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(共46张PPT)
6.8 余角和补角
第6章 图形的初步知识
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
余角和补角
课程目标
理解余角和补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角或补角。
掌握余角和补角的性质，并能运用这些性质解决角的计算问题。
明确余角和补角的区别与联系，提高对角的数量关系的理解和运用能力。
余角的定义
如果两个角的和等于\(90 °\)（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。
几何表示：若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，则\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为余角，即\(\angle 1\)是\(\angle 2\)的余角，\(\angle 2\)也是\(\angle 1\)的余角。
实例：\(\angle 3 = 30 °\)，\(\angle 4 = 60 °\)，因为\(30 ° + 60 ° = 90 °\)，所以\(\angle 3\)与\(\angle 4\)互为余角。
注意：互为余角的两个角只与它们的度数之和有关，与它们的位置无关。即无论两个角的位置如何，只要它们的和是\(90 °\)，就互为余角。
补角的定义
如果两个角的和等于\(180 °\)（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。
几何表示：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，则\(\angle \alpha\)与\(\angle \beta\)互为补角，即\(\angle \alpha\)是\(\angle \beta\)的补角，\(\angle \beta\)也是\(\angle \alpha\)的补角。
实例：\(\angle 5 = 110 °\)，\(\angle 6 = 70 °\)，因为\(110 ° + 70 ° = 180 °\)，所以\(\angle 5\)与\(\angle 6\)互为补角。
注意：与余角类似，互为补角的两个角也只与度数之和有关，与位置无关。
余角和补角的性质
余角的性质：同角（或等角）的余角相等。
几何表示：
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，\(\angle 1 + \angle 3 = 90 °\)，则\(\angle 2 = \angle 3\)（同角的余角相等）。
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，\(\angle 3 + \angle 4 = 90 °\)，且\(\angle 1 = \angle 3\)，则\(\angle 2 = \angle 4\)（等角的余角相等）。
实例：已知\(\angle A = 30 °\)，\(\angle B\)和\(\angle C\)都是\(\angle A\)的余角，则\(\angle B = \angle C = 60 °\)。
补角的性质：同角（或等角）的补角相等。
几何表示：
若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180 °\)，则\(\angle \beta = \angle \gamma\)（同角的补角相等）。
若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，\(\angle \gamma + \angle \delta = 180 °\)，且\(\angle \alpha = \angle \gamma\)，则\(\angle \beta = \angle \delta\)（等角的补角相等）。
实例：已知\(\angle M = 120 °\)，\(\angle N\)和\(\angle P\)都是\(\angle M\)的补角，则\(\angle N = \angle P = 60 °\)。
余角和补角的计算
求一个角的余角
若已知一个角的度数为\(x\)，则它的余角的度数为\(90 ° - x\)（其中\(0 ° < x < 90 °\)，因为只有锐角才有余角）。
例 1：求\(50 °\)角的余角。
解：\(90 ° - 50 ° = 40 °\)，所以\(50 °\)角的余角是\(40 °\)。
例 2：一个角的余角是\(35 °\)，求这个角的度数。
解：设这个角的度数为\(x\)，则\(x + 35 ° = 90 °\)，解得\(x = 90 ° - 35 ° = 55 °\)。
求一个角的补角
若已知一个角的度数为\(y\)，则它的补角的度数为\(180 ° - y\)（其中\(0 ° < y < 180 °\)，除平角外，其他角都有补角）。
例 3：求\(100 °\)角的补角。
解：\(180 ° - 100 ° = 80 °\)，所以\(100 °\)角的补角是\(80 °\)。
例 4：一个角的补角是\(70 °\)，求这个角的度数。
解：设这个角的度数为\(y\)，则\(y + 70 ° = 180 °\)，解得\(y = 180 ° - 70 ° = 110 °\)。
余角和补角的区别与联系
区别
度数和不同：互为余角的两个角的和是\(90 °\)；互为补角的两个角的和是\(180 °\)。
存在范围不同：只有锐角（小于\(90 °\)的角）才有余角；除平角（\(180 °\)）外，锐角、直角、钝角都有补角（直角的补角是直角，钝角的补角是锐角）。
联系
都是针对两个角而言的，体现的是两个角之间的数量关系，与位置无关。
若一个角有补角和余角，则它的补角比它的余角大\(90 °\)。即若一个角为\(x\)，则其补角为\(180 ° - x\)，余角为\(90 ° - x\)，补角与余角的差为\((180 ° - x) - (90 ° - x) = 90 °\)。
生活中的余角和补角
余角和补角在生活中也有一定的应用：
墙角的两边形成直角（\(90 °\)），如果在墙角处放置一个梯子，梯子与其中一边形成的角和梯子与另一边形成的角互为余角。
一条直线可以看作是一个平角（\(180 °\)），在直线上取一点，过该点作一条射线，射线与直线的两边形成的两个角互为补角。
易错点提醒
互为余角和互为补角的两个角只与度数和有关，与它们的位置没有关系，不要误认为必须有公共顶点或公共边。
不要混淆余角和补角的度数和，余角是和为\(90 °\)，补角是和为\(180 °\)。
只有锐角才有余角，直角和钝角没有余角；平角没有补角。
课堂练习
判断下列说法是否正确：
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，则\(\angle 1\)是余角。
一个角的补角一定是钝角。
同角的补角相等。
求下列角的余角和补角：
\(30 °\)
\(65 °\)
\(90 °\)（思考：它有余角吗？）
一个角的补角是它的 3 倍，求这个角的度数。
已知\(\angle A\)与\(\angle B\)互为余角，\(\angle A = 25 °\)，求\(\angle B\)的补角的度数。
总结
余角是指两个角的和为\(90 °\)，补角是指两个角的和为\(180 °\)，它们都体现两个角的数量关系。
