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3.1 平方根
第3章 实数
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
平方根
课程目标
理解平方根和算术平方根的概念，明确它们之间的区别与联系。
掌握平方根的性质，会用符号表示一个数的平方根和算术平方根。
能够熟练地求出一个非负数的平方根和算术平方根。
了解平方根在实际生活中的应用。
平方根的定义
如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根（也叫做二次方根）。也就是说，如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。
例如，因为\(3^2 = 9\)，\((-3)^2 = 9\)，所以 3 和 - 3 都是 9 的平方根。
又如，\(0.5^2 = 0.25\)，\((-0.5)^2 = 0.25\)，所以 0.5 和 - 0.5 是 0.25 的平方根。
算术平方根的概念
一般地，如果一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)叫做\(a\)的算术平方根。\(a\)的算术平方根记为\(\sqrt{a}\)，读作 “根号\(a\)”，\(a\)叫做被开方数。
规定：0 的算术平方根是 0，即\(\sqrt{0}=0\)。
例如，25 的算术平方根是 5，记为\(\sqrt{25}=5\)；16 的算术平方根是 4，记为\(\sqrt{16}=4\)。
平方根与算术平方根的区别和联系
区别
定义不同：平方根是如果一个数的平方等于\(a\)，这个数就叫做\(a\)的平方根；算术平方根是如果一个正数的平方等于\(a\)，这个正数就叫做\(a\)的算术平方根。
个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个，且是正数。
表示方法不同：正数\(a\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{a}\)；正数\(a\)的算术平方根表示为\(\sqrt{a}\)。
联系
前提条件相同：都要求被开方数\(a\)是非负数（\(a\geq0\)）。
算术平方根是平方根中的一个：正数的算术平方根是它的两个平方根中那个正数的平方根。
平方根的性质
正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如，121 的平方根是\(\pm11\)，11 和 - 11 互为相反数。
0 的平方根是 0。
负数没有平方根。因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
平方根的表示方法
一个非负数\(a\)的平方根记为\(\pm\sqrt{a}\)，读作 “正负根号\(a\)”。
例如，2 的平方根记为\(\pm\sqrt{2}\)；0.81 的平方根记为\(\pm\sqrt{0.81}=\pm0.9\)。
求一个数的平方根的方法
根据定义求解：找到一个数，使得它的平方等于被开方数。例如，求 16 的平方根，因为\(4^2 = 16\)，\((-4)^2 = 16\)，所以 16 的平方根是\(\pm4\)。
利用平方与开平方的互逆关系：开平方是平方的逆运算，因此可以通过平方运算来检验所求的平方根是否正确。例如，求\(\sqrt{25}\)，因为\(5^2 = 25\)，所以\(\sqrt{25}=5\)。
对于小数或分数的平方根：可以先将其化为整数或最简分数，再进行求解。例如，求 0.0009 的平方根，因为\(0.03^2 = 0.0009\)，\((-0.03)^2 = 0.0009\)，所以 0.0009 的平方根是\(\pm0.03\)；求\(\frac{16}{25}\)的平方根，因为\((\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}\)，\((-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}\)，所以\(\frac{16}{25}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{5}\)。
平方根的应用
几何问题：在求正方形的边长时，若已知正方形的面积，可通过求面积的算术平方根得到边长。例如，一个正方形的面积是 25 平方厘米，它的边长是\(\sqrt{25}=5\)厘米。
物理学问题：在匀加速直线运动中，速度与位移的关系涉及平方根。例如，某物体做匀加速直线运动，加速度为\(2m/s^2\)，位移为 16 米，根据公式\(v^2=2ax\)（其中\(v\)为末速度，\(a\)为加速度，\(x\)为位移），可得\(v=\sqrt{2ax}=\sqrt{2\times2\times16}=\sqrt{64}=8m/s\)。
实际测量：在测量一些不规则图形的边长、对角线等时，有时需要通过计算平方根来得到结果。例如，测量一个长方形的对角线长度，已知长方形的长为 3 米，宽为 4 米，根据勾股定理，对角线长度为\(\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5\)米。
课堂练习
求下列各数的平方根和算术平方根：
81
0.04
\(\frac{49}{100}\)
0
判断下列说法是否正确：
5 是 25 的平方根。
25 的平方根是 5。
0 的平方根是 0。
-9 的平方根是\(\pm3\)。
若一个数的算术平方根是 5，求这个数。
总结
平方根的定义是如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根，算术平方根是正数\(x\)满足\(x^2 = a\)时的\(x\)。
正数有两个平方根，互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
平方根表示为\(\pm\sqrt{a}\)，算术平方根表示为\(\sqrt{a}\)，求平方根可根据定义和平方与开平方的互逆关系。
平方根在几何、物理和实际测量等领域有重要应用，要理解其概念并能熟练运用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示非负数的
平方根、算术平方根。
2.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求完全平方
数的平方根，发展运算能力。
1.平方根
平方根 内容 示例
概念
平方根 内容 示例
表示 方法
平方根 内容 示例
事实 （1）一个正数有正、负两个平方 根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。
2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。
开平方时，被开方数必须是非负数。
敲黑板
（1）开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，
是开平方的结果。
（2）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验
开平方的结果是否正确。如：因为，
所以 。
典例1 求下列各数的平方根：
（1）36；
解：因为,所以36的平方根是，即 。
（2） ；
解：因为,所以的平方根是，
即 。
（3） 。
解：因为， ，
所以的平方根是，即 。
先化为假分数，再求平方根
1.算术平方根
算术平方根 内容 示例
概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。
表示方法
算术平方根 内容 示例
性质
2.平方根和算术平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。
表示 方法
取值 范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。
算术平方根 平方根
联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 与 的区别
含义
运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。
运算结果
典例2 求下列各数的算术平方根：
（1）1.96；
解：因为，所以1.96的算术平方根是 ，
即 。
（2） ；
解：因为，，
所以 的算术平方根是，即 。
由典例2可以看出：被开方数越大，对应的算术平方
根也越大。
（3） ；
解：因为，，所以 的算术平方根是3，
即 。
（4） 。
解：因为 ,，
所以 的算术平方根是5，即 。
典例3 先说出下列各式的意义，再计算：
（1） ；
解：表示的平方根， 。
（2） ；
解：表示的负平方根， 。
（3） ；
解：表示的算术平方根， 。
（4） 。
解：表示0.25的算术平方根的平方， 。
知识过关
①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a
的 　平方根　，也叫作a的 　二次方根　.
