资源简介

2.5 有理数的乘方
第2章 有理数的运算
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的乘方
课程目标
理解有理数乘方的定义，掌握乘方的相关概念，如底数、指数、幂。
熟练掌握有理数乘方的符号法则和运算步骤，能准确进行乘方运算。
明确乘方与乘法的关系，了解乘方运算律，学会运用乘方解决实际问题。
有理数乘方的定义
求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。例如，3 个 2 相乘，即 2×2×2，可表示为\(2^3\)，读作 “2 的 3 次方” 或 “2 的立方”，其中结果 8 就是幂。
乘方的相关概念
在\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。
当 n=1 时，\(a^1=a\)，通常省略指数 1。
例如，在\(5^4\)中，底数是 5，指数是 4，读作 “5 的 4 次方”，表示 4 个 5 相乘，即 5×5×5×5。
乘方与乘法的关系
乘方是乘法的特殊形式，\(a^n\)表示 n 个 a 相乘，即\(a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n???a}\)。
例如，\(3^5=3\times3\times3\times3\times3\)，\((-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\)。
有理数乘方的符号法则
正数的任何次幂都是正数。
例如，\(2^3=8\)，\(5^2=25\) 。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
例如，\((-3)^3=-27\)（3 是奇数），\((-3)^2=9\)（2 是偶数） 。
0 的任何正整数次幂都是 0。
例如，\(0^5=0\)，\(0^{10}=0\) 。
有理数乘方的运算步骤
确定幂的符号：根据底数的符号和指数的奇偶性，按照符号法则确定幂的符号。
计算幂的绝对值：将底数的绝对值进行乘方运算，即求 n 个底数绝对值相乘的积。
写出结果：将确定的符号和计算出的绝对值组合起来，得到乘方的结果。
实例演示
计算\((-4)^3\)：
确定符号：底数是 - 4（负数），指数是 3（奇数），根据符号法则，负数的奇次幂是负数，所以幂的符号为负。
计算绝对值：\(4^3=4\times4\times4=64\)。
写出结果：\((-4)^3=-64\) 。
计算\((-2)^4\)：
确定符号：底数是 - 2（负数），指数是 4（偶数），负数的偶次幂是正数，所以幂的符号为正。
计算绝对值：\(2^4=2\times2\times2\times2=16\)。
写出结果：\((-2)^4=16\) 。
计算\(0.5^3\)：
确定符号：底数是 0.5（正数），正数的任何次幂都是正数，所以幂的符号为正。
计算绝对值：\(0.5^3=0.5\times0.5\times0.5=0.125\)。
写出结果：\(0.5^3=0.125\) 。
乘方的运算律
同底数幂相乘：\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)（m、n 都是正整数）。
例如，\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7=128\) 。
幂的乘方：\((a^m)^n=a^{m\times n}\)（m、n 都是正整数）。
例如，\((3^2)^3=3^{2\times3}=3^6=729\) 。
积的乘方：\((a\times b)^n=a^n\times b^n\)（n 是正整数）。
例如，\((2\times3)^4=2^4\times3^4=16\times81=1296\) 。
有理数乘方的运算技巧
对于底数是分数或负数的乘方，要注意添加括号，避免出错。例如，\((\frac{1}{2})^3\)表示 3 个\(\frac{1}{2}\)相乘，即\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)；而\(\frac{1}{2^3}\)表示\(\frac{1}{(2\times2\times2)}=\frac{1}{8}\)，虽然结果相同，但意义不同，若底数是负数，不添加括号则结果会截然不同，如\(-2^4=-(2\times2\times2\times2)=-16\)，而\((-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16\) 。
当指数较大时，可利用乘方的运算律简化计算。例如，计算\(2^5\times2^6\)，利用同底数幂相乘的运算律可得\(2^{5+6}=2^{11}=2048\) 。
实际应用举例
细胞分裂问题：一种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？
5 小时包含 10 个 30 分钟，所以经过 5 小时，细胞分裂的次数是 10 次。
