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3.2 从有理数到实数
第3章 实数
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
从有理数到实数
课程目标
了解有理数的局限性，理解无理数的概念，掌握实数的定义。
掌握实数的分类方法，明确实数与数轴上点的对应关系。
理解实数的运算及性质，能进行简单的实数运算。
有理数的局限性
有理数包括整数和分数，都可以表示为两个整数的比，即可以化为有限小数或无限循环小数。但在实际生活和数学研究中，存在一些数不能用有理数表示。例如，边长为 1 的正方形的对角线长度，根据勾股定理可得其长度为\(\sqrt{2}\)，而\(\sqrt{2}\)既不是有限小数，也不是无限循环小数，不能表示为两个整数的比，这说明有理数不能完全满足我们的需求，由此引入了无理数。
无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数。
例如，\(\sqrt{2}\approx1.41421356\cdots\)，\(\pi\approx3.14159265\cdots\)，\(-\sqrt{3}\approx-1.73205080\cdots\)等都是无理数。
注意：带根号的数不一定是无理数，如\(\sqrt{4}=2\)是有理数；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。
实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数是有理数与无理数的集合，它包含了所有可以在数轴上表示出来的数。
实数的分类
按定义分类
有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），可化为有限小数或无限循环小数。
无理数：无限不循环小数，如\(\sqrt{5}\)、\(\pi\)等。
按性质分类
正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。例如，3、\(\frac{1}{2}\)、\(\sqrt{2}\)等。
0：既不是正实数，也不是负实数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。例如，-2、\(-\frac{3}{4}\)、\(-\sqrt{3}\)等。
实数与数轴的对应关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点是一一对应的。
例如，在数轴上可以找到表示\(\sqrt{2}\)的点：以数轴上的单位长度 1 为边长作正方形，其对角线的长度就是\(\sqrt{2}\)，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示\(\sqrt{2}\)。
实数的相反数和绝对值
相反数：实数\(a\)的相反数是\(-a\)，0 的相反数是 0。例如，\(\sqrt{3}\)的相反数是\(-\sqrt{3}\)，-5 的相反数是 5。
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即对于实数\(a\)，有\(\vert a\vert=\begin{cases}a&(a\gt0)\\0&(a=0)\\-a&(a\lt0)\end{cases}\)。例如，\(\vert\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert-\pi\vert=\pi\)。
实数的运算
实数的运算与有理数的运算类似，包括加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其运算律和运算法则也与有理数的基本相同。
运算律：加法交换律\(a + b = b + a\)、加法结合律\((a + b)+c = a+(b + c)\)、乘法交换律\(a\times b = b\times a\)、乘法结合律\((a\times b)\times c = a\times(b\times c)\)、乘法分配律\(a\times(b + c)=a\times b + a\times c\)等在实数范围内仍然成立。
运算法则：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
例如，计算\(\sqrt{4}+\sqrt{9}\)，先算开方得\(2 + 3=5\)；计算\((\sqrt{2})^2\)，根据乘方运算法则得 2。
实数的性质
封闭性：实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算的结果仍然是实数；非负实数可以进行开平方运算，任何实数都可以进行开立方运算，结果也都是实数。
有序性：对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，在\(a\gt b\)、\(a = b\)、\(a\lt b\)三种关系中，有且只有一种成立。
稠密性：任意两个不相等的实数之间，都存在着无数个实数。
实际应用举例
几何计算：计算半径为 2 的圆的面积，根据圆的面积公式\(S=\pi r^2\)，可得\(S=\pi\times2^2 = 4\pi\)，这里的\(4\pi\)就是一个实数。
测量问题：测量一个球体的直径为\(2\sqrt{3}\)厘米，这个长度就是一个无理数，属于实数范畴，可用于进一步计算球体的体积等。
