。
运用运算律简化计算
在进行多个有理数相乘时，合理运用乘法交换律、结合律和分配律，可以使计算更加简便。
例如：计算（-8）×（-5）×（-0.125），运用乘法交换律可得（-8）×（-0.125）×（-5）= 1×（-5）= -5 ；计算 12×（\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{4}\)），运用乘法分配律可得 12×\(\frac{1}{3}\) - 12×\(\frac{1}{4}\) = 4 - 3 = 1 。
实际应用举例
某商店每件商品亏损 2 元，卖出 5 件这样的商品，总的亏损情况如何？
可列式为：（-2）×5 = -10（元），即总的亏损 10 元。
一个水库的水位每小时下降 3 厘米，4 小时后水位下降了多少厘米？
列式为：（-3）×4 = -12（厘米），即水位下降了 12 厘米。
一片森林，每天吸收二氧化碳 5 吨，那么 3 天吸收多少吨二氧化碳？一周（7 天）呢？
3 天吸收：5×3 = 15（吨）；一周吸收：5×7 = 35（吨）。
课堂练习
计算下列各题：
（+6）×（+7）
（-6）×（-7）
（+6）×（-7）
（-6）×（+7）
0×（-8）
运用运算律计算：
（-12）×（-\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\)）
（-25）×（-4）×（-6）
总结
有理数乘法法则是进行有理数乘法运算的依据，要根据乘数的符号情况正确应用法则。
计算时要先确定符号，再计算绝对值。多个有理数相乘，需先看有无 0 因数，再确定负因数个数以定符号。
乘法交换律、结合律和分配律可以简化有理数乘法的计算，在实际运算中要灵活运用。
有理数乘法在生活中有着广泛的应用，能帮助我们解决一些实际的亏损、水位变化等问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数的乘法法则及多个有理数相乘的符号法则，能
熟练进行有理数的乘法运算，提高运算能力。
2.理解有理数的倒数的意义，会求一个非零有理数的倒数。
3.理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能运用乘法
运算律简化运算。
4.能运用有理数的乘法解决简单的实际问题，形成应用意识。
一个数与1相乘等于它本身，与?1 相乘等于它的相反数。
?
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，积为零。
典例1 计算：
（1）(?2)× (?3) ；
?
解：(?2)×(?3)
=+(2×3) （先确定积的符号，再将绝对值相乘）
=6 。
?
必须带括号
（2）(+313)×(?35) ；
?
解：(+313)×(?35)
=?(313×35)
=?(103×35) （若因数中有带分数，则把带分数化成假分数）
=?2 。
?
（3）(?2?025)×0 ；
?
解：(?2?025)×0=0 。（任何数与零相乘，积为零）
?
（4）(?123)×1.8 。
?
解：(?123)×1.8
=?123×1.8 （分数与小数相乘时，要根据这两个数的特点
统一化成分数或小数）
=?53×95
=?3 。
?
1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。
（1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负；
（2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。
可简记为“奇负偶正”。
2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即
“有0得0”。
3.多个有理数相乘的步骤：
（1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。
（2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。
（3）求：把几个乘数的绝对值相乘。
典例2 计算：
（1）(?4)×2×(?0.5) ;
?
解：(?4)×2×(?0.5)=+(4×2×0.5)=4 。
?
（2）(?56)×(?115)×(?3) ;
?
解：(?56)×(?115)×(?3)=?(56×65×3)=?3 。
?
（3）(?223)×(+457)×(?513)×0 。
?
解：(?223)×(+457)×(?513)×0=0 。
?
1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数
互为倒数。0没有倒数。
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一
个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。
2.倒数的性质：如果????,????互为倒数，那么????×????=1 。
3.倒数的判定：若????×????=1，则????，???? 两数互为倒数。
?