②一个正数a的平方根表示为 　 　，它们互为 　相反
数　；0的平方根是 　0　；负数 　没有平方根　.
③正数的正平方根称为 　算术平方根　，一个数a(a≥0)的算
术平方根表示为 　 ，0的算术平方根是 　0　.
平方根
二次方根
± 　
相反
数
0
没有平方根
算术平方根
　
0
平方根
1. [2024·内江]16的平方根是(　D　)
A. 2 B. －4
C. 4 D. ±4
2. 下列数中没有平方根的是(　D　)
A. 0 B. 2
C. (－2)2 D. －｜－2｜
D
D
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3. 下列说法不正确的是　(　C　)
A. 6是36的平方根
B. －6是36的平方根
C. 36的平方根是6
D. 36的平方根是±6
C
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4. 下列说法正确的是(　D　)
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
D
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5. [母题 教材P78例1]求下列各数的平方根：
(1)64；　
【解】因为(±8)2＝64，
所以64的平方根是±8，即± ＝±8.
因为 ＝ ，
所以 的平方根是± ，即± ＝± .
(2) ；
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因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是
±0.02，即± ＝±0.02.
因为2 ＝ ， ＝ ，
所以2 的平方根是± ，即± ＝± .
　(3)0.000 4；
　(4)2 .
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算术平方根
6.9的算术平方根为(　A　)
A. 3 B. ±3
D. －9
7. 下列运算中，正确的是(　C　)
A
C
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8. [2024·杭州拱墅区期中]若一个数和它的算术平方根相等，
则这个数是 .
1或0　
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(1)－ ；　
【解】－ 表示 的负平方根，－ ＝－ .　
9. [母题 教材P79例2]说出下列各式的意义，并计算.
± 表示289的平方根，± ＝±17.
(2)± ；　
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表示(－4)2的算术平方根，
＝4.
－ 表示52的负平方根，－ ＝－5.
(3) ；　
(4)－ .
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[易错题]求平方根时忽略根号而出错
10. 的算术平方根是(　D　)
A. ±9 B. 9
C. ±3 D. 3
D
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11. 若一个数的两个平方根分别是2a＋2和3a－7，则这个数
是(　D　)
A. 1 B. ±4
C. 4 D. 16
D
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12. [母题·教材P81作业题T6 2024·广东]完全相同的4个正方
形面积之和是100，则正方形的边长是(　B　)
A. 2 B. 5
C. 10 D. 20
B
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13. 一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数
的算术平方根是(　C　)
A. a＋3
【点拨】
根据题意得这个正整数为a2，则比这个正整数大3的
数的算术平方根是 .
C
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14. 如图，方格中每个小正方格的边长为1，若把阴影部分剪
拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 .
【点拨】
根据题图，得S阴影＝2×2×2× ＋2×2×1× ＝4
＋2＝6，则新正方形的边长为 .
　
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15. [新考法·分类讨论法]已知数3，27，加入数a，使这三个
数中，有一个数为另外两个数的乘积的一个平方根，则
a的值可以是 .(写出所有可能结果)
±9或243或 　
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①a2＝3×27，所以a＝±9；
②3a＝272，所以a＝243；
③27a＝32，所以a＝ .
综上，a的值可以是±9或243或 .
【点拨】
依题意，可分为三种情况：
1
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16. [母题 教材P81作业题T7]探究发散：
(1)完成下列填空：
① ＝ ；
② ＝ ；
③ ＝ ；
④ ＝ ；
3　
0.5　
6　
0　
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⑤ ＝ 　 　；
⑥ ＝ 　 　.
　
　
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(2)观察(1)中的计算结果，你发现其中的规律了吗？请用
数学语言描述出来：
.
(3)利用你总结的规律计算，若x＜2，则
＝ .
正数和0的平方的算术平方根
为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数　
2－x　
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【解】因为x＝ ，所以x＝5.
因为 ＝2，所以y＝4.
因为z是9的平方根，所以z＝±3.
所以当z＝3时，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×3＝－1；
当z＝－3时，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×(－3)＝29.
综上，2x＋y－5z的值是－1或29.
17. 已知x＝ ， ＝2，z是9的平方根，求2x＋y－5z
的值.
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谢谢观看！

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