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3.4 实数的运算
第3章 实数
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
实数的运算
课程目标
掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则。
理解实数运算律，并能运用运算律简化实数运算。
明确实数的运算顺序，能正确进行实数的混合运算。
了解实数运算在实际生活中的应用，注意运算中的易错点。
实数运算的基础
实数包括有理数和无理数，实数的运算以有理数的运算为基础。有理数的运算规则和运算律在实数范围内仍然适用，同时还增加了关于无理数的运算。例如，无理数与有理数可以进行加、减、乘、除等运算，如\(2 + \sqrt{3}\)、\(3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)等。
实数的基本运算
加法
同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：\(3 + 5 = 8\)；\(-3 + (-\sqrt{2})=-(3 + \sqrt{2})\)。
异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如：\(5 + (-3)=2\)；\(\sqrt{5}+(-2)=\sqrt{5}-2\)（因为\(\sqrt{5}\approx2.236\gt2\)）。
互为相反数的两数相加：和为 0。
例如：\(3 + (-3)=0\)；\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)。
一个数与 0 相加：仍得这个数。
例如：\(0 + 5 = 5\)；\(0 + \sqrt{3}=\sqrt{3}\)。
减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即\(a - b = a + (-b)\)。
例如：\(5 - 3 = 5 + (-3)=2\)；\(\sqrt{6}-2=\sqrt{6}+(-2)\)；\(3 - \sqrt{2}=3 + (-\sqrt{2})\)。
乘法
同号两数相乘：取正号，并把绝对值相乘。
例如：\(3\times5 = 15\)；\((-2)\times(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\)。
异号两数相乘：取负号，并把绝对值相乘。
例如：\(3\times(-4)=-12\)；\(2\times(-\sqrt{5})=-2\sqrt{5}\)。
任何数与 0 相乘：都得 0。
例如：\(0\times5 = 0\)；\(0\times\sqrt{7}=0\)。
多个非零实数相乘：积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负，再把绝对值相乘。
例如：\((-2)\times3\times(-\sqrt{2})=2\times3\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)（负因数有 2 个，为偶数，积为正）。
除法
除以一个非零实数：等于乘这个数的倒数，即\(a\div b = a\times\frac{1}{b}\)（\(b\neq0\)）。
例如：\(6\div2 = 6\times\frac{1}{2}=3\)；\(\sqrt{8}\div\sqrt{2}=\sqrt{8}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2\)。
同号两数相除：取正号，并把绝对值相除。
例如：\(10\div5 = 2\)；\((-6)\div(-\sqrt{3})=6\div\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)。
异号两数相除：取负号，并把绝对值相除。
例如：\(10\div(-2)=-5\)；\(9\div(-\sqrt{3})=-9\div\sqrt{3}=-3\sqrt{3}\)。
0 除以任何非零实数：都得 0。
例如：\(0\div5 = 0\)；\(0\div\sqrt{5}=0\)。
乘方
定义：求\(n\)个相同实数\(a\)的积的运算叫做乘方，记作\(a^n\)，其中\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数，\(a^n\)读作 “\(a\)的\(n\)次方”。
例如：\((\sqrt{2})^2=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)；\((2\sqrt{3})^2=2^2\times(\sqrt{3})^2=4\times3=12\)。
性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
例如：\((\sqrt{3})^3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)；\((-\sqrt{2})^3=-(\sqrt{2})^3=-2\sqrt{2}\)。
开方
开平方：求一个非负实数的平方根的运算，其中正的平方根叫做算术平方根。
例如：\(\sqrt{9}=3\)；\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)（化简）。
开立方：求一个实数的立方根的运算。
例如：\(\sqrt[3]{8}=2\)；\(\sqrt[3]{-27}=-3\)。
实数的运算律
加法交换律：\(a + b = b + a\)。
例如：\(2 + \sqrt{3}=\sqrt{3}+2\)。
加法结合律：\((a + b)+c = a+(b + c)\)。
例如：\((2 + \sqrt{2})+\sqrt{3}=2+(\sqrt{2}+\sqrt{3})\)。
乘法交换律：\(a\times b = b\times a\)。
例如：\(2\times\sqrt{5}=\sqrt{5}\times2\)。
乘法结合律：\((a\times b)\times c = a\times(b\times c)\)。