4.求倒数的方法：
类型
方法
示例
非零整数???? 的
倒数
用这个数作分母，1作
分子，即直接写成1 ???? 。
3的倒数是1 3 ，?3 的倒
数是?1 3 。
分数???????? 的倒数
把这个分数的分子和分
母交换位置，即???? ???? 的倒
数是???? ???? 。
?3 4 的倒数是?4 3 ,9 5 的倒数是5 9 。
类型
方法
示例
类型
方法
示例
带分数的倒数
先把带分数化成假分
数，再交换分子和分母
的位置。
?112=?32，所以?112
的倒数是?23 。
小数的倒数
先把小数化成分数，再
求其倒数。
?0.5=?12 ，所以?0.5
的倒数是?2 。
类型
方法
示例
带分数的倒数
先把带分数化成假分
数，再交换分子和分母
的位置。
小数的倒数
先把小数化成分数，再
求其倒数。
相反数与倒数的不同点
表示
性质
判定
符号
相反数
???? 的相反
数是????? 。
若????,???? 互为相
反数，则
????+????=0 。
若????+????=0 ，
则????,???? 互为相反数。
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。
倒数
????(????≠0) 的倒数是1???? 。
若????,???? 互为倒
数，则
????×????=1 ..。。..。
若????×????=1, 则????,???? 互为倒数。
正数的倒数是正数；负数的倒数
是负数；0没有
倒数。
表示
性质
判定
符号
相反数
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。
倒数
正数的倒数是正数；负数的倒数
是负数；0没有
倒数。
典例3 求下列各数的倒数：
（1）1;
解：1 的倒数是1。
（2）?53 ;
?
解：?53 的倒数是?35 。
?
（3）?213 ;
?
解：因为?213=?73，所以?213的倒数是?37 。
?
（4）?2.5 ;
?
解：因为?2.5=?52，所以?2.5的倒数是?25 。
?
（5）25% 。
?
解：因为25%=0.25=14，所以25% 的倒数是4。
?
在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。
运算律
文字叙述
用字母表示
示例
乘法交
换律
两个数相乘，交换因
数的位置，积不变。
????×????=
????×???? 。
5×(?6)=
(?6)×5
乘法结
合律
三个数相乘，先把前
两个数相乘，或者先
把后两个数相乘，积
不变。
(????×????)×????=????×(????×????) 。
[7×(?6)]×5=7×[(?6)×5] 。
运算律
文字叙述
用字母表示
示例
乘法交
换律
两个数相乘，交换因
数的位置，积不变。
乘法结
合律
三个数相乘，先把前
两个数相乘，或者先
把后两个数相乘，积
不变。
运算律
文字叙述
用字母表示
示例
分配律
一个数与两个数的和
相乘，等于把这个数
分别与这两个数相
乘，再把积相加。
????×(????+????)=????×????+????×???? 。
5×(?6+7)=5×(?6)+5×7 。
运算律
文字叙述
用字母表示
示例
分配律
一个数与两个数的和
相乘，等于把这个数
分别与这两个数相
乘，再把积相加。
分配律也可以逆用：????×????+????×????=????×(????+????)。
。
?
教材延伸：乘法运算律的推广
（1）乘法交换律与乘法结合律的推广：三个或三个
以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其
中几个因数相乘，积不变。
（2）分配律的推广：一个数与三个或三个以上的数的和
相乘，等于把这个数分别与每一个加数相乘，再把积相加，
即????×(????+????+?+????)=????×????+????×????+?+????×???? 。
?
典例4 计算：
（1）(?0.125)×(?0.05)×8×(?40) ；
?
解：(?0.125)×(?0.05)×8×(?40)
=?(0.125×0.05×8×40) （定符号：奇负偶正）
=?[(0.125×8)×(0.05×40)] （乘法交换律和结合律）
=?(1×2)
=?2 。
?
（2）12×(14?13?12) ；
?
解：12×(14?13?12)
=12×14+12×(?13)+12×(?12) （分配律）
=3?4?6
=?7 。
?
（3）5.01×33 。
?
解：5.01×33=(5+0.01)×33=5×33+0.01×33=
165+0.33=165.33 。
?
