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(共31张PPT)
4.2 代数式的值
第4章 代数式
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
代数式的值
课程目标
理解代数式的值的概念，明确代数式的值与代数式中字母取值的关系。
掌握求代数式值的步骤和方法，能准确求出代数式的值。
了解求代数式值的注意事项，能运用代数式的值解决实际问题。
代数式的值的定义
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
例如，对于代数式\(x + 5\)，当\(x = 3\)时，代入可得\(3 + 5 = 8\)，那么 8 就是当\(x = 3\)时，代数式\(x + 5\)的值；当\(x=-2\)时，\(-2 + 5 = 3\)，3 就是此时该代数式的值。
注意：代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，字母的取值不同，代数式的值可能不同。
求代数式值的步骤
代入：把代数式中字母所取的数值代入代数式中，注意原来的运算符号和数字都要保留。如果字母的值是负数或分数，代入时要加上括号。
例如，求代数式\(2x - 3\)当\(x=-1\)时的值，代入得\(2\times(-1)-3\)。
计算：按照代数式中规定的运算顺序进行计算，得出结果。
接上面的例子，\(2\times(-1)-3=-2 - 3=-5\)，所以当\(x=-1\)时，代数式\(2x - 3\)的值是\(-5\)。
求代数式值的方法
直接代入法：直接将字母的取值代入代数式进行计算。这是最基本、最常用的方法。
例如，求代数式\(3a + 2b\)当\(a = 2\)，\(b=-1\)时的值，直接代入得\(3\times2 + 2\times(-1)=6-2 = 4\)。
整体代入法：当代数式中字母的取值不易直接求出，或代数式与已知条件存在整体关系时，可将一个代数式作为一个整体代入求值。
例如，已知\(x + y=5\)，求代数式\(2(x + y)+3\)的值，把\(x + y\)看作一个整体代入得\(2\times5 + 3=10 + 3=13\)。
化简后代入法：先将代数式进行化简，再代入字母的取值计算，能简化计算过程。
例如，求代数式\(3x^2 + 5x - 2x^2 - x\)当\(x = 3\)时的值，先化简得\((3x^2-2x^2)+(5x - x)=x^2 + 4x\)，再代入\(x = 3\)得\(3^2+4\times3=9 + 12=21\)。
实例解析
直接代入计算
求代数式\(x^2 - 2x + 3\)当\(x = 4\)时的值：
代入：\(4^2-2\times4 + 3\)
计算：\(16-8 + 3=11\)，所以该代数式的值是 11。
求代数式\(\frac{a - b}{a + b}\)当\(a = 5\)，\(b = 2\)时的值：
代入：\(\frac{5 - 2}{5 + 2}\)
计算：\(\frac{3}{7}\)，所以该代数式的值是\(\frac{3}{7}\)。
整体代入计算
已知\(a^2 + 2a=3\)，求代数式\(2a^2 + 4a + 5\)的值：
观察发现\(2a^2 + 4a=2(a^2 + 2a)\)，把\(a^2 + 2a=3\)整体代入得\(2\times3 + 5=6 + 5=11\)。
若\(m - n=3\)，求代数式\(4(m - n)-2m + 2n + 5\)的值：
先变形代数式，\(-2m + 2n=-2(m - n)\)，则原式可化为\(4(m - n)-2(m - n)+5=2(m - n)+5\)，代入\(m - n=3\)得\(2\times3 + 5=11\)。
化简后代入计算
求代数式\(5(x^2y - xy^2)-3(x^2y - xy^2)\)当\(x = 2\)，\(y=-1\)时的值：
先化简：\((5 - 3)(x^2y - xy^2)=2(x^2y - xy^2)=2x^2y-2xy^2\)
代入：\(2\times2^2\times(-1)-2\times2\times(-1)^2=2\times4\times(-1)-2\times2\times1=-8 - 4=-12\)
求代数式值的注意事项
代入数值要准确：代入时要注意字母与数值的对应关系，不能代错。例如，代数式\(a + b\)中，\(a = 1\)，\(b = 2\)，不能代入成\(a = 2\)，\(b = 1\)（除非题目允许）。
注意运算顺序：计算时要严格按照代数式中规定的运算顺序进行，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。
符号问题：当字母的取值是负数时，代入后要注意符号的变化。例如，求代数式\(x^2\)当\(x=-3\)时的值，代入得\((-3)^2=9\)，不能写成\(-3^2=-9\)。
分数或小数的计算：当字母的取值是分数或小数时，计算要细心，避免出错。例如，求代数式\(2a^2\)当\(a=\frac{1}{2}\)时的值，代入得\(2\times(\frac{1}{2})^2=2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。
整体代入要合理变形：运用整体代入法时，要对代数式进行适当变形，使其与已知条件的形式一致，以便代入计算。
代数式的值的应用