余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。
计算一个角的余角用\(90 °\)减去这个角的度数，计算补角用\(180 °\)减去这个角的度数，同时要注意它们的区别和存在范围。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角
或补角。
2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角
相等，培养推理能力。
3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称 概念 数学语言 图示
互为 余角 如果两个锐角的和是一 个直角，我们就说这两 个角互为余角，简称互 余，也可以说其中一个 角是另一个角的余角。 ____________________________
名称 概念 数学语言 图示
互为 补角 如果两个角的和是一个 平角，我们就说这两个 角互为补角，简称互 补，也可以说其中一个 角是另一个角的补角。 __________________________________
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量
关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这
两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能
都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
典例1 （1）若一个角是 ，则它的余角是____，它的
补角是______，它的补角比它的余角大____。
解析：一个角是 ，它的余角是 ，
它的补角是 ，它的补角比它的余角
大 。（一个锐角的补角始终比其余角
大 ，与该锐角的度数无关）
（2）若一个角的余角是 ，则这个角是_______，
这个角的补角是________。
解析：一个角的余角是，
这个角是 ，
这个角的补角是 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与
相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。
因为 ,所以 ，
所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与
相等吗？为什么？
解：相等。因为点，，在同一条直线上，
所以 ，即 。
因为点，，在同一条直线上，所以 ，
即 ，
所以 。
1.方向角：一般地，方向角是以第一个方向
（正南或正北）为角的始边向第二个方向
（东或西）转动所形成的角。如图,射线
的方向是北偏东 ,射线 的方向是南偏西
。
2.特殊角的表示：东北方向表示北偏东 ,西北方向表示
北偏西 ,东南方向表示南偏东 ,西南方向表示南偏西 。
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东
”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿
北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏
西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， ,
，
所以 。
知识过关
①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角 　互
余　；如果两个角的和是一个 　平角　，我们就说这两个角
互为补角.
②　同角或等角　的余角相等、补角相等.
互
余
平角
同角或等角
余角、补角的概念
1. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定
互余的是(　C　)
C
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2. 若∠A的补角是120°50'，则∠A的余角的度数是(　B　)
A. 30°10' B. 30°50'
C. 59°10' D. 59°50'
B
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3. [2024·桐庐期末]如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别
为A，D，图中互余的角共有(　C　)
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对
(第3题)
C
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4. 如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，
∠2，∠3之间的数量关系为(　D　)
A. ∠1＋∠2＋∠3＝90°
B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠2＋∠3－∠1＝90°
D. ∠1－∠2＋∠3＝90°
(第4题)
D
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5. 已知∠α＝29°45'38″，则∠α的补角的度数
是 .
6. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路
PA的走向是南偏西34°，公路PB与正南方向夹角的余角
是30°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °.
150°14'22″　
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7. [2024·东莞期末]已知一个角的补角比这个角的余角的2倍
还多30°.
(1)设这个角的度数为x，则它的补角为 ；
它的余角为 ；(用x表示)
(2)求这个角的度数.
【解】由题意可知，(180°－x)－2(90°－x)＝
30°，解得x＝30°.
即这个角的度数是30°.
180°－x　
90°－x　
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余角、补角的性质
8. 如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下
列说法错误的是(　D　)
A. ∠1＝∠2
B. ∠AOE与∠2互余
C. ∠AOD与∠1互补
D. ∠AOD与∠COD互补
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【点拨】
因为∠COB＝∠EOD＝90°，
所以∠1＋∠COD＝∠2＋∠COD＝90°，
所以∠1＝∠2，故A选项正确；
因为∠AOE＋∠1＝90°，
所以∠AOE＋∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故
B选项正确；
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因为∠AOD＋∠2＝180°，
所以∠AOD＋∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，
故C选项正确；
无法判断∠AOD与∠COD是否互补，D选项错误.
