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5.2 等式的基本性质
第5章 一元一次方程
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
等式的基本性质
课程目标
理解并掌握等式的两条基本性质。
能运用等式的基本性质对等式进行变形。
学会利用等式的基本性质解简单的方程。
体会等式基本性质在解决实际问题中的作用。
等式的基本性质 1
等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（其中\(c\)为任意整式）。
实例说明：
若\(x = 5\)，在等式两边同时加上 3，得到\(x + 3 = 5 + 3\)，即\(x + 3 = 8\)，等式仍然成立。
若\(2m + 3 = n\)，在等式两边同时减去\(2m\)，得到\(2m + 3 - 2m = n - 2m\)，即\(3 = n - 2m\)，等式依然成立。
生活实例：天平两边各放有质量相等的物体，此时天平平衡（即等式成立）。如果在天平两边同时加上相同质量的砝码，天平仍然保持平衡，这直观地体现了等式的基本性质 1。
等式的基本性质 2
等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，所得结果仍是等式。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（其中\(c\)为任意不为 0 的整式）。
实例说明：
若\(y = 4\)，在等式两边同时乘 2，得到\(2y = 4\times2\)，即\(2y = 8\)，等式成立。
若\(6x = 18\)，在等式两边同时除以 3（3 不为 0），得到\(\frac{6x}{3}=\frac{18}{3}\)，即\(2x = 6\)，等式成立。
特别注意：等式两边同时除以一个数时，这个数不能为 0。因为 0 不能作为除数，否则无意义。例如，若\(3 = 3\)，若两边同时除以 0，式子就变得无意义了，所以这种情况不允许出现。
生活实例：天平两边平衡时，若将两边物体的质量同时扩大相同的倍数（或缩小到原来的几分之一，且不为 0），天平仍然保持平衡，这体现了等式的基本性质 2。
等式基本性质的应用
利用性质变形等式
根据等式的基本性质，可以对等式进行各种合理变形，以满足解决问题的需求。
例如，对等式\(3x - 5 = 7\)进行变形：
利用性质 1，两边同时加上 5，得到\(3x - 5 + 5 = 7 + 5\)，即\(3x = 12\)。
再利用性质 2，两边同时除以 3，得到\(\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\)，即\(x = 4\)。
利用性质解简单方程
解方程的过程，其实就是利用等式的基本性质把方程逐步变形为\(x = a\)（\(a\)为常数）的形式。
例 1：解方程\(x - 6 = 10\)
根据等式基本性质 1，两边同时加上 6，得\(x - 6 + 6 = 10 + 6\)，即\(x = 16\)。
例 2：解方程\(5x = 35\)
根据等式基本性质 2，两边同时除以 5，得\(\frac{5x}{5}=\frac{35}{5}\)，即\(x = 7\)。
例 3：解方程\(2x + 3 = 11\)
第一步，根据等式基本性质 1，两边同时减去 3，得\(2x + 3 - 3 = 11 - 3\)，即\(2x = 8\)。
第二步，根据等式基本性质 2，两边同时除以 2，得\(\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}\)，即\(x = 4\)。
等式基本性质的注意事项
运用性质 1 时，两边加上（或减去）的必须是同一个整式，否则等式可能不成立。例如，若\(a = b\)，左边加 2，右边加 3，得到\(a + 2\neq b + 3\)。
运用性质 2 时，要注意两点：
两边乘（或除以）的是同一个整式。
除以的这个整式不能为 0，因为 0 做除数无意义。
等式变形时，要保持等式两边的平衡，每一步变形都要严格依据等式的基本性质，不能随意进行操作。
等式基本性质与方程的联系
等式的基本性质是解方程的理论依据。通过运用等式的基本性质，我们可以把方程中的未知数逐步分离出来，最终求出方程的解。例如，对于方程\(4x - 7 = 9\)，利用性质 1 两边加 7 得到\(4x = 16\)，再利用性质 2 两边除以 4 得到\(x = 4\)，整个过程都是以等式的基本性质为基础的。
课堂练习
利用等式的基本性质填空：
若\(m = n\)，则\(m + 4 = n +\)（ ）。
若\(2x = 6y\)，则\(x = \)（ ）（根据性质 2，两边同时除以 2）。
若\(a - 5 = b - 5\)，则\(a = \)（ ）（根据性质 1，两边同时加上 5）。
利用等式的基本性质解下列方程：
\(x + 8 = 15\)
\(3x = 24\)
\(2x - 5 = 13\)
判断下列变形是否正确，并说明理由：
由\(5x = 4x + 3\)，得\(5x - 4x = 3\)。
由\(7x = 8\)，得\(x = \frac{7}{8}\)。
总结
等式的基本性质 1：两边同时加上（或减去）同一个整式，结果仍是等式。
等式的基本性质 2：两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，结果仍是等式。
等式的基本性质是解方程的重要依据，运用时要注意相关事项，确保变形正确。
掌握等式的基本性质，能帮助我们更好地处理等式变形和解决方程问题，为后续学习更复杂的方程奠定基础。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.借助天平理解并掌握等式的基本性质。
2.能利用等式的基本性质进行等式的变形。
3.能利用等式的基本性质解方程，体会化归思想。
内容 字母表示
等式的 性质1 等式的两边都加上（或都减去） 同一个数或式，所得结果仍是等 式。
等式的 性质2 等式的两边都乘或都除以同一个 数或式（除数不能为零），所得 结果仍是等式。
教材延伸
等式的其他性质
（1）等式的对称性：如果，那么 。
（2）等式的传递性：如果，，那么 。
典例1 （易错题）下列变形中，不正确的是( )
D
A.若,则 B.若,则
C.若，则 D.若，则
解析：
选项 变形形式 分析 结论
A 两边同时加3。 符合等式的性质1。 正确
B 符合等式的性质2。 正确
C 符合等式的性质2。 正确
D 不正确
知识过关
①等式的两边都 　加上　(或都 　减去　)同一个 　数或式　，
所得结果仍是等式.用字母可以表示为： 　如果a＝b，那么
a±c＝b±c　.