1 个细胞分裂 10 次后的数量为\(2^{10}=1024\)（个）。
折纸问题：一张厚度为 0.1 毫米的纸，对折 n 次后，它的厚度是多少毫米？
对折 1 次，厚度为\(0.1\times2\)毫米；对折 2 次，厚度为\(0.1\times2^2\)毫米；…… 对折 n 次，厚度为\(0.1\times2^n\)毫米。
若对折 10 次，厚度为\(0.1\times2^{10}=0.1\times1024=102.4\)（毫米）。
课堂练习
计算下列各题：
\(3^4\)
\((-1)^5\)
\((-\frac{1}{2})^3\)
\(0^{2023}\)
利用乘方运算律计算：
\(2^3\times2^5\)
\((-3)^2\times(-3)^3\)
\((2\times5)^3\)
总结
乘方是求 n 个相同因数积的运算，其结果为幂，包含底数、指数两个关键要素。
乘方的符号法则是运算的关键：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂为 0。
乘方与乘法关系密切，是乘法的特殊形式，可利用乘法运算理解和计算乘方。
乘方在细胞分裂、折纸等实际问题中应用广泛，要能将实际问题转化为乘方运算解决。
5
课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解有理数乘方的意义，掌握乘方、幂、指数、底数等概念，
发展抽象能力。
2.会进行有理数的乘方运算，强化运算能力。
3.会用科学记数法表示较大的数，会将用科学记数法表示的数
还原。
概念
示例
乘方
求几个相同因数的积的运算，叫作
乘方。（乘方是一种运算，幂是乘方的结果）
????个???? 相乘的积记作
????????：
????????????????????个????=????????
概念
示例
乘方
求几个相同因数的积的运算，叫作
乘方。（乘方是一种运算，幂是乘方的结果）
底数????可以是任意有理数，指数????
是正整数。
?
概念
示例
幂
乘方的结果叫作幂。
_________________________________________
底数
在????????中，???? 叫作底数。
指数
在????????中，???? 叫作指数。
概念
示例
幂
乘方的结果叫作幂。
_________________________________________
底数
指数
敲黑板
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51 ，
指数1通常省略不写。
（2）指数是2时读作平方或二次方，指数是3时读作立方或三
次方。例如，52通常读作“5的平方”，也可以读作“5的二次
方”；53 通常读作“5的立方”，也可以读作
“5的三次方”。
?
典例1 把下列各式写成幂的形式，并指出底数、指数。
（1）(?3)×(?3)×(?3)×(?3) ；
?
（2）35×35×35×35×35 。
?
1.幂的符号法则：
任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论???? 取何值，
都有????2????≥0(????为有理数，????为正整数) 。
?
2.有理数的乘方运算：
在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然
后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。
????????,?????????及(?????)????的异同点与联系
?
????????
?????????
(?????)????
相同点
指数都是????。
不同点
意义不同
????个???? 相乘
的积。
????个???? 相乘的积
的相反数。
????个(?????) 相乘的积。
底数不同
????
????
?????
相同点
不同点
意义不同
底数不同

????????
?????????
(?????)????
相同点
指数都是???? 。
联系
???? 为正奇数
?????????=(?????)????,且?????????,(?????)????都与???????? 互为相反数(????≠0)。如?35=(?3)5 。
???? 为正偶数
????????=(?????)????,且????????,(?????)????都与????????? 互为相反
数(????≠0)。如34=(?3)4 。
???? 为正整数
????????=?????????=(?????)????=0(????=0) 。

相同点
联系
教材延伸
底数为互为相反数的两个非零数的幂的关系
（1）互为相反数的两个数的相同偶次幂相等，即若????+????=0,
则????2????=????2????（????为正整数）。
（2）互为相反数的两个数的相同奇次幂仍然互为相反数，即
若????+????=0,则????2?????1+????2?????1=0（????为正整数）。
注：若????为正整数，则通常用2????表示偶数，2?????1表示奇数。
?
典例2 计算：
（1）(?4)2；
?
解：(?4)2=(?4)×(?4)=16 。
?
