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5.1 认识方程
第5章 一元一次方程
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
认识方程
课程目标
理解方程的定义，明确方程的组成要素。
能区分方程与等式，掌握两者的区别和联系。
理解方程的解和解方程的概念，能判断一个数是否为方程的解。
学会根据简单的实际问题列出方程。
方程的定义
含有未知数的等式叫做方程。
例如：\(2x + 3 = 7\)（含有未知数\(x\)且是等式）、\(5y - 1 = 2y + 4\)（含有未知数\(y\)且是等式）、\(x^2 - 5 = 4\)（含有未知数\(x\)且是等式）等都是方程。
注意：方程必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是是等式。两者缺一不可。如\(3x + 2\)虽然含有未知数，但不是等式，所以不是方程；\(5 + 3 = 8\)虽然是等式，但不含有未知数，所以也不是方程。
方程的组成要素
方程由未知数、已知数和等号三部分组成。
未知数：是指在方程中需要求解的数，通常用字母\(x\)、\(y\)、\(z\)等表示。例如，在方程\(3x - 5 = 10\)中，\(x\)是未知数。
已知数：是指方程中已知的固定数值。例如，在方程\(2y + 7 = 15\)中，2、7、15 是已知数。
等号：表示左右两边的式子在数值上相等，是方程的重要标志。
方程与等式的区别和联系
区别
定义不同：方程是含有未知数的等式；等式是表示左右两边相等关系的式子，不一定含有未知数。
范围不同：方程一定是等式，但等式不一定是方程。也就是说，等式包含方程，方程是等式的一部分。
例如：\(4 + 5 = 9\)是等式，但不是方程；\(3x = 12\)既是等式，也是方程。
联系
方程和等式都含有等号，都表示左右两边的数量关系是相等的。
方程是特殊的等式，是含有未知数的等式。
方程的解和解方程
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
例如：对于方程\(2x + 3 = 7\)，当\(x = 2\)时，左边\(=2\times2 + 3=7\)，右边\(=7\)，左边等于右边，所以\(x = 2\)是方程\(2x + 3 = 7\)的解。
又如：方程\(x + 5 = 9\)，当\(x = 4\)时，左边\(=4 + 5 = 9\)，右边\(=9\)，所以\(x = 4\)是该方程的解。
解方程
求方程的解的过程叫做解方程。
例如：求方程\(3y - 1 = 8\)的解的过程就是解方程。通过移项可得\(3y=8 + 1\)，即\(3y=9\)，两边同时除以 3，得到\(y = 3\)，这个过程就是解方程。
方程的解与解方程的区别
方程的解是一个具体的数值，而解方程是一个过程。
实例解析
判断一个式子是否为方程
式子\(4x - 7\)：含有未知数，但不是等式，所以不是方程。
式子\(6 + 8 = 14\)：是等式，但不含有未知数，所以不是方程。
式子\(5m + 2 = 12\)：含有未知数\(m\)且是等式，所以是方程。
判断一个数是否为方程的解
判断\(x = 3\)是不是方程\(2x - 1 = 5\)的解：把\(x = 3\)代入方程左边，得\(2\times3 - 1 = 5\)，方程右边是 5，左边等于右边，所以\(x = 3\)是该方程的解。
判断\(y = 2\)是不是方程\(3y + 4 = 10\)的解：把\(y = 2\)代入方程左边，得\(3\times2 + 4 = 10\)，方程右边是 10，左边等于右边，所以\(y = 2\)是该方程的解。
根据实际问题列方程
问题：一个数的 3 倍加上 5 等于 20，求这个数。
设这个数为\(x\)，根据题意可列方程：\(3x + 5 = 20\)。
问题：小明有 50 元钱，买了一本单价为\(x\)元的书后，还剩 35 元。
根据题意可列方程：\(50 - x = 35\)。
列方程的步骤
设未知数：根据实际问题，选择合适的字母表示未知数，通常用\(x\)、\(y\)等。
找等量关系：分析实际问题中数量之间的相等关系，这是列方程的关键。
列方程：根据找到的等量关系，把未知数和已知数用等式表示出来。
方程的应用
方程在实际生活中有着广泛的应用，能帮助我们解决很多实际问题。
购物问题：已知总价、数量，求单价；或已知单价、数量，求总价等，都可以通过列方程解决。例如，买 3 支钢笔花了 24 元，求每支钢笔的价格，设每支钢笔\(x\)元，可列方程\(3x = 24\)。
行程问题：已知路程、速度、时间中的两个量，求第三个量，可列方程。例如，一辆汽车以每小时\(x\)千米的速度行驶，3 小时行驶了 180 千米，可列方程\(3x = 180\)。
年龄问题：根据几个人的年龄关系列方程。例如，小明今年\(x\)岁，爸爸今年 35 岁，爸爸的年龄比小明的 3 倍还多 5 岁，可列方程\(3x + 5 = 35\)。
课堂练习
判断下列式子是不是方程：
\(3x + 5\)
\(7 + 8 = 15\)
\(2y - 1 = 3\)
\(x^2 + 2x = 0\)
判断下列各数是不是相应方程的解：
\(x = 4\)是不是方程\(2x - 5 = 3\)的解。
\(y = -1\)是不是方程\(3y + 4 = 1\)的解。
根据下列实际问题列出方程：
一个数的 5 倍减去 8 等于 12，设这个数为\(x\)。
小红有\(x\)本故事书，小丽比小红多 5 本，小丽有 12 本。
总结
方程是含有未知数的等式，必须同时满足含有未知数和是等式两个条件。
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，解方程是求方程解的过程。
列方程时要先设未知数，再找等量关系，最后列出方程，方程在实际生活中应用广泛。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.能根据现实情境理解方程的意义，能判断一个式子是不是方程。
2.能根据简单实际问题列方程，发展模型观念。
3.理解方程的解的意义，会用尝试检验的方法估计方程的解。
1.方程：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程必须具备两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数。
两者缺一不可。
典例1 已知下列式子：；； ；
；；；;; 。
其中方程的个数为( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：， 不是等式，所以它们不是方程；
是等式，但不含未知数，所以它不是方程；
， （未知数的个数不一定是一个），
， （未知数也可以用其他字母表示），
， 都符合方程的定义，所以都是方程。
1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
2.检验方程的解的方法：检验一个值是不是方程的解，要把这个值
分别代入方程的左右两边，当左边 右边时，这个值是方程的解，
当左边 右边时，这个值不是方程的解。
解：将代入方程的左边，得 ，
将代入方程的右边，得 。
因为左边 右边，
所以是方程 的解。
典例2 检验是不是方程 的解。
对于一些较简单的方程，先确定未知数的一个较小的取值范围，
逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等
的未知数的值就是方程的解。
典例3 用尝试检验的方法解方程： 。
分析：先取和分别代入 得到4和11，而
5.4介于4和11之间，故取0和1之间的小数；再取 ，代入
得,介于4与7.5之间，故 取0和0.5之间的
小数。
解：令依次取0,,,,, ，可以得到下表：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
4 4.7 5.4 6.1 6.8 7.5
观察发现，当时，，所以 是方程
的解。
知识过关
①含有 　未知数　的等式叫作方程.
②使方程左右两边相等的 　未知数的值　，叫作方程的解.
未知数
未知数的值
方程的定义
1. [2024·嘉兴期末]下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2
＋x－2＝0；④ ＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0，是方
程的有(　B　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
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2. [2024·宁波镇海区期末]关于式子①2x＝3和②1－3＝－2，下列说法正确的是(　B　)
A. ①、②均是方程
B. ①是方程，②不是方程
C. ①不是方程，②是方程
D. ①、②均不是方程
B
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方程的解
3. 下列方程中，解为x＝4的是(　B　)
A. x－3＝－1
B
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4. [母题 教材P130 T4]由表可知，方程2x－1＝x＋2的解
是 .
x的值 … 1 2 3 4 …
2x－1的值 … 1 3 5 7 …
x＋2的值 … 3 4 5 6 …
x＝3　
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【解】把x＝6代入方程，左边＝12－3＝9，右边＝
5×3＝15，左边≠右边，
所以x＝6不是方程的解；
把x＝4代入方程，左边＝8－3＝5，右边＝5×1＝5，
左边＝右边，
所以x＝4是方程的解.
5. 检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解.
(1)2x－3＝5(x－3)；(x＝6，x＝4)
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(2)4x＋5＝8x－3；(x＝3，x＝2)
【解】把x＝3代入方程，左边＝12＋5＝17，右边＝24
－3＝21，左边≠右边，
所以x＝3不是方程的解；
把x＝2代入方程，左边＝8＋5＝13，右边＝16－3＝
13，左边＝右边，
所以x＝2是方程的解.
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列方程
6. [新考向·数学文化] 《九章算术》是我国古代重要的数学
专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人
分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列
方程为(　B　)
B
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7. 根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为
.
8. 某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，
每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学
生？若设共有x名学生，可列方程为 .
2a＋5＝
8　
＋2＝ 　
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9. [情境题·植树造林]在一次植树活动中，甲班植树的棵数比
乙班多20％，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵.设乙
班植树x棵.
(1)根据题意列出含未知数x的方程；
【解】(1＋20％)x＝2(x－10).
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(2)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵.
【解】把x＝25分别代入(2)中方程的左边和右边，得
左边＝(1＋20％)×25＝30，
右边＝2×(25－10)＝30.
因为左边＝右边，所以x＝25是方程(1＋20％)x＝2(x
－10)的解，即乙班植树的棵数是25棵.
由上面的检验过程可得，甲班植树的棵数是30棵，而
不是35棵.
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10. [新考法·类比求解法]若关于x的一元一次方程 x＋5
＝3x－b的解为x＝－3，则关于y的一元一次方程
(y＋2)＋5＝3(y＋2)－b 的解为(　C　)
A. y＝－3 B. y＝－4
C. y＝－5 D. y＝－6
C
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11. [新考法·图文信息法][2024·杭州上城区期末]在矩形
ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸
如图所示，求小长方形的宽AE. 若AE＝x cm，依题意
可得方程(　B　)
B
A. 6＋2x＝14－3x
B. 6＋2x＝x＋(14－3x)
C. 14－3x＝6
D. 6＋2x＝14－x
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12. 如果x＝－2是关于x的方程ax＋b＝5－2x的解，那么3
－4a＋2b＝ .
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13. 观察下列方程：
① ＋ ＝1的解是x＝2，
② ＋ ＝1的解是x＝3，
③ ＋ ＝1的解是x＝4，
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(1)根据观察得到的规律，写出其中解是x＝6的方程，并
检验.
【解】 ＋ ＝1的解是x＝6.
当x＝6时，左边＝ ＋ ＝1＝右边，所以x＝6是
方程 ＋ ＝1的解.
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(2)请写出第100个方程和它的解.
【解】第100个方程是 ＋ ＝1，方程的解是x
＝101.
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谢谢观看！

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