②等式的两边都 　乘　或都 　除以　同一个 　数或式(除数不
能为零)　，所得结果仍是等式.用字母可以表示为： 　如果
a＝b，那么ac＝bc或 ＝ (c≠0)　.
加上
减去
数或式
如果a＝b，那么
a±c＝b±c
乘
除以
数或式(除数不
能为零)
如果
a＝b，那么ac＝bc或 ＝ (c≠0)　
等式的基本性质
1. 根据等式的性质，下列各式变形不正确的是(　D　)
A. 若x＝y，则x＋3＝y＋3
B. 若－2x＝－2y，则x＝y
D
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2. [2024·金华期末]已知等式a＝b，则下列等式中不一定成
立的是(　B　)
A. a－c＝b－c
C. an＝bn D. a2＝b2
B
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3. [母题 教材P130作业题T3]如图，在天平上放若干苹果和
香蕉(每个苹果的质量相同，每根香蕉的质量也相同)，其
中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，
需要在天平右盘中放入砝码(　C　)
A. 350克 B. 300克
C. 250克 D. 200克
C
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4. 把方程 x＝1变形为x＝3，其依据是(　C　)
A. 分数的基本性质 B. 等式的基本性质1
C. 等式的基本性质2 D. 以上都不对
C
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5. 如果a＝b，那么 ＝ 成立时c应满足的条件
是 .
c≠1　
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利用等式的基本性质解方程
6. 下列过程正确的是(　C　)
A. 从12－2x＝－6，得到12－6＝2x
B. 从－8x＋4＝－5x－2，得到8x＋5x＝－4－2
C. 从5x＋3＝4x＋2，得到5x－2＝4x－3
D. 从－3x－4＝2x－8，得到8－4＝2x－3x
C
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7. 在方程4x－3＝5的两边都 ，得到4x＝8，这是
根据 ；在方程－2x＝ 的两边都
，得到x＝－ ，这是根据 .
8. 若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值
为 .
加上3　
等式的性质1　
除以
－2　
等式的性质2　
－1　
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(1) x＝－12；
(2)3－2x＝9；
【解】x＝－16；
【解】x＝－3；
9. 利用等式的性质解下列方程：
(3)4x＋8＝－14x；
(4)3－ x＝ .
【解】x＝－ ；
【解】x＝ .
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10. 根据等式的性质，下列变形正确的是(　A　)
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若a2＝b2，则a＝b
A
[易错题]忽视除式不为零而错用等式的基本性质
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11. [2024·嘉兴期末]已知m－n＝0，且m－a＝n＋b，则
a，b一定满足的关系式是(　D　)
A. ab＝0 B. ab＝1
C. a－b＝0 D. a＋b＝0
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12. 若a，b，c，m都是有理数，并且a＋2b＋3c＝m，
a＋b＋2c＝m，则b与c(　C　)
A. 互为倒数 B. 互为负倒数
C. 互为相反数 D. 相等
C
13. 在等式4x－7＝3x＋5的两边同时减去一个多项式可以
得到等式x＝12，则这个多项式是 .
3x－7　
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14. [新趋势·过程性学习]有一个爱思考的同学，有一天他对
妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个
方程5x－2＝2x－2.方程两边同时加2，得5x－2＋2＝
2x－2＋2①，即5x＝2x.方程两边同时除以x，得5＝2
②.”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明
上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并
加以改正.
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【解】不正确，解5x＝2x时不能给方程的两边同时除
以x，正确过程如下：
5x－2＝2x－2，
方程两边同时加2，得5x＝2x，
方程两边同时减去2x，得3x＝0，
方程两边同时除以3，得x＝0.
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15. 已知t＝ (a，b是常数，x≠－a)①.
(1)若a＝－2，b＝ ，求t；
【解】当a＝－2，b＝ 时，
t＝ ＝ ＝ ；
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(2)试将等式①变形成“Ax＝B”的形式，其中A，B表
示关于a，b，t的整式；
【解】将t＝ 两边都乘以(x＋a)，得
tx＋ta＝bx－1，
两边都减去(ta＋bx)，得tx－bx＝－1－ta，
两边都乘以－1，得bx－tx＝ta＋1，
即(b－t)x＝ta＋1.
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(3)若t的取值与x无关，请说明ab＝－1.
【解】因为t的取值与x无关，
所以b－t＝0，即b＝t，
ta＋1＝0，即ab＋1＝0，
所以ab＝－1.
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16. [新考法·阅读类比法]阅读下列材料：
问题：怎样将0. 表示成分数的形式？
小明的探究过程如下：
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根据以上信息，回答下列问题：
(1)从步骤①到步骤②，变形的依据是 ，从
步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 .
等式的性质2　
等式的性质1　
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(2)仿照上述探究过程，请你将0. 表示成分数的形式.
【解】设x＝0. ，
两边同时乘以10，得10x＝10×0. ，
则10x＝3. ，即10x＝3＋0. ，
所以10x＝3＋x，
两边同时减去x，得9x＝3，
两边同时除以9，x＝ ，即0. ＝ .
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谢谢观看！

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