故选D.
D
【答案】
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9. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则下列说法一
定正确的是(　A　)
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3
C. ∠1＝∠2 D. ∠1＝∠2＝∠3
A
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10. [2024·金华东阳期末]如图，一副三角板按不同的位置摆
放，摆放位置中∠α＝∠β的图形有 .(填序号)
②③④　
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【点拨】
根据直角三角板中每个角的度数，可以判断出图①
中∠α＝45°，∠β＝60°；图②中∠α＝∠β＝45°；由
同角的余角相等可得图③中∠α＝∠β，由等角的补角相
等可得图④中∠α＝∠β，在图⑤中∠α＋∠β＝180°，
不相等，因此摆放位置中∠α＝∠β的图形有②③④.
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11. ∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式
子有：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋∠β)；
④ (∠α－∠β)，其中错误的有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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所以∠β＝180°－∠α，∠α＝180°－∠β.
因为90°－∠β＋∠β＝90°，所以90°－∠β为∠β
的余角.
因为∠α－90°＝180°－∠β－90°＝90°－∠β，
所以∠α－90°为∠β的余角.
【点拨】
因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，
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因为 (∠α＋∠β)＝90°，所以它不是∠β的余角.
因为 (∠α－∠β)＝ (180°－∠β－∠β)＝90°－
∠β，所以 (∠α－∠β)为∠β的余角.
【答案】
A
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12. [2024·杭州拱墅区期末]已知∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ
的补角，若∠α＝(2n－30)°，∠β＝(60－n)°，则∠γ
的度数为 .
【点拨】
因为∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ的补角，所以易得
∠α＝∠β，
所以(2n－30)°＝(60－n)°，
所以n＝30，所以∠α＝30°，
所以∠γ＝180°－30°＝150°.
150°　
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13. [新视角·新定义题]我们定义：有一条公共边的两个互余
的角为“友余角”，现在∠α和∠β为一对“友余角”，
∠α＝20°，则∠α和∠β的平分线所成角的度数
为 .
【点拨】
因为∠α和∠β为一对“友余角”，∠α＝20°，所
以∠β＝70°，所以∠α和∠β的平分线所成角的度数为
∠α＋ ∠β＝45°或 ∠β－ ∠α＝25°.
45°或25°　
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14. 如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是
北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向
延长线.
(1)射线OC的方向是 ；
北偏东70°　
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因为射线OB的方向是北偏西40°，射线OA的方
向是北偏东15°，
所以∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
【点拨】
如图，
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所以∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°.
因为∠AOB＝∠AOC，
所以∠AOC＝55°，
所以∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°，
所以射线OC的方向是北偏东70°.
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【解】由题意，知∠AOB＝55°，∠AOC＝
∠AOB，所以∠AOC＝55°，
所以∠BOC＝110°.
又因为射线OD是OB的反向延长线，
所以∠BOD＝180°，
所以∠COD＝180°－110°＝70°.
又因为射线OE平分∠COD，
所以∠COE＝35°.
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°.
(2)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数；
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(3)直接写出一对互余的角是 ，一
对互补的角是 .　(答案不唯一)　
∠AOC与∠COE　
∠AOB与∠AOD　
(答案不唯一)
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15. [新视角·操作探究题](1)如图①，将两块直角三角板的直
角顶点C叠放在一起.
①若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数是多少？若
∠ACB＝120°，则∠DCE的度数是多少？
②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明
理由.
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【解】①因为∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
所以∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝90°－40°＝50°.
又因为∠BCE＝90°，
所以∠ACB＝50°＋90°＝140°.
因为∠BCE＝90°，∠ACB＝120°，
所以∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝120°－90°＝30°.
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又因为∠ACD＝90°，
所以∠DCE＝90°－30°＝60°.
②∠ACB＋∠DCE＝180°.理由：因为∠ACB＝
∠ACD＋∠BCD＝90°＋∠BCD，
所以∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠BCD＋∠DCE＝
90°＋∠BCE＝180°.
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(2)如图②，若是两块同样的三角板60°锐角的顶点A叠
放在一起，则∠DAB与∠CAE的度数有何关系？请
说明理由.
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【解】∠DAB＋∠CAE＝120°.理由：
因为∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝60°＋∠CAB，
所以∠DAB＋∠CAE＝60°＋∠CAB＋∠CAE＝
60°＋∠EAB＝120°.
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(3)如图③，已知∠AOB＝α，作∠COD＝β(α，β都是锐
角且α＞β)，若OC在∠AOB的内部，请直接写出
∠AOD与∠BOC的度数关系，不必说明理由.
【解】∠AOD＋∠BOC＝α－β或∠AOD＋∠BOC
＝α＋β或∠BOC－∠AOD＝α－β.
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