利用分配律进行计算时，不要漏乘，不要弄错符号
知识过关
①有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得?　正　，异号
得?　负　，并把?　绝对值　相乘；
(2)任何数与零相乘，积为?　零　.
②多个不为0的有理数相乘时，可以先确定?　积的符号　，
再将?　绝对值　相乘.
③若两个有理数的乘积为?　1　，就称这两个有理数互为倒
数；?　0　没有倒数.
正
负
绝对值
零
积的符号
绝对值
1
0
有理数的乘法法则
1. 计算(－3)×2，正确的结果是(　D　)
A. 6
B. 5
C. －5
D. －6
2. [2024·吉林]若(－3)×□的运算结果为正数，则□内的数
可以为(　D　)
A. 2
B. 1
C. 0
D. －1
D
D
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3. 已知一个数的相反数是2???????? ，另一个数的绝对值是2???????? ，则
这两个数的积为 ?.
?
6或－6　
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(1)(－15)×????????? ；
?
【解】(－15)×????????? ＝15×???????? ＝9.
?
(2)(－2.25)×(＋10)；
【解】(－2.25)×(＋10)＝－22.5.
(3)+???????????? ×(＋1.2).
?
【解】+???????????? ×(＋1.2)＝???????? ×???????? ＝???????? .
?
4. 计算：
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多个有理数相乘
5. [2023·慈溪月考]4个非零有理数相乘，积的符号是负号，
则这4个有理数中，正数有(　A　)
A. 1个或3个
B. 1个或2个
C. 2个或4个
D. 3个或4个
A
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6. 计算：
(1)(－10)×(－0.2)×2×(－5)；
【解】(－10)×(－0.2)×2×(－5)
＝－(10×0.2×2×5)＝－20.
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(2)+???????????? ×????????? ×(－2.5)×????????????? ；
?
【解】+???????????? ×????????? ×(－2.5)×?????????????
＝－(????????×???????? ×???????? ×???????????? )＝－???????? .
?
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(3)????????????? ×????????????? ×????????????? ×????????? .
?
【解】????????????? ×????????????? ×????????????? ×?????????
＝???????????? ×???????????? ×???????????? ×????????
＝???????????? .
?
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倒数
7. [2024·陕西]－3的倒数是(　A　)
A. －????????
B. ????????
C. －3
D. 3
C. －3
D. 3
8. 下列各组数中，互为倒数的是(　A　)
A. －2和－????????
B. －1和1
C. －???????? 和1.5
D. 0和0
B. －1和1
D. 0和0
A
A
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9. 如果ab＝－1，则称a，b互为“负倒数”，那么2的“负
倒数”是(　D　)
A. 2
B. －2
C. ????????
D. －????????
A. 2
B. －2
D
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a＞b，则ab的值为
(　A　)
A. ±12
B. ±1
C. 1或－7
D. 7或－1
A
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11. 已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a＋b＞0，那么
(　D　)
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＞0
C. a＜0，b＜0
D. a，b异号，且正数的绝对值较大
D
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12. 在整数－3，－1，0，6，2中，若选取两个整数分别填入
“□×△＝－6”的□和△中，并使等式成立，则选取后
可以填入“□”的数有(　D　)
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种
D
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13. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图，则
abc 0，abcd 0(填“＞”或“＜”).
＞　
＞　
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14. [2024·唐山模拟](1)将9个不同的数分别填入图①中的9个
空格中，使得每行、每列及对角线上各数的和都等于0；
【解】(答案不唯一)如图①所示.
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(2)将9个不同的数分别填入图②中的9个空格中，使得每
行、每列及对角线上各数的积都等于1.
【解】(答案不唯一)如图②所示.
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15. [新视角·新定义题]若定义一种新的运算“*”，规定有理
数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24.
(1)求3*(－4)的值；
【解】3*(－4)
＝4×3×(－4)
＝－48.
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【解】(－2)*(6*3)
＝(－2)*(4×6×3)
＝(－2)*72
＝4×(－2)×(72)
＝－576.
(2)求(－2)*(6*3)的值.
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谢谢观看！

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