实际问题计算：在实际生活中，可通过求代数式的值解决与数量相关的问题。例如，某商店的利润计算公式为\(y = 2x - 50\)（其中\(x\)是销售量，\(y\)是利润），当销售量\(x = 100\)时，利润\(y=2\times100 - 50=150\)元，即此时利润为 150 元。
几何问题求解：已知图形的相关代数式，当字母取具体值时，可求出图形的周长、面积等。例如，三角形的面积公式为\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(a\)为底，\(h\)为高），当\(a = 6\)厘米，\(h = 4\)厘米时，面积\(S=\frac{1}{2}\times6\times4=12\)平方厘米。
数据分析比较：通过计算不同字母取值时代数式的值，进行数据比较和分析。例如，代数式\(x^2 + 1\)，当\(x = 1\)时的值为 2；当\(x = 2\)时的值为 5；当\(x = 0\)时的值为 1，可比较得出当\(x = 2\)时该代数式的值最大。
课堂练习
求下列代数式的值：
代数式\(4x^2 - 2x + 1\)，当\(x = 3\)时。
代数式\(\frac{2m + n}{m - n}\)，当\(m = 4\)，\(n = 1\)时。
已知\(x - 2y=3\)，求代数式\(3x - 6y + 5\)的值。
先化简，再求值：代数式\(3(a^2 - ab)-2(a^2 - ab)\)，其中\(a = -2\)，\(b = 3\)。
总结
代数式的值是用数值代替代数式中的字母后，按运算关系计算得出的结果，其值由字母的取值决定。
求代数式值的步骤为代入和计算，方法有直接代入法、整体代入法和化简后代入法。
求代数式值时要注意代入准确、运算顺序正确、符号无误，整体代入时需合理变形代数式。
代数式的值在实际问题、几何计算和数据分析中都有重要应用，能帮助我们解决具体的数量问题。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
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典例讲解
1.理解代数式的值的概念，知道当字母取不同的数值时，代数式
的值一般也不同，体会从抽象到具体的过程。
2.会把具体数代入代数式进行计算，提高运算能力。
1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得
的结果叫作代数式的值。例如，9是代数式当 时的值。
代数式中字母的取值一要保证代数式本身有意义，二要保
证代数式表示的量有意义。例如，中的不能等于0。因为当
时，就没有意义了；表示正方形的边长时， 只能取正数。
2.求代数式的值的步骤：
典例1 已知，，求代数式 的值。
知识过关
一般地，用 　数值　代替代数式里的 　字母　，计算后所得
的结果叫作代数式的值.
数值
字母
求代数式的值
1. 已知有理数x的值是－2，则代数式x＋2的值等于(　B　)
A. －2 B. 0
C. 4 D. －4
B
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2. [2024·温州期末]当a＝－1，b＝2时，代数式a2－2ab的
值是(　D　)
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
3. 下列表示a的数中，不能使 ＋a＝0成立的是(　B　)
A. －0.1 B. 1
C. 0
D
B
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4. 定义一种新运算法则是 ＝ad－bc，则
＝ .
－10　
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(1)(a－b)2； (2)a2－2ab＋b2.
【解】(1)当a＝2，b＝－3时，
(a－b)2＝ ＝52＝25.
(2)当a＝2，b＝－3时，
a2－2ab＋b2＝22－2×2×(－3)＋(－3)2＝4＋12＋9＝
25.
5. 当a＝2，b＝－3时，求下列代数式的值：
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6. 若代数式x－3y的值为2，求2x－6y＋5的值.
【解】因为x－3y＝2，
所以2x－6y＋5＝2(x－3y)＋5＝2×2＋5＝9.
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代数式求值的简单应用
7. 飞机着陆后滑行t秒的距离为 米，当滑行的
时间为30秒时，滑行的距离为(　A　)
A. 1 200米 B. 1 100米
C. 1 000米 D. 900米
A
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8. [新趋势跨学科2024广州] 如图，把R1，R2，R3三个电阻
串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1
＋IR2＋IR3.当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝
2.2时，U的值为 .
220　
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9. [情境题生活应用2024衢州期中] 学校组织学生参加红色研
学活动，共有m名教师与n名学生参加.学校咨询了甲、
乙两家旅行社，两家旅行社给出了不同的报价.甲旅行
社：教师全价，80元/人，学生半价，40元/人；乙旅行
社：全部成员，六折优惠，即48元/人.两家旅行社提供的
服务项目与服务质量均相同.