物理计算：在计算自由落体运动的位移时，位移公式为\(h=\frac{1}{2}gt^2\)（其中\(g\approx9.8m/s^2\)为重力加速度，\(t\)为时间），当\(t=\sqrt{2}\)秒时，\(h=\frac{1}{2}\times9.8\times(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\times9.8\times2 = 9.8\)米，这里涉及到实数的运算。
课堂练习
判断下列各数哪些是有理数，哪些是无理数：
3.14
\(\sqrt{7}\)
\(\frac{22}{7}\)
\(\pi\)
0.1010010001…（每两个 1 之间依次多一个 0）
求下列各数的相反数和绝对值：
\(\sqrt{6}\)
-5
0
\(-\sqrt{2}\)
计算：
\(\sqrt{16}+\sqrt[3]{-8}\)
\(\vert\sqrt{3}-2\vert+\sqrt{3}\)
总结
由于有理数存在局限性，引入了无理数，有理数和无理数统称为实数。
实数可按定义分为有理数和无理数，按性质分为正实数、0、负实数。
实数与数轴上的点一一对应，实数的相反数和绝对值的定义与有理数类似。
实数的运算律和运算法则与有理数基本相同，在实际生活和科学计算中应用广泛。
5
课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟
数的扩充。
2.会求实数的相反数、绝对值。
3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，
能比较实数的大小，体会数形结合思想，发展几何直观。
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常
有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进
行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数
的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。
例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为
，，，所以，即 。
典例1 估算的近似值（精确到 ）。
解：因为, ，
所以 。（确定整数部分为2）
因为, ，
所以 。（确定十分位上的数为6）
因为, ，
所以 。
因为， ，
所以 ，
所以 。（ 四舍五入法确定百分位上的数为5）
敲黑板
夹逼法按照精确度估计 的近似值
（1）确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若 夹
在两个连续非负整数,之间,则的整数部分是 。
（2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加 ，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定 的十分位上的数；
再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止。（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数，如典例1中，计算到后，需进一步
估算出 ）
1.概念：无限不循环小数叫作无理数。
2.无理数的三种重要形式：
（1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如 ；
（2）圆周率 及一些化简后含有 的数，如 ；
（3）具有特殊结构的数，如 （两个“1”
之间依次多一个“0”）。
典例2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，，，， ， （两个“3”
之间依次多一个“7”）。
解：属于有理数的有：-，， 。
属于无理数的有：，， ，（两个
“3”之间依次多一个“7”）。
提示：判断一个数是无理数还是有理数，应遵循“一化简，二辨析，三判断”的原则，如 是有理数。
1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。
2.实数的分类：
（1）按定义分类：
数的范围从有理数扩充到实数
（2）按性质分类：
典例3 把下列各数分别填在相应的括号内。
，，，，0，，，，， ，
（两个“1”之间依次多一个“0”）。
整数：( ) ；分数：( ) ；
正数：（
）
，，，，，
（两个“1”之间依次多一个“0”）
负数：( ) ；
有理数：( ) ；
无理数：（
）。
，，，，
（两个“1”之间依次多一个“0”）
把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值
的概念同样适用。
名称 表示 性质
相反数
名称 表示 性质
绝对值
典例4 求下列各数的相反数和绝对值。
（1） ；
解：的相反数是，绝对值是 。
（2） ；
解：的相反数是，绝对值是 。
（3） 。
解： 的相反数是 ，即，
绝对值是，即 。
1.实数与数轴上的点的对应关系
实数和数轴上的点一一对应。（ ）
2.实数的大小比较
名称 内容
大小比较的 几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
大小比较的 代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。
典例5 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用
“ ”连接）。
，， ，0。
解：把，， ,0表示在数轴上如图所示。
故 。
知识过关
① 　无限不循环小数　叫作无理数.有理数和无理数统称 　实
数　.
②　实数　和数轴上的点是一一对应的；在数轴上表示的两个
实数， 　右边　的数总比 　左边　的数大.