（2）(23)3 ；
?
解：(23)3=23×23×23=827 。（底数为分数时，要带括号）
?
注意与?42 区别
?
（3）233 ；
?
解：233=2×2×23=83 。（底数为分数时，要带括号）
?
（5）(?113)3 ；
?
解：(?113)3=(?43)3=(?43)×(?43)×(?43)=?6427 。
?
（6）(?1)2?025 。
?
解：(?1)2?025=?1 。
?
（4）?(?2)2 ；
?
解：?(?2)2=?[(?2)×(?2)]=?4 。
?
求带分数的乘方时，要先将带分数转化成假分数再计算
对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；
如果遇到括号，就先进行括号里的运算。
乘除和乘方的混合运算?转化?? 乘除的混合运算?转化?? 乘法运算
?
（2）(5×2)3 ；
?
解：(5×2)3=103=1?000 。
?
（3）16÷(?2)3 。
?
解：16÷(?2)3=16÷(?8)=?2 。
?
典例3 计算：
（1）2×33 ；
?
解：2×33=2×27=54 。
?
1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成????(1≤|????|<10)
与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。
?
2.科学记数法中的????和???? ：
（1）???? 的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为
0的数字的后面即可得到???? 的值。
（2）????的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为???? 的值；
②小数点向左移动几位，???? 就为几。
?
敲黑板
（1）用科学记数法表示一个带单位的数时，其表示的结果
也应该带单位且前后应该一致。
（2）用科学记数法表示负数的方法和表示正数的方法一样，
只需前面加一个“-”即可。
（3）“万”可转化为104，“亿”可转化为108 。
?
3.把用科学记数法表示的数还原：
（1）????×10????中的指数???? 加上1就得到原数的整数位数，从而确
定原数。
（2）把????×10????中????的小数点向右移动???? 位即可，若向右移动
的位数不够，则用“0”补足。
?
典例4（1） 用科学记 数法表示数：1?280?000?000,?435 万。
?
解：1?280?000?000=1.28×109 。
?435万=?4.35×106 。
?
（2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
5.362?4×103；3.14×105 。
?
解：5.362?4×103=5?362.4 。
3.14×105=314?000 。
?
典例5 (2023·温州中考)苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓
越贡献，国际上将一颗距地球约218 000 000公里的行星命名
为“苏步青星”。数据218 000 000用科学记数法表示为( )
B
A.0.218×109 B.2.18×108 C.21.8×107 D.218×106
?
解析：218?000?000=2.18×108。。。
?
知识过关
①求几个相同因数的积的运算叫作?　乘方　，乘方的结果叫
作?　幂　.在 an中，a叫作?　底数　，n叫作?　指数　，an
读作?　“a的n次方”或“a的n次幂”　.
②幂的底数是分数或负数时，底数应该?　添上括号　.
③正数的任何次幂都是?　正数　；负数的奇次幂是?　负数　，
负数的偶次幂是?　正数　；0的正整数次幂还是?　0　.
乘方
幂
底数
指数
“a的n次方”或“a的n次幂”
添上括号
正数
负数
正数
0
乘方的概念
1. (－3)5表示(　B　)
A. －3乘5
B. 5个－3相乘
C. 3个－5相乘
D. 3个－5相加
2. －36和(－3)6的关系是(　B　)
A. 有相同的底数
B. 有相同的指数
C. 都表示6个－3相乘
D. 上述结论都错误
B
B
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3. 计算????×????×…×????????个????????+????+…+????????个???? 的结果，正确的是(　A　)
?
A. ????????????????
B. ????????????????
C. ????????????????
D. ????????????????
A
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4. 填表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}乘方
65
(－5)4
?????????????
－22
底数
6
－5
－????????
2
指数
5
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2
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}乘方
65
(－5)4
－22
底数
6
－5
2
指数
5
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－5
－????????