例如：\((2\times\sqrt{2})\times\sqrt{3}=2\times(\sqrt{2}\times\sqrt{3})=2\sqrt{6}\)。
乘法分配律：\(a\times(b + c)=a\times b + a\times c\)。
例如：\(\sqrt{2}\times(3 + \sqrt{2})=\sqrt{2}\times3+\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\)。
实数的运算顺序
先算乘方和开方：再算乘除，最后算加减。
例如：\(\sqrt{4}+2^2\times3=2 + 4\times3=2 + 12=14\)。
同级运算：按照从左到右的顺序进行。
例如：\(8\div2\times\sqrt{4}=4\times2=8\)。
有括号的运算：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
例如：\([(\sqrt{9}-2)\times3]+4=[(3 - 2)\times3]+4=(1\times3)+4=3 + 4=7\)。
实数运算的应用
几何计算：计算边长为\(\sqrt{2}\)的正方形的周长和面积。
周长：\(4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)；面积：\((\sqrt{2})^2=2\)。
物理计算：一个物体做自由落体运动，下落的距离\(h\)（单位：米）与时间\(t\)（单位：秒）的关系为\(h=\frac{1}{2}gt^2\)（其中\(g\approx9.8\)米 / 秒 ），求当\(t=\sqrt{2}\)秒时，物体下落的距离。
\(h=\frac{1}{2}\times9.8\times(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\times9.8\times2=9.8\)米。
实际测量：一根绳子的长度为\(5 + \sqrt{3}\)米，用去\(2\)米后，剩下的长度为\((5 + \sqrt{3})-2=3 + \sqrt{3}\)米。
运算中的注意事项
符号问题：在进行实数运算时，要特别注意符号的变化，尤其是负数的乘方和减法运算。例如，\(-(\sqrt{2})^2=-2\)，而不是\(2\)；\(3-\sqrt{5}\)不能写成\(\sqrt{5}-3\)（除非添加负号）。
化简问题：对于含有根号的运算结果，要化为最简形式。例如，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，\(\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)。
近似计算：当需要得到实数运算的近似值时，要按照要求的精确度进行计算。例如，计算\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)（精确到 0.01），\(\sqrt{3}\approx1.732\)，\(\sqrt{2}\approx1.414\)，则\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\approx1.732 + 1.414=3.146\approx3.15\)。
课堂练习
计算下列各题：
\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{16}\times\sqrt[3]{-8}\)
\((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\)
\(\vert\sqrt{2}-3\vert+\sqrt{2}\)
化简：
\(\sqrt{27}\)
\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\)
计算（结果精确到 0.1）：\(\sqrt{5}+2.34\)
总结
实数的基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，其运算规则与有理数类似，同时需注意无理数的运算特点。
实数运算律与有理数运算律一致，合理运用可简化运算。
实数运算顺序为：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的，同级运算从左到右进行。
实数运算在几何、物理等领域应用广泛，运算时要注意符号、化简和近似计算等问题。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.能类比有理数的运算法则和运算律，进行简单的实数四则
运算，体会类比思想，发展运算能力。
2.会用计算器计算平方根和立方根。
3.能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近
似计算。
4.能运用实数的运算解决一些简单的实际问题，发展应用意识。
1.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实
数范围内同样适用。
2.实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。
若遇到括号，则先进行括号里的运算。
若算式中运用运算律能够简化计算，则要运用运算律
计算。
敲黑板
（1）无理数与有理数的和、差，结果仍是无理数；
（2）无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果仍是无理数；
（3）两个无理数的和、差、积、商，结果可能是有理数也可
能是无理数。
典例1 计算：
（1） ；
解：原式
。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
我们可以用计算器进行实数的运算；近似计算时按题目的要求
将用计算器算得的结果取近似值。
（1）用计算器求一个数的算术平方根的步骤：①先按 键；
②然后按 键；③再输入要开平方的数；④最后按 键显示
结果。如求 的操作是 。
（2）用计算器求一个数的立方根的步骤：①先按 键；
②然后按 键；③再输入需要开立方的数；④最后按 键
显示结果。如求 的操作是 。
典例2 用计算器计算下列各式精确到
（1） ;
解：按键顺序为： ，
所以 。
（2） 。
解：按键顺序为：
，
所以 。
知识过关
实数运算的顺序：先算 　乘方和开方　，再算 　乘除　，最后算 　加减　.若遇到 　括号　，则先进行 　括号　
里的运算.