无限不循环小数
实
数
实数
右边
左边
实数的概念及分类
1. [2024·福建]下列实数中，无理数是(　D　)
A. －3 B. 0
D
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2. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 无理数包括正无理数、零和负无理数
B. 无限小数都是无理数
C. 正实数包括正有理数和正无理数
D. 实数可以分为正实数和负实数两类
C
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3. [母题 教材P85作业题T1]把下列各数填在相应的横线上：
0，－ ，－ ， ，－3. ，＋9，π，1.212 212
221…(相邻两个“1”之间依次多一个“2”).
(1)有理数： ；
(2)无理数：
.
0，－ ， ，－3. ，＋9　
－ ，π，1.212 212 221…(相邻两个“1”
之间依次多一个“2”)　
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实数与数轴的对应关系
4. 如图，实数 在数轴上的对应点可能是点 .
5. 数轴上距离原点的距离为 的点表示的数
是 .
B　
± 　
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实数的相反数与绝对值
6. [2024·宁波模拟]－5的绝对值是(　D　)
D. 5
7. 如果 －1是a的相反数，则a的值是(　B　)
D
B
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实数大小的比较
8. [2024·威海]下列各数中，最小的数是(　A　)
A. －2
9. [母题 教材P85课内练习T3]估算 的值在(　C　)
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
A
C
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10. [2023·舟山]下面四个数中，比1小的正无理数是(　A　)
【点拨】
因为4＜6＜9，所以2＜ ＜3.
所以－ ＜ ＜ ＜1＜ .
所以比1小的正无理数是 .
A
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11. [2024·安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，
祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较
大小： (填“＞”或“＜”).
【点拨】
＝ ， ＝10＝ ，
因为 ＜ ，所以 ＜ .
所以 ＞ .
＞　
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12. [母题·教材P85作业题T4 2024·温州龙湾区期中]把｜－
4｜，－3，－ ， 分别表示在数轴上，并比较它们的
大小，用“＜”连接.
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【解】因为｜－4｜＝4， ≈1.414，
所以将各数在数轴上表示出来，如图：
－3＜－ ＜ ＜｜－4｜.
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[易错题]误认为带分数的数即为有理数
13. 下列说法正确的是(　D　)
C. π－3.14是有理数
D
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14. 已知实数a＝ ，则下列关于a的说法正确的是(　D　)
A. a是有理数 B. a不能表示在数轴上
C. 3＜a＜4
15. 若m，n是两个连续的整数，且m＜ ＜n，则m＋
n的相反数是 .
D
－7　
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16. 如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且
点A表示的数为1.若点E也在数轴上(点E在点A的左
侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为 .
1－ 　
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17. [母题·教材P97目标与评定T4 2024·杭州萧山区期中]如图
①，4×4网格是由16个边长为1的小正方形组成的.
(1)图①中阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影
正方形的面积为 ，若这个阴影正方形的边长为
a，则a＝ ；
10　
　
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(2)估计阴影正方形的边长的值在相邻整数 和
之间；
3　
4　
(3)在图②的数轴上作出阴影正方形边长的值的对应点(要
求保留作图痕迹).
【解】如图②，点P表示的数是 .
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18. [2024·重庆巴南区期末]阅读下面文字，然后回答问题.
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大
整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的
差的绝对值.例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.4
－2＝0.4； 的整数部分为1，小数部分可用 －1表
示；－2.6的整数部分为－3，小数部分为｜－2.6－(－
3)｜＝0.4.
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由此我们得到：如果 ＝x＋y，其中x是整数，且0
＜y＜1，那么x＝1，y＝ －1.
(1)如果 ＝a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么
a＝ ，b＝ ；
(2)如果－ ＝c＋d，其中c是整数，且0＜d＜1，那
么c＝ ，d＝ ；
2　
－2　
－3　
3 　
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【解】因为m＋ ＝7＋n，其中m是整数，且0＜
n＜1，所以易得m＝5，n＝ －2.
所以｜m－n｜－(1－n)＝｜5－(－2)｜－
＝4，
所以｜m－n｜－(1－n)的平方根是±2.
(3)已知m＋ ＝7＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，求｜m－n｜－(1－n)的平方根.
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谢谢观看！

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