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乘方的运算
5. [2023·杭州上城区月考]下列各组数中，不相等的一组是
(　A　)
A. (－3)2与－32
B. 24与42
C. (－6)3与－63
D. (－6)4与｜－6｜4
A
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6. 下列各数：－(－1)，－23，????????????? ，－???????????? ，(－1)2 023，
－｜－4｜，其中负数有(　C　)
?
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
C
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7. 计算：
(1)32－25；
【解】原式＝9－32
＝－23.
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(2)(－2)3×2－(－3)2×3；
【解】原式＝(－8)×2－9×3
＝－16－27
＝－43.
(3)105×(－0.1)3.
【解】原式＝100 000×(－0.001)
＝－100.
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乘方的应用
8. [新考向·跨学科]某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，在光照
充足的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细
胞，且分裂后的细胞继续分裂.现从1个绿藻细胞开始培
养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值.
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【解】15天＝360小时，
360÷20＝18，
根据题意，得4k＝418，
所以k＝18.
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9. 有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它
对折一次后，厚度为22×0.1毫米.
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
【解】对折2次后，厚度为2×22×0.1＝0.8(毫米).
(2)对折6次后，厚度为多少毫米？
【解】对折6次后，厚度为25×22×0.1＝12.8(毫米).
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10. 若非零数a，b互为相反数，则下列四组数中，互为相
反数的为(　C　)
①a2与b2；②a2与－b2；③a3与b3；④a3与－b3.
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ③④
C
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11. [新考向·传统文化]《庄子》中记载：“一尺之棰，日取
其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天
截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1
的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是(　C　)
A. 1－????????????
B. 1－????????????
C. ????????????
D. ????????????
C
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12. m为任意有理数，下列说法正确的是(　B　)
A. (m＋1)2的值总是正的
B. m2＋1的值总是正的
C. －(m＋1)2的值总是负的
D. 1－m2的值总比1小
B
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13. 若m是大于－2、小于－1的有理数，则m，???????? ，－m2之
间的大小关系是 ?.
?
－m2＜m＜???????? 　
?
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(a·b)2＝a2·b2，(a·b)3＝a3·b3，….据此计算：
(1)(a·b)n＝ ?；
(2)25×????????????? ＝ ?；
(3)(－0.125)2 024×22 023×42 022＝ ?.
?
anbn　
－1　
???????????? 　
?
14. [2024·深圳南山区期中]阅读下列各式：
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15. 我们常用的数是十进制数，如4 657＝4×103＋6×102＋
5×101＋7×1，十进制数要用10个数码(又叫数字)：0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的二进
制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22＋
1×21＋0×1等于十进制的数6，110 101＝1×25＋1×24
＋0×23＋1×22＋0×21＋1×1等于十进制的数53.那么二
进制中的数101 011等于十进制中的哪个数？
【解】101 011＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋
1×1＝43，所以二进制中的数101 011等于十进制中的数
43.
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16. [2024·枣庄滕州期中](1)填空：1.22＝ ；122
＝ ；1202＝ ?.
(2)根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位
时，其平方数的小数点怎样移动？
(3)利用上述规律，解答下列各题：
如果3.252＝10.562 5，那么0.3252＝ ?；
如果x2＝105 625，那么x＝ ?.
【解】根据(1)的规律可知，当底数的小数点向右移
动一位时，其平方数的小数点向右移动两位.
1.44　
144　
14 400　
0.105 625　
±325　
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17. 数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整
数时，计算(－1)n＋(－1)n＋1的结果.
琪琪说：因为n的值不确定，所有(－1)n＋(－1)n＋1的结
果也不能确定；
聪聪说：(－1)n＋(－1)n＋1的结果是不变的，可以求出.
你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由.
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【解】同意聪聪的说法.理由如下；
因为n为正整数，
所以n可能为偶数，也可能为奇数.
①当n为偶数时，n＋1为奇数.(－1)n＋(－1)n＋1＝1＋
(－1)＝0.
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②当n为奇数时，n＋1为偶数.(－1)n＋(－1)n＋1＝(－1)
＋1＝0.
所以(－1)n＋(－1)n＋1的结果是不变的，可以求出.所以
聪聪的说法是正确的.
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