乘方和开方
乘除
加减
括号
括号
实数的运算
1. 计算 ＋ ＋｜－4｜的结果是(　C　)
A. 8 B. －4
C. 4 D. 12
2. 计算：2× －2×(－1)的结果是(　A　)
A. 2 B. 1
C
A
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3. [2024·金华期中]下列说法：
①两个无理数的和一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数.
其中正确的个数是(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
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4. 计算：
(1)22＋｜－3｜－ ；
【解】原式＝4＋3－
＝4＋3－5
＝7－5＝2.
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(2) － ；
【解】原式＝10＋3
＝13.
(3) × － ；
【解】原式＝5×3－(－1)
＝15＋1＝16.
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(4)2×(3－ )＋2× －6.
【解】原式＝6－2× ＋2× －6
＝0.
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利用计算器计算
5. 用计算器计算时，按键顺序是：2ndF 4 · 2 ＝，则它
表示的算式是(　B　)
D. 以上均不对
B
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6. [母题 教材P91例2]在计算器上依次按键 7 － 2ndF
8 ＝，则计算器显示的结果与下列各数最接近的一个
数是(　B　)
A. 0.5 B. 0.6
C. 0.8 D. 0.9
B
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7. 用计算器计算(结果精确到0.01)：
(1) － ；
【解】原式≈1.35.
(2) －4π＋3× ；
【解】原式≈－6.07.
(3) ＋ .
【解】原式≈0.59.
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8. [母题 教材P92例3]天气晴朗时，一个人能看到大海的最远
距离s(单位：km)可用公式s2＝16.88h来估计，其中
h(单位：m)是眼睛离海平面的高度，如果一个人站在岸
边观察，当眼睛离海平面的高度是1.5 m时，能看到多远
(精确到0.01 km)？如果登上观望台，当眼睛离海平面的
高度是35 m时，能看到多远(精确到0.01 km)？
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【解】当h＝1.5时，s2＝16.88h＝16.88×1.5＝
25.32，则s＝ ≈5.03，即能看到5.03 km远.
当h＝35时，s2＝16.88h＝16.88×35＝590.8，则s＝
≈24.31，即能看到24.31 km远.
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9. [2023·丽水调研]已知a，b是两个实数，满足a＋b＝0，
下列是关于a，b的五个结论：
① ＋ ＝0；②a2－b2＝0；③ ＋ ＝0；④a3
－b3＝0；⑤｜a｜＝｜b｜.则所有正确结论的序号是
(　C　)
A. ②④⑤ B. ①④⑤
C. ②③⑤ D. ①③⑤
C
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10. [2024·衢州期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图
所示，则化简 －｜a＋b｜＋ 的结果是
(　D　)
A. 2a B. 2b
C. 2a＋2b D. 0
D
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11. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是
(　D　)
A. a＝0，b＝5 B. a＝9，b＝4
C. a＝16，b＝1 D. a＝36，b＝1
D
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12. [新视角·新定义题2024宁波模拟] 对于两个不相等的实数
a，b，定义一种新的运算：a*b＝ (a＋b＞0).例
如：3*2＝ ＝ ，则15*(6*3)＝ 　 　.
　
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13. 已知x是 ＋2的小数部分，y是 －1的整数部
分，求(－x)y的平方根.
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【解】因为 ＜ ＜ ，所以4＜ ＜5.
所以6＜ ＋2＜7，3＜ －1＜4.
因为x是 ＋2的小数部分，y是 －1的整数部
分，
所以x＝ ＋2－6＝ －4，y＝3.
所以(－x)y＝[－(－4)]3＝43＝64.
所以(－x)y的平方根为± ＝±8.
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14. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t(单位：h)可
以用下面的公式来估计：t2＝ ，其中d(单位：km)是
雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9 km，那么这场雷雨大约能持
续多长时间？
【解】当d＝9时，t2＝ ＝ .
因为t＞0，所以t＝ ＝ .
答：这场雷雨大约能持续 h.
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(2)如果一场雷雨持续了1 h，那么这场雷雨区域的直径大
约是多少千米？(已知 ≈9.65，结果精确到
0.1 km)
【解】把t＝1代入t2＝ ，得d3＝900，
所以d＝ ≈9.65≈9.7.
答：这场雷雨区域的直径大约是9.7 km.
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