(1)用含m，n的代数式分别表示两家旅行社的收费.
【解】由题意得甲旅行社的收费为(80m＋40n)元，乙
旅行社的收费为48(m＋n)元.
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(2)当m＝20，n＝500时，选择哪家旅行社更优惠？
【解】当m＝20，n＝500时，甲旅行社的收费为
80×20＋40×500＝1 600＋20 000＝21 600(元)，
乙旅行社的收费为48×(20＋500)＝48×520＝24
960(元).
因为21 600＜24 960，
所以选择甲旅行社更优惠.
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10. 若x＝－3，y＝－2，则x2－2xy＋y2的值是(　C　)
A. －10 B. －2
C. 1 D. 25
【点拨】
当x＝－3，y＝－2时，
原式＝(－3)2－2×(－3)×(－2)＋(－2)2＝9－12＋4
＝1.
C
[易错题]代入负数求值时因漏写括号而出错
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11. [2024·嘉兴期末]已知2x＋y＝－6，则代数式9－2y－4x
的值为(　A　)
A. 21 B. 15
C. 3 D. －3
A
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12. 若a是最大的负整数，b是9的算术平方根，m与n互为
倒数，则 －2 024mn的值为 .
13. 有理数a，b，c均不为0，且a＋b＋c＝0，设x＝
＋ ＋ ，则代数式x2 025＋2 025x－2 025
的值为 .
－2 022　
1或－4 051　
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因为有理数a，b，c均不为0，且a＋b＋c＝0，
所以a，b，c不能同为正数或同为负数，故分以下情况
讨论：①三个数中有两个正数，一个负数，设a＞0，b
＞0，c＜0.因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a，c＋
a＝－b，a＋b＝－c，所以x＝ ＋ ＋
＝－1－1＋1＝－1；
【点拨】
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②三个数中有两个负数，一个正数，设a＞0，b＜0，c＜0.
因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a，c＋a＝－b，a＋b
＝－c，所以x＝ ＋ ＋ ＝－1＋1＋1＝1.
当x＝－1时，原式＝(－1)2 025＋2 025×(－1)－2 025＝－4
051；当x＝1时，原式＝12 025＋2 025×1－2 025＝1.综上所
述，答案为1或－4 051.
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14. 华氏温度f(℉)与摄氏温度c(℃)之间存在如下的关系：f
＝ c＋32.
(1)如果某地早晨的温度为5 ℃，那么此地早晨的华氏温
度是多少？
【解】当c＝5时，
f＝ ×5＋32＝9＋32＝41.
答：此地早晨的华氏温度是41 ℉.
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(2)李华对潇潇说：“现在室内的摄氏温度是20 ℃，此时
对应的华氏温度应该是68 ℉.”请你通过计算说明李
华的说法对吗？
【解】当c＝20时，f＝ ×20＋32＝68.
故李华的说法正确.
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15. [新考法·知识情境化] 如图，某学校办公楼前有一块长为
x m，宽为y m的长方形空地，在中心位置留出一个半径
为a的圆形区域建一个喷泉，两边是两个长方形的休息
区，阴影部分为绿地.
(1)用含字母a，b，x，y的式子表示阴影部分的面积
(结果保留π).
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【解】长方形空地的面积是xy m2，圆形区域的面积是πa2 m2，两个长方形的休息区的面积是
2ab m2，所以阴影部分的面积为(xy－πa2－2ab)m2.
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(2)当x＝5，y＝4，a＝1，b＝2时，阴影部分的面积是
多少(π取3)？
【解】当x＝5，y＝4，a＝1，b＝2时，
阴影部分的面积为xy－πa2－2ab≈5×4－3×12－2×1×2＝13(m2).
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16. 自从有了用字母表示数，我们发现表达有关的数和数量
关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按
要求试一试.
(1)用代数式表示：
①a与b的差的平方；
②a与b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差；
【解】①(a－b)2.②a2＋b2－2ab.
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(2)当a＝3，b＝－2时，求第(1)题中①②所列的代数式
的值.
【解】当a＝3，b＝－2时，
(a－b)2＝25，a2＋b2－2ab＝25.
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(3)由第(2)题的结果，你发现了什么等式？
【解】(a－b)2＝a2＋b2－2ab.
(4)利用你发现的结论，求2 0252－4 050×2 024＋2 0242
的值.
【解】原式＝2 0252－2×2 025×2 024＋2 0242＝(2
025－2 024)2＝1.
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